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苏教版（2019）高中数学一轮复习第10讲《三角函数的图象与性质》（解析版）
【知识梳理】
三角函数的图象与性质 基本问题 定义 任意角的终边与单位圆交于点时，
同角三角 函数关系
诱导公式 ，，， “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的性质与图象 值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴
（） 增 减 奇函数
（） 增 减 偶函数
() 增 奇函数 无
图象变换 平移变换 上下平移 图象平移得图象，向上，向下
左右平移 图象平移得图象，向左，向右
伸缩变换 轴方向 图象各点把横坐标变为原来倍得的图象
轴方向 图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象
对称变换 中心对称 图象关于点对称图象的解析式是
轴对称 图象关于直线对称图象的解析式是
【真题再现】
1、（2022北京卷） 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
2、（2022全国甲卷理） 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．故选：C．
3、（2022全国甲卷文） 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.
4、（2022全国乙卷理）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；故答案为：
5、（2022新高考1卷）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以，故选：A
6、（2022浙江卷）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.
7、（2022新高考1卷）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．
三、【考点精讲】
考点1 三角函数基本问题
【例1】1、（2021·合肥一六八中学）已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设锐角绕原点逆时针转后得角，则，由为锐角，
根据题意角终边交单位圆于，则，则
若，则
所以，与为锐角不符合.
若，则
所以,满足条件.故选：C
2、（2021·湖北武汉市·华中师大一附中高三月考）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 圆周率 虚数单位i 自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】令中得：
，所以在复平面内对应的点为
因为，所以在复平面内对应的点在第二象限.故选：B
【变式训练】
1、（2021·北京高三其他模拟）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，所以，所以根据三角函数的定义，得：.
所以.故选：D
2、（2021·全国高三月考）已知是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是第二象限角，所以，，则，，
所以为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，所以选项A不一定正确；
可能不存在，选项B也不一定正确；
又，，是第一象限或第三象限角，
则选项C正确，选项D不一定正确.故选:C．
考点2 三角函数的性质
【例2】1、 （2021年全国高考乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．
2、（2021年全国高考甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
3、（2021·河南商丘市）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
因为，所以，
令，由此可得，
因为在上单调递减，所以由此解得.故选：C.
4、（多选）（2021·福建上杭一中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减 D．若，则的值为
【答案】BD
【解析】由函数的部分图象知，，且，
所以，解得；又，所以，
即，；又，所以；所以．
对于：函数的最小正周期，不对；
对于：当时，可得，则关于点，对称；对；
对于：令，可得，则在区间上是单调递增，错误；
对于：，所以，所以，所以
，对故选：．
【变式训练】
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
2、（2022·天津·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据图象与轴的交点纵坐标与振幅的关系，结合所处的区间的单调性，以及后续的单调递增区间上的零点，列出方程组求解即得.
【详解】由函数图象与轴的交点纵坐标为1，等于振幅2的一半，且此交点处于函数的单调减区间上，同时在同一周期内的后续单调区间上的零点的横坐标为,并结合，，
可知，解得，,故选：A
3、（2021·商丘市第一高级中学）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，的取值范围为，故选：A.
4、（多选）（2021·山东）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
【答案】AC
【解析】对于A：根据函数的图象：φ＝（k∈Z），解得φ＝（k∈Z），由于|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝．由于f（0）＝，所以A，解得A＝．所以f(x)＝，故A正确；
对于B：令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z），
故函数在[]上单调递减，在[]上单调递增，故B错误；
对于C：函数f（x＋）＝，故C正确；
对于D：令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z），由于k为整数，故D错误；故选：AC．
考点3 三角函数的图象与变换
【例3】1、（2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数的图像，只需将函数的图像
A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】A
【分析】由条件利用 的图像变换规律，得到结论．
【详解】把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移个单位得到函数．
故选A
2、（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数的图象由函数的图象向左平移个单位后得到，则m可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】逐项验证是否等于可得答案.
【详解】当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故A正确；
当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故B 错误；
当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故C错误；
当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故D 错误；故选：A.
【变式训练】
1、（2021年全国高考乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.
2、（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 的最小正周期为， 将其图象沿 轴向右平移 个单位， 所得函数为奇函数， 则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数图象的变换性质进行求解即可.
【详解】因为该函数的最小正周期为，，所以，即，
将该函数图象沿轴向右平移 个单位得到函数的解析式为，因为函数为奇函数，
所以有，
因为，所以当时，实数有最小值，故选：C苏教版（2019）高中数学一轮复习第10讲《三角函数的图象与性质》（原卷版）
【知识梳理】
三角函数的图象与性质 基本问题 定义 任意角的终边与单位圆交于点时，
同角三角 函数关系
诱导公式 ，，， “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的性质与图象 值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴
（） 增 减 奇函数
（） 增 减 偶函数
() 增 奇函数 无
图象变换 平移变换 上下平移 图象平移得图象，向上，向下
左右平移 图象平移得图象，向左，向右
伸缩变换 轴方向 图象各点把横坐标变为原来倍得的图象
轴方向 图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象
对称变换 中心对称 图象关于点对称图象的解析式是
轴对称 图象关于直线对称图象的解析式是
【真题再现】
1、（2022北京卷） 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
2、（2022全国甲卷理） 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、（2022全国甲卷文） 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4、（2022全国乙卷理）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
5、（2022新高考1卷）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
6、（2022浙江卷）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7、（2022新高考1卷）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
三、【考点精讲】
考点1 三角函数基本问题
【例1】1、（2021·合肥一六八中学）已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·湖北武汉市·华中师大一附中高三月考）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 圆周率 虚数单位i 自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式训练】
1、（2021·北京高三其他模拟）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三月考）已知是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 三角函数的性质
【例2】1、 （2021年全国高考乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
2、（2021年全国高考甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
3、（2021·河南商丘市）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、（多选）（2021·福建上杭一中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
函数的最小正周期为
函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减
D．若，则的值为
【变式训练】
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
2、（2022·天津·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3、（2021·商丘市第一高级中学）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4、（多选）（2021·山东）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
考点3 三角函数的图象与变换
【例3】1、（2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数的图像，只需将函数的图像
A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
2、（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数的图象由函数的图象向左平移个单位后得到，则m可以是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】
1、（2021年全国高考乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
2、（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 的最小正周期为， 将其图象沿 轴向右平移 个单位， 所得函数为奇函数， 则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．

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