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专题九 解析几何
第4讲 双曲线
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝＝ ∈(1，＋∞) e是表示双曲线开 口大小的一个量， e越大开口越大.
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 a2＝c2－b2
一．选择题（共12小题）
1．椭圆1的焦点坐标是（　　）
A．， B．（﹣2，0），（2，0）
C．， D．（0，﹣2），（0，2）
2．若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝13，则|PF2|＝（　　）
A．19或7 B．19 C．10 D．16或10
3．与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．若双曲线的渐近线方程为，则m＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．y＝±x
6．与椭圆1的焦点坐标相同的是（　　）
A．x2﹣15y2＝15 B．
C． D．
7．双曲线C：1的焦点到渐近线的距离为（　　）
A．1 B． C．4 D．
8．已知点F1，F2是实轴长为2的双曲线的左、右焦点，P是C上的一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则|F1F2|＝（　　）
A． B． C． D．
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C． D．2
10．双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）
A．y2＝1 B．x21
C． D．
12．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）
A．﹣3＜m＜0 B．﹣3＜m＜2 C．﹣3＜m＜4 D．﹣1＜m＜3
二．填空题（共2小题）
13．已知双曲线y2＝1（a＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则该双曲线的离心率是　 　．
14．已知椭圆C：（4＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，若P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2面积为　 　
三．解答题（共2小题）
15．已知：双曲线C：．
（1）求双曲线C的焦点坐标、顶点坐标、离心率；
（2）若一条双曲线与已知双曲线C有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程．
16．已知双曲线．
（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程；
（2）P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是（4，0），求|PA|的最小值．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题九 解析几何
第4讲 双曲线
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝＝ ∈(1，＋∞) e是表示双曲线开 口大小的一个量， e越大开口越大.
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 a2＝c2－b2
一．选择题（共12小题）
1．椭圆1的焦点坐标是（　　）
A．， B．（﹣2，0），（2，0）
C．， D．（0，﹣2），（0，2）
【解答】解：∵1，
∴a2＝3，b2＝1，焦点在x轴上，
∴c，即椭圆1的焦点坐标是（），（）．
故选：A．
2．若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝13，则|PF2|＝（　　）
A．19或7 B．19 C．10 D．16或10
【解答】解：根据题意，双曲线中a3，
又由P在双曲线E上，则有||PF1|﹣|PF2||＝2a＝6，即|PF1|﹣|PF2|＝±6，
又由|PF1|＝13，则|PF2|＝7或19，
故选：A．
3．与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线共渐近线，设要求的双曲线为y2＝t，（t≠0），
又由双曲线经过点，则有t，
解可得t＝2，
则要求双曲线的标准方程为1；
故选：A．
4．若双曲线的渐近线方程为，则m＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：令0，则y＝±x，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，所以m＝3．
故选：B．
5．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．y＝±x
【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，
可得e2，则c＝2a，
则ba，即，
则其渐近线方程y＝±x；
故选：A．
6．与椭圆1的焦点坐标相同的是（　　）
A．x2﹣15y2＝15 B．
C． D．
【解答】解：椭圆的焦点坐标为（±，0），即（±4，0），
x2﹣15y2＝15，即y2＝1的焦点坐标为（±，0），即（±4，0）；
1的焦点坐标为（±，0），即（±，0）；
1的焦点坐标为（±，0），即（±2，0）；
1的焦点坐标为（0，±），即（0，±4），
可得与椭圆的焦点坐标相同的是A．
故选：A．
7．双曲线C：1的焦点到渐近线的距离为（　　）
A．1 B． C．4 D．
【解答】解：双曲线的焦点坐标为，
渐近线方程为，
故焦点到渐近线的距离，
故选：B．
8．已知点F1，F2是实轴长为2的双曲线的左、右焦点，P是C上的一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则|F1F2|＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为2，
可得a＝1，P是C上的一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义可得：|m﹣n|＝2a＝2，则有m2+n2＝4c2，①
mn＝4，②
联立①②解可得mn＝8，可得4c2＝20，
则c，
故选：C．
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C． D．2
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得，即：，解得a＝b，
双曲线C：1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：2．
故选：D．
10．双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线C：1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：y＝±x，不妨P在第一象限，
可得tan∠POF，P（，），
所以△PFO的面积为：．
故选：B．
11．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）
A．y2＝1 B．x21
C． D．
【解答】解：可得c＝2，，即，
解得a＝1，c＝2，b，
双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：x21
故选：B．
12．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）
A．﹣3＜m＜0 B．﹣3＜m＜2 C．﹣3＜m＜4 D．﹣1＜m＜3
【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，
则有（m﹣2）（m+3）＜0，
解可得﹣3＜m＜2，
要求方程表示双曲线的一个充分不必要条件，
即要求的是{m|﹣3＜m＜2}的真子集；
依次分析选项：A符合条件，
故选：A．
二．填空题（共2小题）
13．已知双曲线y2＝1（a＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则该双曲线的离心率是　　．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2＝1，则其渐近线方程为y＝±，
又由双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0即y＝﹣2x+3垂直，
则有，即a＝2，
又由b＝1，则c，
则双曲线的离心率e；
故答案为：．
14．已知椭圆C：（4＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，若P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2面积为　4　
【解答】解：椭圆C：（4＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，
∴e211（）2，
∴b2＝4，
∴c＝2
∴|F1F2|＝2c＝4，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2＝（2c）2＝48，
又|PF1|+|PF2|＝2a，∴m+n＝8．
解得mn＝8．
∴△F1PF2的面积Smn＝4．
故答案为：4
三．解答题（共2小题）
15．已知：双曲线C：．
（1）求双曲线C的焦点坐标、顶点坐标、离心率；
（2）若一条双曲线与已知双曲线C有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程．
【解答】解：（1）双曲线C：的a＝4，b＝3，c＝5，
可得焦点（±5，0），顶点（±4，0），离心率e；
（2）若一条双曲线与已知双曲线C有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为m（m≠0且m≠1），
代入点，可得m，
则所求双曲线的方程为．
16．已知双曲线．
（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程；
（2）P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是（4，0），求|PA|的最小值．
【解答】解：（1）双曲线．与双曲线C有共同的渐近线，
设，当m＞0，4m＝100 m＝25；
当m＜0，，
∴标准方程为或1．
（2）设P（x，y），
∴，
即|PA|的最小值为．

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