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专题二 集合、常用逻辑与复数
第3讲 复数
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
一．选择题（共13小题）
1．复数z满足zi﹣1＝i，则z的共轭复数为（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．若复数z满足4+i，则z的虚部为（　　）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
3．设复数z，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
4．若复数z满足（1+i）z＝|3+4i|，则z的虚部为（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
5．已知复数（i虚数单位），则z（　　）
A． B．2 C．1 D．
6．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z| D．z2i
7．复数Z的共轭复数的模为（　　）
A． B． C． D．2
8．在复平面内，复数2i对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．若复数z满足z（2﹣i）＝（1+4i）（i是虚数单位），则复数在复平面中对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知复数z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]
11．复数z1，z2在复平面内所对应的点关于实轴对称，且z1（1﹣i）＝|1+i|，则z1 z2＝（　　）
A．2 B．1 C． D．1i
12．若复数：zi2020，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．若复数z满足3z4+2i，则z＝（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
二．多选题（共1小题）
（多选）14．已知复数z＝1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（　　）
A．复数z的虚部为i
B．|z|
C．复数z的共轭复数1﹣i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
三．填空题（共3小题）
15．若复数z与其共轭复数满足|z|，z2，则z　 　．
16．已知复数z满足|z﹣1|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最大值为　 　．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题二 集合、常用逻辑与复数
第3讲 复数
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
一．选择题（共13小题）
1．复数z满足zi﹣1＝i，则z的共轭复数为（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【解答】解：∵zi﹣1＝i，
∴，
∴．
故选：B．
2．若复数z满足4+i，则z的虚部为（　　）
A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3
【解答】解：由4+i得z＝（﹣4+i）（3+i）﹣2i＝﹣13﹣3i，
则z的虚部为﹣3．
故选：B．
3．设复数z，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
4．若复数z满足（1+i）z＝|3+4i|，则z的虚部为（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
【解答】解：∵（1+i）z＝|3+4i|，
∴（1+i）z5，
∴z，
∴z的虚部为．
故选：D．
5．已知复数（i虚数单位），则z（　　）
A． B．2 C．1 D．
【解答】解：由题意知，
利用性质，得z2，
故选：B．
6．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z| D．z2i
【解答】解：因为z（1﹣i）＝2i，所以z1+i，
则|z|；由于z的虚部是1，则A，B错，z2，则D错．
故选：C．
7．复数Z的共轭复数的模为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：．
故选：C．
8．在复平面内，复数2i对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵2i，
∴复数2i对应的点位于第一象限．
故选：A．
9．若复数z满足z（2﹣i）＝（1+4i）（i是虚数单位），则复数在复平面中对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由z（2﹣i）＝（1+4i）得z，
所以，
所以在复平面中对应的点（）在第三象限．
故选：C．
10．已知复数z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]
【解答】解：z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，
所以m+1＞0且m﹣1＜0，
解得﹣1＜m＜1．
故选：C．
11．复数z1，z2在复平面内所对应的点关于实轴对称，且z1（1﹣i）＝|1+i|，则z1 z2＝（　　）
A．2 B．1 C． D．1i
【解答】解：∵z1（1﹣i）＝|1+i|，∴z1i，
又∵复数z1，z2在复平面内所对应的点关于实轴对称，
∴z2i，
∴z1 z2＝1，
故选：B．
12．若复数：zi2020，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：zi2020111，
故z在复平面内对应的点（，）位于第四象限，
故选：D．
13．若复数z满足3z4+2i，则z＝（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则3z3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
∴，即a＝﹣1，b＝1．
∴z＝﹣1+i．
故选：D．
二．多选题（共1小题）
（多选）14．已知复数z＝1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（　　）
A．复数z的虚部为i
B．|z|
C．复数z的共轭复数1﹣i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【解答】解：∵复数z＝1+i，∴复数z的虚部为1，故A错误；
|z|，故B正确；
复数z的共轭复数1﹣i，故C正确；
数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
15．若复数z与其共轭复数满足|z|，z2，则z　2　．
【解答】解：设复数z＝a+bi，a、b∈R，
则a﹣bi，
由|z|，z2，
得，
解得a＝1，b＝±；
当a＝1，b时，z（1i）2；
当a＝1，b时，z（1i）2；
故答案为：2．
16．已知复数z满足|z﹣1|＝1，则|z﹣1﹣2i|的最大值为　3　．
【解答】解：已知复数z满足|z﹣1|＝1，
则|z﹣1﹣2i|≤|z﹣1|+|﹣2i|＝1+2＝3，
故答案为：3．

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