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竖直上抛
竖直下抛
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知识讲解
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知识点1 竖直上抛运动
1．竖直下抛的规律：规定抛出点为原点，竖直向下的方向为正方向．则
规律公式为：
2．竖直上抛运动
（1）运动性质
①可以将其分为两个过程来处理：上升过程为的匀减速直线运动；下落过程为自由落体运动，利用前面的规律公式求解．
②因为整个运动过程的加速度不变，都是，且竖直向下，整个运动可以看成是一个匀减速直线运动，这样处理更方便．
规定抛出点为原点，竖直向上的方向为正方向，如右图所示，则
规律公式为：
（2）竖直上抛运动的特点
竖直上抛运动具有对称性，上升过程和下落过程是可逆的．物体在通过同一位置时，上升速度和下落速度大小相等；物体在通过同一高度的过程中，上升时间与下落时间相等．
（3）竖直上抛运动的几个具体值
①物体上升的时间
设物体经过时间上升到最高点，在这一时刻，物体速度为零，由此可知：
，所以物体上升的时间
②上升的最大高度
物体上升的最大高度，就是时的高度，把这个式子代入位移公式就可以得出物体上升的最大高度：
③物体下落的时间
物体落回到初位置时位移为，即．代入位移公式得，所以，
表示物体经过上升和下降过程后落回原地所需的时间．
④落回原地的速度
已知落地时间为，由公式可以求出落回原地的速度为：．
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随堂练习
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【例 1】蹦床运动是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中动作．为了测量运动员跃起的高度，在弹性网上安装了压力传感器，利用传感器记录运动员运动过程中对弹性网的压力，并用计算机做出压力——时间图象，如图所示．设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度为（）（ ）
A． B． C． D．
【解析】运动员在空中的时间为作用力为零的时间，即，则上升的时间为，所以上升的高度．
【答案】C
【例 2】小球A从距地高h的地方自由下落，同时以速度v0把小球B从地面A的正下方竖直上抛，求A、B两球在空中相遇应当满足的条件．
【答案】
【例 3】在某处以速度2v0竖直上抛出A球后，又以速度v0竖直向上抛出B球，要使两球能在空中相遇，两球抛出的时间间隔△t应满足什么条件(空气阻力不计)
【答案】
【例 4】从地面竖直上抛一物体，它两次经过A点的时间间隔为tA，两次经过B点的时间间隔为tB，则AB相距______．
【答案】
【例 5】将物体竖直向上抛出后，能正确表示其速率随时间的变化关系的图线的是（ ）
【解析】竖直上抛运动可分为上升过程的匀减速直线运动和下降过程的自由落体运动，速率在上升过程中均匀减小至零，下降过程又均匀增大至抛出时的值，所以选D．
【答案】D
【例 6】从地面竖直上抛一物体，同时在离地面某一高度处有另一物体自由落下，两物体在空中同时到达同一高度时速率都为v0，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体向上抛出的初速度和物体落地时速度的大小相等
B．物体在空中运动的时间相等
C．物体能上升的最大高度和开始下落的高度相同
D．相遇时，上升的距离和下落的距离之比为
【解析】相遇时速率相等，故机械能相等，故A、C正确．设从开始下落到与相遇所用时间为，有，得，即从开始下降到落地用的时间为，已下降的距离为．落地前还要下降的距离为，这也是相遇时上升的距离，故D正确．
【答案】ACD
【例 7】一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m到达最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)．从离开跳台到手触水，他可用于完成空中动作的时间是______s(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点．g取10m/s2，结果保留两位有效数字)．
【答案】1.7
【例 8】如图所示，两根长度均为1m的细杆、，杆从高处自由下落， 杆同时从地面以20m/s的初速度竖直上抛，两杆开始运动前杆的下端和杆的上端相距10m，在运动过程中两杆始终保持竖直．
（1）两杆何时相遇？
（2）相遇（但不相碰）到分开的时间多长？
【解析】杆做自由落体运动，杆做初速度为20 m/s的竖直上抛运动．加速度相同，相对加速度为零；以为参考系，杆做竖直向上的匀速直线运动．
因为两杆是同时开始运动的，它们的加速度相同，均为重力加速度g，选为参考系，则杆以20 m/s的速度匀速上升．
（1）两杆相遇是指杆的上端c到达杆的下端b，此时杆发生的相对位移是x＝10 m．根据x＝可求得经历时间，此时两杆相遇．
（2）两杆相遇到分开的时间则是指杆的上端c到达杆的下端b（计时开始） 一直到杆的下端d离开杆的上端a（计时结束）的这段时间．
则杆发生的相对位移，
则根据可求得两杆相遇到分开的时间
【答案】（1）0.5 s （2）0.1 s
【例 9】一杂技演员，用一只手抛球．他每隔抛出一球，接到球便立即把球抛出，已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向的运动，试求球到达的最大高度是多少．（高度从抛球点算起，取）
【解析】每一个小球均做竖直上抛运动，由运动的对称性，根据题意可得出至少有如图所示的状态，则，即球能到达的最大高度是．
【答案】
【例 10】竖直上抛的物体，在上升阶段的平均速度是20m/s，则从抛出到落回抛出点所需时间为______s，上升的最大高度为______m(g取10m/s2)．
【答案】8 80
【例 11】将一小球以初速度v从地面竖直上抛后，经4s小球离地面高度为6m．若要使小球抛出后经2s达相同高度，则初速度v0应(g取10m/s2，不计阻力) ( )
A．小于v B．大于v C．等于v D．无法确定
【答案】A
【例 12】一石块A从80m高的地方自由下落，同时在地面正对着这石块，用40m/s的速度竖直向上抛出另一石块B，问：(1)石块A相对B是什么性质的运动？(2)经多长时间两石块相遇？(3)相遇时离地面有多高 (g取10ms2)
【答案】 (1)均速直线运动 (2)t=2s (3)s=60m
【例 13】小球A从地面以初速度v01=10m/s竖直上抛，同时小球B从一高为h=4m的平台上以初速v02=6m/s竖直上抛．忽略空气阻力，两球同时到达同一高度的时间、地点和速度分别为多少
【答案】t=1s，h=5m，vA=0，vB=-4m/s(符号表示B球运动方向向下)
【例 14】质量m=0.60kg的篮球从距地板H=0.80m高处由静止释放，与水平地板撞击后反弹上升的最大高度h=0.45m，从释放到弹跳至h高处经历的时间t=1.1s．忽略空气阻力，重力加速度取g=10m/s2，求：
（1）篮球下落的时间；
（2）篮球与地板接触时间；
（3）篮球与地板接触过程的平均加速度．
【解析】（1）， ．
（2）， ， ．
（3）， ， ，
．
【答案】0.4s 0.4s 17.5m/s2
【例 15】 某人在高层楼房的阳台外侧以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m处时，所经历的时间为多少？（不计空气阻力，取g =10m/s2）
【解析】从题意来看，石块抛出后能够上升的最大高度为m>15m．
这样石块运动到离抛出点15 m处的位置必定有两个，如图所示，因而所经历的时间必为三个．
分段法：石块上升到最高点所用的时间为：s，
2 s前石块第一次通过“离抛出点15 m处”；2 s时石块到达最高点，速度变为零，随后石块开始做自由落体运动，会第二次经过“离抛出点15 m处”；当石块落到抛出点下方时，会第三次经过“离抛出点15m处”．这样此题应有三解．
当石块在抛出点上方距抛出点15m处时取向上为正方向，则位移x = +15m，a= - g = - 10 m/s2 ，代入公式：
得：
解得 t1=1s；t2=3s
t1=1 s对应着石块上升时到达“离抛出点15 m处”时所用的时间，而t2=3 s则对应着从最高点往回落时第二次经过“离抛出点15 m处”时所用的时间．
由于石块上升的最大高度H=20m，所以，石块落到抛出点下方“离抛出点15m处”时，自由下落的总高度为HOB=20m+15m=35m，下落此段距离所用的时间
s
石块从抛出到第三次经过“离抛出点15m处”时所用的时间为：t3=2 s+s=(2+)s．
【答案】t1=1s；t2=3s；t3=(2+)s
【例 16】球从高处自由下落，与此同时，在球下方的地面上，球以初速度竖直上抛，不计阻力，设，．试问：
（1）若要在球上升时两球相遇，或要在球下落时两球相遇，则的取值范围各是多少？
（2）若要两球在空中相遇，则的取值范围又是多少？
【解析】解法一：如图，若很小，可能在球上升时相遇；若较大，可能在球下落时相遇，但若很大，就可能出现球已落回原地，而球仍在空中，即两球没有相遇．所以，要使两球在空中相遇．要在一定的范围内．
（1）算出球上升到最高点的时间：
则球在最高点处两球相遇时：
球在落地前瞬间两球相遇时：
所以：要在球上升时两球相遇，则．
要在球下落时两球相遇，则．
（2）由上可知，若要两球在空中相遇，则．
解法二：如果改变参照物，以竖直上升的球为参照物，做向下的运速直线运动，这样根据球的上升和下落时间，可以很容易得出的范围．
【答案】（1）要在球上升时两球相遇，则．要在球下落时两球相遇，则．
（2）
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竖直下抛
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知识点2 竖直下抛运动
竖直下抛运动——可以把它看成是一种初速不为零的匀加速直线运动。
特点：v=vo+gt
S=vot+1/2gt2
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随堂练习
)
【例 1】在同一地点以相同的初速度υ0=49m/s先后竖直向上抛出两个石子，第二个石子比第一个石子晚抛出2秒，问：第一个石子抛出后，经几秒钟两个石子在空中相遇？（石子所受的空气阻力和空气浮力可忽略不计）　　
【答案】 设第一个石子运动的时间为t，则第二个石子运动的时间为(t－2)；两个石子在空中相遇时的高度为h．
　　根据匀速直线运动的位移公式可写出下列二式：
　　h=υ0t－1/2 gt2 ①
　　h=υ0(t－2)－1/2 g(t－2)2 ②
　①、②两式的右端相等．
　　υ0t－1/2 gt2=υ0(t－2)－1/2 g(t－2)2
　　υ0t－1/2 gt2=υ0t－2υ0－ gt2+2gt－2g
　　化简整理后可得：
　　t= =6(s)
【例 2】在一架电梯内，用绳子将一只小球悬挂在顶板上，小球离底板高为h=2.5m，使电梯从静止开始，以加速度a=10m/s2竖直向上运动，在电梯运动过程中，悬挂小球的绳突然断掉．求（g=10m/s2）
1）小球落到底板所需要的时间是多少？
2）若是在电梯运动1s后断开的，那么在小球落向底板的时间内，从地面上的人看来，小球是怎样运动的？位移是多少？
【例 3】在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物体冲出井口再落到井口时被人接住，在被人接住前1s内物体的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10m/s2，求：
(1)物体从抛出到被人接住所经历的时间；
(2)竖直井的深度.
【解析】(1)设人接住物块前1s时刻速度为v，
则有h′=vt′-(1/2)gt′2即4=v×1-(1/2)×10×12
解得v=9m/s
则物块从抛出到接住所用总时间为
t=（v-v0）/（-g）+t′=（9-11）/（-10）+1=1.2s
(2)竖直井的深度即抛出到接住物块的位移.
h=v0t-(1/2)gt2=11×1.2-1/2×10×1.22=6m
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考题欣赏
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【例 1】从12m高的平台边缘有一小球A自由落下，此时恰有一小球B在A球正下方从地面上以20m/s的初速度竖直上抛，求：
(1)经过多长时间两球在空中相遇；
(2)相遇时两球的速度vA、vB；
(3)若要使两球能在空中相遇，B球上抛的初速度v′OB最小必须为多少 (取g=10m/s2)
【解析】A、B相遇可能有两个时刻，即B球在上升过程中与A相遇，或B上升到最高点后在下落过程中A从后面追上B而相遇.若要使A、B两球能在空中相遇，则B球在空中飞行的时间至少应比A球下落12m的时间长.
(1)B球上升到最高点的高度为
H=v2OB/2g=202/（2×10）m=20m，
此高度大于平台的高度hA=12m，故A、B两球一定是在B球上升的过程中相遇，相遇时
vOBt1-1/2gt12=hA-1/2gt2
(2)相遇时vA=gt1=10×0.6m/s=6m/s
vB=v OB -gt1=(20-10×0.6)m/s=14m/s
∵hA=1/2gt2A ∴tA= =±1.55s
故tA=1.55s t′A=-1.55s(舍去)
(3)若B球以v′ OB上抛，它在空中飞行的时间为tB=2v′OB /g
要使A、B球相遇，必须有tB＞tA，即
2v′OB/g＞1.55s ∴v′ OB ＞7.75m/s
t1=hA/vOB=12/20s=0.6s
【例 2】一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是______s．（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点．g取10m/s2，结果保留二位数字．）
分析：首先，要将跳水这一实际问题转化为理想化的物理模型，将运动员看成一个质点，则运动员的跳水过程就抽象为质点的竖直上抛运动．
（t1+t2=0.3+1.45=1.75s）
【例 3】以υ0=20m/s的初速度从地面竖直向上抛出一个实心小铁球，问：经过3秒钟小铁球距地面的高度是多少米？（g取10m/s2，可以忽略空气阻力和浮力的影响．）
启发性问题：
　 　1．题目中说“实心小铁球”的目的是什么？
　　 2．你能说出这个小铁球在3秒钟的运动状态吗？
　 　3．你会用几种方法解答这个问题？
　 　4．竖直上抛运动的位移和路程的数值是否永远相等？　
解题过程：　　解法一──“分段法”
　　设：小铁球上升时间为t上，自由落下的时间为t下；上升的最大高度为h上，自由下落的距离为S下；经3秒钟小铁球距地面的高度为h．
　　则：据前面导出的各“竖直上抛运动”的公式可以写出以下关系式 t上= = =2（s）
　　 h上= = =20(m)
　　t下=3s－2s=1s
　　S下= gt下2= ×10×12=5(m)
　　∴h=h上－S下=20m－5m=15m　
解法二──“位移法”
　　将υ0、t、g的值直接代入“竖直上抛运动”的位移矢量式中可以解出：
　　S=υ0t－ gt2
　　=20×3－ ×10×32
　　=60－45=15（m）　　
　　解后思考：
　　在3秒钟内小铁球通过的路程是多少？
　　（提示：25米）
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竖直下抛
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知识点1 竖直上抛运动
1．竖直下抛的规律：规定抛出点为原点，竖直向下的方向为正方向．则
规律公式为：
2．竖直上抛运动
（1）运动性质
①可以将其分为两个过程来处理：上升过程为的匀减速直线运动；下落过程为自由落体运动，利用前面的规律公式求解．
②因为整个运动过程的加速度不变，都是，且竖直向下，整个运动可以看成是一个匀减速直线运动，这样处理更方便．
规定抛出点为原点，竖直向上的方向为正方向，如右图所示，则
规律公式为：
（2）竖直上抛运动的特点
竖直上抛运动具有对称性，上升过程和下落过程是可逆的．物体在通过同一位置时，上升速度和下落速度大小相等；物体在通过同一高度的过程中，上升时间与下落时间相等．
（3）竖直上抛运动的几个具体值
①物体上升的时间
设物体经过时间上升到最高点，在这一时刻，物体速度为零，由此可知：
，所以物体上升的时间
②上升的最大高度
物体上升的最大高度，就是时的高度，把这个式子代入位移公式就可以得出物体上升的最大高度：
③物体下落的时间
物体落回到初位置时位移为，即．代入位移公式得，所以，
表示物体经过上升和下降过程后落回原地所需的时间．
④落回原地的速度
已知落地时间为，由公式可以求出落回原地的速度为：．
(
随堂练习
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【例 1】蹦床运动是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中动作．为了测量运动员跃起的高度，在弹性网上安装了压力传感器，利用传感器记录运动员运动过程中对弹性网的压力，并用计算机做出压力——时间图象，如图所示．设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度为（）（ ）
A． B． C． D．
【例 2】小球A从距地高h的地方自由下落，同时以速度v0把小球B从地面A的正下方竖直上抛，求A、B两球在空中相遇应当满足的条件．
【例 3】在某处以速度2v0竖直上抛出A球后，又以速度v0竖直向上抛出B球，要使两球能在空中相遇，两球抛出的时间间隔△t应满足什么条件(空气阻力不计)
【例 4】从地面竖直上抛一物体，它两次经过A点的时间间隔为tA，两次经过B点的时间间隔为tB，则AB相距______．
【例 5】将物体竖直向上抛出后，能正确表示其速率随时间的变化关系的图线的是（ ）
【例 6】从地面竖直上抛一物体，同时在离地面某一高度处有另一物体自由落下，两物体在空中同时到达同一高度时速率都为v0，则下列说法中正确的是（ ）
A．物体向上抛出的初速度和物体落地时速度的大小相等
B．物体在空中运动的时间相等
C．物体能上升的最大高度和开始下落的高度相同
D．相遇时，上升的距离和下落的距离之比为
【例 7】一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m到达最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)．从离开跳台到手触水，他可用于完成空中动作的时间是______s(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点．g取10m/s2，结果保留两位有效数字)．
【例 8】如图所示，两根长度均为1m的细杆、，杆从高处自由下落， 杆同时从地面以20m/s的初速度竖直上抛，两杆开始运动前杆的下端和杆的上端相距10m，在运动过程中两杆始终保持竖直．
（1）两杆何时相遇？
（2）相遇（但不相碰）到分开的时间多长？
【例 9】一杂技演员，用一只手抛球．他每隔抛出一球，接到球便立即把球抛出，已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向的运动，试求球到达的最大高度是多少．（高度从抛球点算起，取）
【例 10】竖直上抛的物体，在上升阶段的平均速度是20m/s，则从抛出到落回抛出点所需时间为______s，上升的最大高度为______m(g取10m/s2)．
【例 11】将一小球以初速度v从地面竖直上抛后，经4s小球离地面高度为6m．若要使小球抛出后经2s达相同高度，则初速度v0应(g取10m/s2，不计阻力) ( )
A．小于v B．大于v C．等于v D．无法确定
【例 12】一石块A从80m高的地方自由下落，同时在地面正对着这石块，用40m/s的速度竖直向上抛出另一石块B，问：(1)石块A相对B是什么性质的运动？(2)经多长时间两石块相遇？(3)相遇时离地面有多高 (g取10ms2)
【例 13】小球A从地面以初速度v01=10m/s竖直上抛，同时小球B从一高为h=4m的平台上以初速v02=6m/s竖直上抛．忽略空气阻力，两球同时到达同一高度的时间、地点和速度分别为多少
【例 14】质量m=0.60kg的篮球从距地板H=0.80m高处由静止释放，与水平地板撞击后反弹上升的最大高度h=0.45m，从释放到弹跳至h高处经历的时间t=1.1s．忽略空气阻力，重力加速度取g=10m/s2，求：
（1）篮球下落的时间；
（2）篮球与地板接触时间；
（3）篮球与地板接触过程的平均加速度．
【例 15】 某人在高层楼房的阳台外侧以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m处时，所经历的时间为多少？（不计空气阻力，取g =10m/s2）
【例 16】球从高处自由下落，与此同时，在球下方的地面上，球以初速度竖直上抛，不计阻力，设，．试问：
（1）若要在球上升时两球相遇，或要在球下落时两球相遇，则的取值范围各是多少？
（2）若要两球在空中相遇，则的取值范围又是多少？
(
竖直下抛
)
知识点2 竖直下抛运动
竖直下抛运动——可以把它看成是一种初速不为零的匀加速直线运动。
特点：v=vo+gt
S=vot+1/2gt2
(
随堂练习
)
【例 1】在同一地点以相同的初速度υ0=49m/s先后竖直向上抛出两个石子，第二个石子比第一个石子晚抛出2秒，问：第一个石子抛出后，经几秒钟两个石子在空中相遇？（石子所受的空气阻力和空气浮力可忽略不计）　　
【例 2】在一架电梯内，用绳子将一只小球悬挂在顶板上，小球离底板高为h=2.5m，使电梯从静止开始，以加速度a=10m/s2竖直向上运动，在电梯运动过程中，悬挂小球的绳突然断掉．求（g=10m/s2）
1）小球落到底板所需要的时间是多少？
2）若是在电梯运动1s后断开的，那么在小球落向底板的时间内，从地面上的人看来，小球是怎样运动的？位移是多少？
【例 3】在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物体冲出井口再落到井口时被人接住，在被人接住前1s内物体的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10m/s2，求：
(1)物体从抛出到被人接住所经历的时间；
(2)竖直井的深度.
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考题欣赏
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【例 1】从12m高的平台边缘有一小球A自由落下，此时恰有一小球B在A球正下方从地面上以20m/s的初速度竖直上抛，求：
(1)经过多长时间两球在空中相遇；
(2)相遇时两球的速度vA、vB；
(3)若要使两球能在空中相遇，B球上抛的初速度v′OB最小必须为多少 (取g=10m/s2)
【例 2】一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是______s．（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点．g取10m/s2，结果保留二位数字．）
【例 3】以υ0=20m/s的初速度从地面竖直向上抛出一个实心小铁球，问：经过3秒钟小铁球距地面的高度是多少米？（g取10m/s2，可以忽略空气阻力和浮力的影响．）
启发性问题：
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