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专题二 集合、常用逻辑与复数
第2讲 常用逻辑用语
1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
2．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为 x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为 x0∈M，p(x0)．
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p q，则p是q的充分条件；
(2)如果q p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合.
一．选择题（共10小题）
1．命题“ x0∈R，x02+4x0+6≤0”的否定为（　　）
A． x∈R，x02+4x0+6≤0 B． x∈R，x2+4x+6＞0
C． x0∈R，x2+4x+6＞0 D． x0∈R，x02+4x0+6≥0
【解答】解：命题是特称命题，则否定是全称命题，即 x∈R，x2+4x+6＞0，
故选：B．
2．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x0∈R， B． x0∈R，
C． x∈R，ex﹣1≤x D． x∈R，ex﹣1＜x
【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，
命题“ x0∈R，”的否定是：“ x∈R，ex﹣1＜x”．
故选：D．
3．命题“ x0≥0，”的否定是（　　）
A． x0＜0， B． x0≥0，
C． x＜0，ex﹣1＜x D． x≥0，ex﹣1＜x
【解答】解：根据题意，命题 x0≥0，是特称命题，
其否定为 x≥0，ex﹣1＜x，
故选：D．
4．已知命题“ x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，4） C．[﹣4，+∞） D．[4，+∞）
【解答】解：命题“ x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题，
它的否定命题：“ x∈R，ax2+4x﹣1≥0”是真命题；
当a＝0时，不等式化为4x﹣1≥0，解得x，满足题意；
当a≠0时，若x2＞0，则不等式化为a4，
所以a≥﹣4，且a≠0；
综上知，实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．
故选：C．
5．已知命题“ x∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，4] C．[4，+∞） D．（0，4）
【解答】解：因为命题“ x∈R，使”是假命题，
所以命题“ x∈R，使”是真命题，
即判别式Δ，解得0＜a＜4，
所以实数a的取值范围是（0，4）．
故选：D．
6．已知条件p：x＞1，条件q：x≥2，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵{x|x＞1} {x|x≥2}，
∴p是q的必要不充分条件，
故选：B．
7．已知条件p：|x|≤1，条件q：x＜﹣2，则p是 q的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：条件p：|x|≤1，解得：﹣1≤x≤1．
条件q：x＜﹣2，则 q：x≥﹣2．
∴p是 q的充分不必要条件．
故选：A．
8．“x＞0”是“x2+x＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由x2+x＞0，解得x＞0，或x＜﹣1．
∴“x＞0”是“x2+x＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
9．设x∈R，则“2﹣x≤0”是“|x﹣1|≥1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由2﹣x≤0得x≥2，
由|x﹣1|≥1得2≤x或x≤0，
则“2﹣x≤0”是“|x﹣1|≥1”的充分不必要条件，
故选：A．
10．“x2＝y2”是“x＝y”的什么条件（　　）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解答】解：若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，
∴“x2＝y2”是“x＝y”的必要不充分条件．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为　a≤1　．
【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，
则a≤1，
故答案为：a≤1
12．设α：m﹣1≤x≤2m，β：2≤x≤4，m∈R，α是β的必要非充分条件，则实数m的取值范围 　[2，3]　．
【解答】解：由题意可知，α是β的必要不充分条件，
故{x|m﹣1≤x≤2m} {x|2≤x≤4}，
故，解之得2≤m≤3，
故实数m的取值范围是[2，3]，
故答案为：[2，3]．
13．已知p：|x﹣6|≤4，q：a﹣1＜x＜a+1，a∈R，且p是q成立的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　[3，9]　．
【解答】解：p：|x﹣6|≤4，可得2≤x≤10，设A＝[2，10]，设B＝（a﹣1，a+1）
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以集合B是集合A的真子集，
所以，解得3≤a≤9，
即实数a的取值范围是[3，9]，
故答案为：[3，9]
14．已知“x2﹣x﹣2＞0”是“2x+p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是　（﹣∞，﹣4]　．
【解答】解：由2x+p＞0，得x，即A＝{x|x}，
由x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，令B＝{x|x＞2或x＜﹣1}，
由题意知A B时，即2，解得p≤﹣4，
∴实数p的取值范围是（﹣∞，﹣4]．
故答案为：（﹣∞，﹣4]．
三．多选题（共2小题）
（多选）15．下列命题正确的有（　　）
A．若命题p： x∈R，x2+x+1＜0，则￢p： x∈R，x2+x+1≥0
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
C．x＞1是（x﹣1）（x+2）＞0的充分不必要条件
D． x∈R，
【解答】解：A．命题p： x∈R，x2+x+1＜0，则￢p： x∈R，x2+x+1≥0，故正确；
B．因为x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1≥1＞0，所以x2﹣4x+5＞0的解集为R，故正确；
C．由（x﹣1）（x+2）＞0可得x＞1或x＜﹣2，所以x＞1是（x﹣1）（x+2）＞0的充分不必要条件，故正确；
D． x∈R，，故错误．
故选：ABC．
（多选）16．使x0成立的一个充分条件可以是（　　）
A．x＜﹣1 B．0＜x＜1 C．﹣1≤x≤1 D．x≤1
【解答】解：x0 0 ，
∴x≤﹣1或0＜x≤1，
∵{x|x＜﹣1} {x|x≤﹣1或0＜x≤1}，{x|0＜x＜1} {x|x≤﹣1或0＜x≤1}，
∴不等式x0成立的一个充分条件是x＜﹣1或0＜x＜1
故选：AB．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题二 集合、常用逻辑与复数
第2讲 常用逻辑用语
1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
2．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为 x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为 x0∈M，p(x0)．
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p q，则p是q的充分条件；
(2)如果q p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合.
一．选择题（共10小题）
1．命题“ x0∈R，x02+4x0+6≤0”的否定为（　　）
A． x∈R，x02+4x0+6≤0 B． x∈R，x2+4x+6＞0
C． x0∈R，x2+4x+6＞0 D． x0∈R，x02+4x0+6≥0
2．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x0∈R， B． x0∈R，
C． x∈R，ex﹣1≤x D． x∈R，ex﹣1＜x
3．命题“ x0≥0，”的否定是（　　）
A． x0＜0， B． x0≥0，
C． x＜0，ex﹣1＜x D． x≥0，ex﹣1＜x
4．已知命题“ x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，4） C．[﹣4，+∞） D．[4，+∞）
5．已知命题“ x∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，4] C．[4，+∞） D．（0，4）
6．已知条件p：x＞1，条件q：x≥2，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知条件p：|x|≤1，条件q：x＜﹣2，则p是 q的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．“x＞0”是“x2+x＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设x∈R，则“2﹣x≤0”是“|x﹣1|≥1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．“x2＝y2”是“x＝y”的什么条件（　　）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
二．填空题（共5小题）
11．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为　 　．
12．设α：m﹣1≤x≤2m，β：2≤x≤4，m∈R，α是β的必要非充分条件，则实数m的取值范围 　 　．
13．已知p：|x﹣6|≤4，q：a﹣1＜x＜a+1，a∈R，且p是q成立的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　 　．
14．已知“x2﹣x﹣2＞0”是“2x+p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是　 　．
三．多选题（共2小题）
（多选）15．下列命题正确的有（　　）
A．若命题p： x∈R，x2+x+1＜0，则￢p： x∈R，x2+x+1≥0
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
C．x＞1是（x﹣1）（x+2）＞0的充分不必要条件
D． x∈R，
（多选）16．使x0成立的一个充分条件可以是（　　）
A．x＜﹣1 B．0＜x＜1 C．﹣1≤x≤1 D．x≤1

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