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集合与常用逻辑用语
考点01：集合及其相关运算（1-5，13，17，18）；
考点02：命题及其关系、充分条件与必要条件（6-9，14，15，19，20）；
考点03：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（10-12，16，21，22）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.若集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若集合B中有3个元素，则集合A中元素的个数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定
3.已知集合,则( )
A. B. C. D.
4.已知集合,则( )
A. B. C. D.
5.设全集，则图中阴影部分对应的集合为( )
A. B. C. D.
6.下列命题中真命题有( )
①p：，
②q：“，”是“”的充分不必要条件
③r：，
④s：若，则
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知实数,则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.不等式成立的一个充分不必要条件是( ).
A. B. C. D.
9.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
10.已知命题对任意的，，则( )
A.对任意的， B.存在，
C.存在， D.不存在，
11.若命题,则命题p的否定是( ).
A. B.
C. D.
12.命题“”的否定是( ).
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.设集合,且,则实数k的取值范围是______.
14.设p：，q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.
15.已知或，（a为实数）.若的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围是______________.
16.已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题（本题共6小题，共70分。）
17. （10分）设集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数t的取值范围.
18. （12分）已知集合，.
(1)分别求，；
(2)已知集合，若，求实数a的取值范围.
19. （12分）已知，使为假命题.
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
20. （12分）已知集合，集合.若命题，命题，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
21. （12分）已知，不等式恒成立；，使不等式成立.若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围.
22. （12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性与极值；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
答案
1.答案：D
解析：联立解得或故.
2.答案：C
解析：，则集合B中必有元素1,2,当时，，当时，，故集合A中元素的个数为3.故选C.
3.答案：A
解析：由已知得，对于集合B，有解得且，所以，所以.故选A.
4.答案：C
解析：因为，
任取,则，其中,即,所以,则，故选C.
5.答案：D
解析：由题图可知，图中阴影部分表示的集合为.
,.
,故选D.
6.答案：C
解析：①：恒成立，故①是真命题；
②：若，时，有；
反之不一定，比如取，，有成立，但不满足，，所以“，”是“”的充分不必要条件，故②是真命题；
③：，故③是假命题；
④：若，则，当且仅当时等号成立，所以有，故④是真命题.
故选：C.
7.答案：B
解析：由基本不等式知,则,故,故成立;若，取,则,故不成立,故“”是“”的充分不必要条件.故选B.
8.答案：C
解析：因为不等式的解集为(0,2),又,所以是不等式成立的一个充分不必要条件.故选C.
9.答案：A
解析：本题考查常用逻辑用语的应用.由当时，，知p是真命题；由当时，，得，知q也是真命题，所以，是假命题，所以是假命题，是假命题，是真命题，是真命题，是假命题.
10.答案：B
解析：因为特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，所以存在，，故选B.
11.答案：A
解析：命题的否定是.
12.答案：C
解析：因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以原命题的否定为.
13.答案：
解析：由知，集合B为A的非空子集或空集，即或，解得或，故.
14.答案：
解析：由得，所以，即；
由得，即；
因为q是p的必要而不充分条件，
所以是的真子集；
因此，解得.
故答案为：.
15.答案：
解析：由题意得，，.
因为的一个充分不必要条件是，
所以，所以.
故答案为.
16.答案：
解析：因为，所以，
因此由，可得，
构造函数，当，，单调递增，当时，，单调递减，因此有，
即，当且仅当时取等号，
所以有，当且仅当存在，使得即可，设，，，即，因此当时，必存在一个零点，因此成立，故，即实数a的取值范围是.
故答案为：
17.答案（1），
.
，
，
.
（2），，
①若C是空集，则，解得，符合题意；
②若C为非空集合，则
解得.
综上所述，实数t的取值范围为.
18.答案： (1)因为，即，
所以，所以，
因为，即，所以，
所以，所以.
因为，所以.
(2)由(1)知，因为，
所以当C为空集时，；当C为非空集合时，.
综上所述，实数a的取值范围为.
19.答案：（1）p为假命题等价于关于x的方程无实数根.
当时，，解得，有实数根，不符合题意；
当时，由题意得，得，
.
（2）为非空集合，
，解得.
若是的充分不必要条件，
则，，即，.
故a的取值范围为.
20.答案：由题意得.
由集合A得，.（*）
①当时，
由（*）得，
因为，所以或
解得.
②当时，
由（*）式得，
因为，所以解得.
综上，实数a的取值范围是或.
21.答案：当时，，
若，不等式恒成立，
则，解得或，
故命题p为真命题时，或.
若q为真命题，则，使不等式成立，
，或，
故命题q为假命题时，.
综上可知，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为.
22.答案：（1），
.
①当时，恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当，时，，
时，，
在上单调递减，在单调递增.
函数有极小值为，无极大值.
（2）若对任意，恒成立，
则恒成立，
即.
设，
则，
令，
解得，
当时，，
当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
，
，
当时满足对任意，恒成立，
实数a的取值范围为.

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