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专题三 三角函数
第3讲 三角函数的图像与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定 义 域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数
单 调 性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对 称 性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是 (k∈Z)
题型一.正弦、余弦、正切函数
1．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是（　　）
A．在x∈[2kπ，2kπ+2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝﹣1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
【解答】解：因为正弦函数y＝sinx的周期为2π，故A正确；
因为正弦函数y＝sinx的值域为[﹣1，1]，故B正确；
因为正弦函数y＝sinx不关于x轴对称，故C不正确；
因为正弦函数y＝sinx与y轴只有一个交点，故D正确；
故选：C．
2．函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象是（　　）
A．B． C．D．
【解答】解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
y 1 0 1 2 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示：
故选：B．
3．设0≤x≤2π，使sinx且cosx同时成立的x取值范围是（　　）
A．[] B．[] C．[] D．（]
【解答】解：由正弦曲线，得sinx时，x∈[，]；
由余弦曲线，得cosx时，x∈（，），
∴0≤x≤2π，使sin x且cos x同时成立的x取值范围是（]．
故选：D．
4．函数y＝|cosx|的一个单调减区间是（　　）
A． B． C． D．（π，2π）
【解答】解：在坐标系中画出函数y＝|cosx|的图象：
根据图象及选项得到函数的一个增区间是：（0，）
故选：B．
5．方程|x|＝cosx在（﹣∞，+∞）内（　　）
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
【解答】解：方程|x|＝cosx在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y＝|x|，y＝cosx在（﹣∞，+∞）内交点的个数，
如图，可知只有2个交点．
故选：C．
6．函数y＝cosx+|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：y＝cosx+|cosx|，
∵y＝cosx在[0，）为减函数，在（，2π]为增函数，并且函数值都大于等于0，
只有D符合，
故选：D．
7．在区间[﹣2π，2π]范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：tanx＝sinx得，
即sinx（）＝0，即sinx＝0或，
∴sinx＝0或cosx＝1．
∴在区间[﹣2π，2π]内x＝﹣2π，﹣π，0，π，2π共5个值．
故两个函数图象的交点个数为5个．
故选：B．
8．函数f（x）＝2x﹣tanx在上的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数f（x）＝2x﹣tanx在上满足f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，
故A，B不正确；
又x→0+，函数f（x）＝2tan0，
故C正确，D不正确．
故选：C．
题型二.三角函数的图像变换
1．为了得到函数的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【解答】解：∵由y＝sinx到y＝sin（x），只是横坐标由x变为x，
∴要得到函数y＝sin（x）的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．
故选：A．
2．要想得到函数y＝sin2x+1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（　　）
A．向左平移个单位，再向上平移1个单位
B．向右平移个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移个单位，再向下平移1个单位
D．向右平移个单位，再向上平移1个单位
【解答】解：由函数y＝cos2x可化简为：y＝sin（）＝sin[2（x）]，
∴向右平移个单位可得y＝sin2x的图象，
再向上平移1个单位，可得y＝sin2x+1的图象．
故选：B．
3．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（　　）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【解答】解：曲线C2：y＝sin（2x）＝cos（2x），
把C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得y＝cos2x的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线C2：y＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，
故选：D．
4．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝2sin（x） B．f（x）＝2sin（x）
C．f（x）＝2sin（2x） D．f（x）＝2sin（2x）
【解答】解：由函数的图象可得A＝2，
又∵函数的周期T＝2（）＝π，
∴ω2，
∴f（x）＝2sin（2x+φ），
∵点（，0）在函数图象上，
∴2sin（2φ）＝0，可得2φ＝kπ，k∈Z，由于|φ|，可得φ．
∴f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x）．
故选：C．
5．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y＝sin（2x+φ）．
代入（，0）可得φ的一个值为 ，故图象中函数的一个表达式是y＝sin（2x），
即y＝sin2（x），
所以只需将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变．
故选：A．
6．函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程为（　　）
A．x B．x C．x D．x
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），
∴sin（φ）＝0，结合图象求得φ，故f（x）＝sin（2x）．
若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x）＝sin（2x）的图象．
令2xkπ，求得x，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x，
故选：D．
7．函数y的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数y，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x时，f（），排除A，
x＝π时，f（π）＝0，排除D．
故选：C．
8．函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π]，
∴f（﹣x）f（x），
∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；
又f（π），因此排除B，C；
故选：D．
题型三.三角函数的性质
1．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝sinx C．y＝tan D．y＝cos4x
【解答】解：由于函数y＝sinx的周期为2π，∴y＝|sinx|的周期为π，
故选：A．
2．下列函数的最小正周期为π且为奇函数的是（　　）
A．y＝cos2x B．y＝tan2x
C．y＝|sinx| D．y＝cos（2x）
【解答】解：A：y＝cos2x为偶函数，不符合题意；
B：y＝tan2x的最小正周期T，不符合题意；
C：y＝|sinx|为偶函数，不符合题意；
D：y＝cos（2x）＝﹣sin2x为奇函数，且Tπ，符合题意．
故选：D．
3．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（　　）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【解答】解：由已知可得，∴，
因为，所以是对称中心，所以A正确；
因为，所以直线不是对称轴，所以B错误；
因为，所以不是对称中心，所以C错误；
因为，所以直线不是对称轴，所以D错误．
故选：A．
4．对于函数f（x）＝cos（2x），下列选项中正确的是（　　）
A．f（x）在上是递增的
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2π
D．f（x）的最大值为2
【解答】解：函数f（x）＝cos（2x）＝sin2x，
因为y＝sinx是奇函数，所以y＝sin2x也是奇函数，函数的图象关于原点对称．
故选：B．
5．以下关于函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的命题，正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）在区间（0，π）上单调递增
B．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴
C．点（，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心
D．将f（x）＝2sin（2x）向左平移个单位，可得到y＝2sin2x
【解答】解：f（x）＝sin2x﹣cos2x
令（k∈Z），则，故可知A不正确；
当时，0，故B不正确；
当时，1，故C不正确；
将f（x）向左平移个单位，可得到y，故D 正确
故选：D．
6．设点P是函数f（x）＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则f（x）的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C． D．
【解答】解：设点P是函数f（x）＝sinωx的图象C的一个对称中心，
若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为，
则最小正周期为π，
故选：B．
7．函数y＝3﹣2cos（2x）的单调递减区间是（　　）
A．（kπ，kπ）（k∈Z）
B．（kπ，kπ）（k∈Z）
C．（2kπ，2kπ）（k∈Z）
D．（2kπ，2kπ）（k∈Z）
【解答】解：函数y＝3﹣2cos（2x）的单调递减区间，即函数y＝2cos（2x）的单调递增区间，
令2kπ﹣π≤2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得原函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
结合所给的选项，故选：B．
8．将函数f（x）＝cos（2x）图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有的性质是（　　）
A．图象的对称轴为x
B．在（）上单调递减，且为偶函数
C．在（）上单调递增，且为奇函数
D．图象的中心对称点是（）
【解答】解：将函数f（x）＝cos（2x）图象上所有的点向右平移个单位长度后，
得到函数g（x）＝cos（2x）＝cos（2x）＝sin2x 的图象，
令2x＝kπ，求得x，故函数g（x）的图象的对称轴为x，故A不正确；
由于g（x）＝sin2x 为奇函数，故B错误；
在（）上，2x∈（，），g（x）单调递增，故C正确；
令2x＝kπ，求得x，故函数g（x）的图象的对称中心为（，0）故D不正确，
故选：C．
9．将函数的图象向右平移个周期后得到的函数为g（x），则g（x）的图象的一条对称轴可以是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：的周期为，图象向右平移个周期后得到的函数为g（x），
则，由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k＝0，得为其中一条对称轴．
故选：A．
10．将函数f（x）＝2cosx﹣2sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：f（x）＝2cosx﹣2sinx＝4cos（x），
f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，
得y＝f（x+φ）＝4cos（x+φ）的图象，
∴g（x）＝4cos（x+φ）；
又函数g（x）为偶函数，
∴φkπ，k∈Z；
∴φ＝kπ，k∈Z；
∴φ的最小值是．
故选：C．
11．函数y＝2sin（x）﹣cos（x）（x∈R）最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．
【解答】解：∵（x）+（x），
∴cos（x）＝sin（x），
∴y＝2sin（x）﹣cos（x）＝2sin（x）﹣sin（x）＝﹣sin（x）．
∵x∈R，即x∈R，
∴当x＝2kπ，k∈Z，ymin＝﹣1．
故选：C．
12．若函数的一个零点为，则φ＝　　．
【解答】解：因为函数的一个零点为，所以sin（2 φ）＝0，可得φ＝kπ，k∈Z，
又因为φ，所以φ，
故答案为：☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题三 三角函数
第3讲 三角函数的图像与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定 义 域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数
单 调 性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对 称 性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是 (k∈Z)
题型一.正弦、余弦、正切函数
1．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是（　　）
A．在x∈[2kπ，2kπ+2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝﹣1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
2．函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象是（　　）
A．B． C．D．
3．设0≤x≤2π，使sinx且cosx同时成立的x取值范围是（　　）
A．[] B．[] C．[] D．（]
4．函数y＝|cosx|的一个单调减区间是（　　）
A． B． C． D．（π，2π）
5．方程|x|＝cosx在（﹣∞，+∞）内（　　）
A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
6．函数y＝cosx+|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
7．在区间[﹣2π，2π]范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．函数f（x）＝2x﹣tanx在上的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
题型二.三角函数的图像变换
1．为了得到函数的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
2．要想得到函数y＝sin2x+1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（　　）
A．向左平移个单位，再向上平移1个单位
B．向右平移个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移个单位，再向下平移1个单位
D．向右平移个单位，再向上平移1个单位
3．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（　　）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
4．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝2sin（x） B．f（x）＝2sin（x）
C．f（x）＝2sin（2x） D．f（x）＝2sin（2x）
5．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6．函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程为（　　）
A．x B．x C．x D．x
7．函数y的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
题型二.三角函数的性质
1．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝sinx C．y＝tan D．y＝cos4x
2．下列函数的最小正周期为π且为奇函数的是（　　）
A．y＝cos2x B．y＝tan2x
C．y＝|sinx| D．y＝cos（2x）
3．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（　　）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
4．对于函数f（x）＝cos（2x），下列选项中正确的是（　　）
A．f（x）在上是递增的
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2π
D．f（x）的最大值为2
5．以下关于函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的命题，正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）在区间（0，π）上单调递增
B．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴
C．点（，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心
D．将f（x）＝2sin（2x）向左平移个单位，可得到y＝2sin2x
6．设点P是函数f（x）＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则f（x）的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C． D．
7．函数y＝3﹣2cos（2x）的单调递减区间是（　　）
A．（kπ，kπ）（k∈Z）
B．（kπ，kπ）（k∈Z）
C．（2kπ，2kπ）（k∈Z）
D．（2kπ，2kπ）（k∈Z）
8．将函数f（x）＝cos（2x）图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有的性质是（　　）
A．图象的对称轴为x
B．在（）上单调递减，且为偶函数
C．在（）上单调递增，且为奇函数
D．图象的中心对称点是（）
9．将函数的图象向右平移个周期后得到的函数为g（x），则g（x）的图象的一条对称轴可以是（　　）
A． B． C． D．
10．将函数f（x）＝2cosx﹣2sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．函数y＝2sin（x）﹣cos（x）（x∈R）最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．
12．若函数的一个零点为，则φ＝　 　．

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