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《指对幂函数》复习课（原卷版）
【知识梳理】
1、指数幂的运算法则
= = = =
= = =
2、对数运算法则及换底公式（）
= = =
= = =
= =
3、对数与指数互化：
4、基本初等函数图像
（1）指数函数 （2）对数函数
a>1时的图像 01时的图像 0图像恒过点 ，且不与 轴相交。 图像恒过点 ，且不与 轴相交。
（3）幂函数的图像和性质
解析式
图像
定义域
值域
奇偶性
单调性
【典例讲解】
题型一：比较大小
1、（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
总结：
变式练习：
1、（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2、（（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a题型二：指对数公式的运用
1、（2020·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
2、=______________.
3、设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
总结：
变式练习：
已知，那么的值为______________.
2、=______________.
3、已知且；
(1)求证：（2）比较3x,4y,6z的大小
题型三：实际应用题
1、（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
2、（2020·海南·高考真题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
总结：
变式练习：
1、（2022·全国·模拟预测）开普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）
A. 0.66a B. 0.70a C. 0.76a D. 0.96a
2、（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
3、（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
题型三：综合运用
1、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
2、（2022·江西上饶·二模（理））函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
3、（2022·河北石家庄·二模）已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.
总结：
变式练习：
1、（2022·海南·模拟预测）若对任意的且，函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为___________.
2、（2021·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
3、（2022·河南新乡·二模（文））函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4、（2020·全国·模拟预测）已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．《指对幂函数》复习课（解析版）
【知识梳理】
1、指数幂的运算法则
= = = =
= = =
2、对数运算法则及换底公式（）
= = =
= = =
= =
3、对数与指数互化：
4、基本初等函数图像
（1）指数函数 （2）对数函数
a>1时的图像 01时的图像 0图像恒过点 ，且不与 轴相交。 图像恒过点 ，且不与 轴相交。
（3）幂函数的图像和性质
解析式
图像
定义域
值域
奇偶性
单调性
【典例讲解】
题型一：比较大小
1、（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
2、（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
总结：比较大小的常用方法
作差法
作商法
中间量法
构造函数法
变式练习：
1、（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
2、（（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
题型二：指对数公式的运用
1、（2020·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
=______________.
【答案】1
【分析】由对数运算性质即可得解
【详解】=
3、设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【详解】解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
总结：
1、对数与指数互化：
2、“1”的妙用
3、灵活运用换底公式
变式练习：
已知，那么的值为______________.
【答案】
=______________.
【答案】1
【分析】由对数运算性质即可得解
【详解】=
题型三：实际应用题
1、（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
2、（2020·海南·高考真题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.
【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.
.
由于，所以 ，所以 ，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
总结：
快速获取信息
转化为数学问题
变式练习：
1、（2022·全国·模拟预测）开普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）
A. 0.66a B. 0.70a C. 0.76a D. 0.96a
2、（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
3、（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
.
故选：B.
题型四：综合运用
1、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
【答案】B
【分析】将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．
【详解】由函数的图象经过，则，即．
，当且仅当时取到等号．
故选：B．
2、（2022·江西上饶·二模（理））函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．
【详解】当，，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；
故选：B.
（2022·河北石家庄·二模）已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.
【答案】 1
【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，利用此关系直接求出，再将转化为关于的二次函数求范围即可.
【详解】
作出函数的图象，如图，
因为，
所以由图可知，，即，，且，
，
在上单调递增，
，
即的取值范围是.
故答案为：1；
总结：
熟练函数、导数、不等式等基础知识
注意数形结合
变式练习：
（2022·海南·模拟预测）若对任意的且，函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为___________.
【答案】（2，1）
【分析】根据对数函数的图象和性质，令，解得，进而得出点P坐标.
【详解】令，解得，
则，
所以点P的坐标为（2，1）.
故答案为：（2，1）.
2、（2021·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解.
【详解】解：因为为幂函数
所以
又的图象过点
即
解得
所以
故选：C.
3、（2022·河南新乡·二模（文））函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D，再利用特殊值排除选项A、C.
【详解】因为的定义域为，
且，
所以为偶函数，其图象关于轴对称，
故排除选项D；
又，所以排除选项A；
又，所以排除选项C.
故选：B．
4、（2020·全国·模拟预测）已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】首先根据函数的解析式得到关于直线对称，那么函数图像只取, 的部分图像，的图像将对数函数在轴下方的图像翻到上方即可，从而得到的范围，进而判断AB选项；令得到，从而得到；又时，，再根据基本不等式求解范围即可.
【详解】当时，.
设函数，则有，，
，故是偶函数，且最小值为0.
当时，，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以在上单调递减.
把的图象向左平移一个单位长度，
得到函数的图象，
故函数的图象关于直线对称，
故可得到函数在上的图象.
作出函数的大致图象，如图所示.
又，故函数的图象与轴的交点为.
作平行于轴的直线，
当时，直线与函数的图象有四个交点.
数形结合可知，故A错误；
由，得，
又根据题意知，
所以，即，
即，所以，故B正确；
令，
则，，得，，
因此，故正确；
又时，，
且函数在上单调递增，
所以，故D正确.
故选：BCD

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