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专题九 解析几何
第2讲 圆的方程
1.圆的方程：
（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．
（2）圆的一般方程：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
圆心为，半径长为．
2．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
几何观点 dr dr dr
（1）圆的切线方程常用结论
①过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②过圆过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
求圆的切线的策略：
①几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
②代数法：，方程组有一组不同的解.
（2）有关弦长问题的2种求法
几何法 直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2
代数法 联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝
3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
一．选择题（共20小题）
1．圆心为（2，﹣5），半径为4的圆的标准方程是（　　）
A．（x+2）2+（y﹣5）2＝16 B．（x﹣2）2+（y+5）2＝16
C．（x+2）2+（y﹣5）2＝4 D．（x﹣2）2+（y+5）2＝4
【解答】解：由圆的标准方程得：圆心为（2，﹣5），半径为4的圆的标准方程是：（x﹣2）2+（y+5）2＝16．
故选：B．
2．已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（　　）
A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与3
【解答】解：根据题意，圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，
其圆心为（1，0），半径r＝3，
故选：D．
3．若x2+y2﹣x+y﹣2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，若x2+y2﹣x+y﹣2m＝0是一个圆的方程，
必有（﹣1）2+12﹣4×（﹣2m）＞0，即1+4m＞0，
解可得：m，即m的取值范围为（，+∞），
故选：D．
4．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（　　）
A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20 B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10
C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10 D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20
【解答】解：r，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10．
故选：B．
5．已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
【解答】解：由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，
所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，
即：，整理得：﹣1＜a＜1．
故选：A．
6．圆（x+3）2+y2＝4关于原点（0，0）对称的圆的方程为（　　）
A．x2+（y﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2+y2＝4
C．x2+（y﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝4
【解答】解：圆（x+3）2+y2＝4的圆心（﹣3，0），
关于（0，0）对称的圆心坐标（3，0）所求圆的方程是（x﹣3）2+y2＝4，
故选：B．
7．圆C：x2+y2＝2关于直线x﹣2y+5＝0对称的圆的方程为（　　）
A．（x+2）2+（y﹣4）2＝2 B．（x﹣2）2+（y+4）2＝2
C．（x+4）2+（y﹣6）2＝2 D．（x﹣4）2+（y+6）2＝2
【解答】解：圆关于直线对称的圆，则半径不变，圆心关于直线对称，
设对称圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2，
故点（a，b）与（0，0）关于直线x﹣2y+5＝0对称，
所以，解得a＝﹣2，b＝4，
故所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣4）2＝2．
故选：A．
8．已知直线l：kx﹣y+1﹣k＝0和圆C：x2+y2﹣4x＝0，则直线l与圆C的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【解答】解：由直线l：kx﹣y+1﹣k＝0，得k（x﹣1）﹣y+1＝0，
可知直线l过定点P（1，1），
化圆C：x2+y2﹣4x＝0为（x﹣2）2+y2＝4，知圆心C（2，0），半径为2，
∵|PC|2，则P在圆C内，
∴直线l与圆C的位置关系为相交．
故选：A．
9．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外，
∴a2+b2＞1，
∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d1＝r，
则直线与圆的位置关系是相交．
故选：B．
10．直线x+y+1＝0被圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0截得的弦长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝1，
∴圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝1，
∴圆心到直线x+y+1＝0的距离d，
故直线x+y+1＝0被圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0截得的弦长为2，
故选：B．
11．过点（1，0）且倾斜角为30°的直线被圆（x﹣2）2+y2＝1所截得的弦长为（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：根据题意，设过点（1，0）且倾斜角为30°的直线为l，
其方程为y＝tan30°（x﹣1），即y（x﹣1），变形可得xy﹣1＝0；
圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径r＝1，
设直线l与圆交于点AB，
圆心到直线的距离d，
则AB＝2，
故选：C．
12．直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则b的值是（　　）
A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的圆心坐标为（1，1），半径r1，
因为直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，
所以圆心（1，1）到直线3x+4y＝b的距离d1，
解得b＝2或b＝12．
故选：D．
13．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，
所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a2．
故选：C．
14．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（　　）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0 B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0 D．x2+y2﹣4x＝0
【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），
由题意知圆心到直线3x+4y+4＝0的距离dr＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为（2，0）
则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝4，化简得x2+y2﹣4x＝0
故选：D．
15．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝4的位置关系为（　　）
A．内含 B．外离 C．相交 D．相切
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心为（0，0），半径r＝1，
圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，其圆心为（1，﹣2），半径R＝2，
则圆心距|C1C2|，有R﹣rR+r，两圆相交，
故选：C．
16．若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（　　）
A．21 B．19 C．9 D．﹣11
【解答】解：由C1：x2+y2＝1，得圆心C1（0，0），半径为1，
由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，
∴圆心C2（3，4），半径为．
∵圆C1与圆C2外切，
∴，
解得：m＝9．
故选：C．
17．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0和x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在直线的方程为（　　）
A．x+2y﹣6＝0 B．x﹣3y+5＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．x+3y﹣8＝0
【解答】解：两个圆的方程联立，两式相减整理可得：x﹣2y+6＝0，
所以两个圆的公共弦所在的直线方程为：x﹣2y+6＝0，
故选：C．
18．圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2y﹣6＝0的公共弦长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：根据题意，设两个圆的交点为A、B，
圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
，可得y＝1，
则AB所在直线的方程为y＝1，
（0，0）到直线AB的距离d＝1，
则|AB|＝22，
故选：D．
19．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6y＝0的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为（　　）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．x+2y﹣3＝0 D．2x+y﹣3＝0
【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（0，3），
由圆的性质可知AB⊥CP，
因为kCP＝﹣2，所以kAB，
故AB所在的直线方程为y﹣1（x﹣1）即x﹣2y+1＝0．
故选：B．
20．已知圆与圆有3条公切线，则m＝（　　）
A．﹣1 B．1或 C． D．﹣1或
【解答】解：由题意，圆与圆O2外切，
∴|O1O2|＝2+3＝5，即，
解得m＝1或．
故选：B．
二．多选题（共2小题）
（多选）21．以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线
D．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为：x+2y+6＝0
【解答】解：直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）即mx+4（y﹣3）＝0对m∈R恒成立，所以直线恒过定点（0，3），所以A正确；
圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心（1，4）到直线4x﹣3y+3＝0的距离为d1≠2，所以B不正确；
圆C1：x2+y2+2x＝0的圆心（﹣1，0）半径为1，圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0的圆心（2，4），半径为4，
两个圆的圆心距为：d5＝1+4，所以两个圆外切，所以了两个圆有恰有三条公切线，所以C正确；
两圆x2+y2+4x﹣4y＝0的圆心（﹣2，2），半径为：2，
x2+y2+2x﹣12＝0的圆心（﹣1，0），半径为：，圆心距为：，半径和为：2，半径差为：，所以两个圆相交，两个圆的方程作差，可得公共弦所在的直线方程为：x﹣2y+6＝0，所以D不正确；
故选：AC．
（多选）22．点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（　　）
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1，
圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝1，其圆心C2（3，﹣4），半径r＝1，
圆心距|C1C2|5，
则|PO|的最小值为|C1C2|﹣R﹣r＝3，最大值为|C1C2|+R+r＝7，故A正确，B正确；
对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k，C正确，
对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|＞R+r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误．
故选：ABC．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题九 解析几何
第2讲 圆的方程
1.圆的方程：
（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．
（2）圆的一般方程：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
圆心为，半径长为．
2．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
几何观点 dr dr dr
（1）圆的切线方程常用结论
①过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②过圆过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
求圆的切线的策略：
①几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
②代数法：，方程组有一组不同的解.
（2）有关弦长问题的2种求法
几何法 直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2
代数法 联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝
3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
一．选择题（共20小题）
1．圆心为（2，﹣5），半径为4的圆的标准方程是（　　）
A．（x+2）2+（y﹣5）2＝16 B．（x﹣2）2+（y+5）2＝16
C．（x+2）2+（y﹣5）2＝4 D．（x﹣2）2+（y+5）2＝4
2．已知圆的方程是x2+y2﹣2x﹣8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（　　）
A．（﹣1，0）与9 B．（1，0）与9 C．（﹣1，0）与3 D．（1，0）与3
3．若x2+y2﹣x+y﹣2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（　　）
A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20 B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10
C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10 D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20
5．已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
6．圆（x+3）2+y2＝4关于原点（0，0）对称的圆的方程为（　　）
A．x2+（y﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2+y2＝4
C．x2+（y﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2+y2＝4
7．圆C：x2+y2＝2关于直线x﹣2y+5＝0对称的圆的方程为（　　）
A．（x+2）2+（y﹣4）2＝2 B．（x﹣2）2+（y+4）2＝2
C．（x+4）2+（y﹣6）2＝2 D．（x﹣4）2+（y+6）2＝2
8．已知直线l：kx﹣y+1﹣k＝0和圆C：x2+y2﹣4x＝0，则直线l与圆C的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
9．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
10．直线x+y+1＝0被圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0截得的弦长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
11．过点（1，0）且倾斜角为30°的直线被圆（x﹣2）2+y2＝1所截得的弦长为（　　）
A． B．1 C． D．
12．直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则b的值是（　　）
A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12
13．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
14．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（　　）
A．x2+y2﹣2x﹣3＝0 B．x2+y2+4x＝0
C．x2+y2+2x﹣3＝0 D．x2+y2﹣4x＝0
15．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝4的位置关系为（　　）
A．内含 B．外离 C．相交 D．相切
16．若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（　　）
A．21 B．19 C．9 D．﹣11
17．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0和x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在直线的方程为（　　）
A．x+2y﹣6＝0 B．x﹣3y+5＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．x+3y﹣8＝0
18．圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2y﹣6＝0的公共弦长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
19．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6y＝0的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为（　　）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．x+2y﹣3＝0 D．2x+y﹣3＝0
20．已知圆与圆有3条公切线，则m＝（　　）
A．﹣1 B．1或 C． D．﹣1或
二．多选题（共2小题）
（多选）21．以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3）
B．圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线4x﹣3y+3＝0的距离为2
C．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线
D．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为：x+2y+6＝0
（多选）22．点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（　　）
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0

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