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高三数学第一轮复习专题：直线方程及其位置关系
第一部分 直线的倾斜角和斜率
一、直线的倾斜角和斜率：
过平面直角坐标系的一点有无数条直线，它们的倾斜程度不同，我们用倾斜角表示直线的倾斜程度。
1.直线的倾斜角：当与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与向上的方向之间所成的角叫做的倾斜角。
故倾斜角范围：
2.直线的斜率：
①斜率定义：倾斜角不为的直线，把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即。
倾斜角为的直线，其斜率不存在。
任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。
②斜率的变化规律：
当倾斜角增大时，斜率如何变化？
是与的分界线。
在与这两段区间，斜率都随倾斜角的增大而增大。
直线倾斜规律：斜率的绝对值越大，直线越陡； 斜率的绝对值越小，直线越平缓。★★
二、两点法求斜率：
注意：①斜率公式与两点顺序无关；
②常用的是用斜率求倾斜角，而不是用倾斜角求斜率。
例1。已知A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），过点P的与线段AB有公共点，求的斜率的变化范围。
分析：从PB开始绕点P作逆时针旋转，与线段AB相交，从增大到，再从增大到，故。
例2。过P（-1，2）的与线段AB相交，若A（-2，-3），B（3，0），求的斜率的变化范围。
例3。已知三点A（a，2），B（5，1），C（-4，2a）在同一直线上，求a的值。
第二部分 直线的方程
一、点斜式方程：（最常用★★★）
经过点，且斜率为。
设是上不同于的任一点，则。
即点斜式方程为：
注意：点斜式方程不能用来表示斜率不存在的直线。（缺陷）
表示斜率不存在的直线，用。
例。写出点斜式方程：
二、斜截式方程：
若的斜率为，与y轴的交点为（0，b），则
即斜截式方程为：。
注意：截距不是距离，它可为正值，可为负值，可为0值。
注意：斜截式方程不能用来表示斜率不存在的直线，因斜截式方程来源于点斜式方程。（缺陷）
(
x
y
O
-2
4
)
画直线图形方法：先找出直线与轴、轴交点坐标。
例。画出图象。
令 令
故描出两点，连出一条直线即可。
三、两点式方程：
已知两点，在上。
，即
注意：①不能用来表示斜率不存在或斜率为0的直线。
②已知直线上两点，写方程时通常用点斜式，而不用两点式。
四、截距式方程：
与轴交点为，与轴交点为。
注意：截距式方程不能用来表示斜率不存在或斜率为0或过原点的直线，因此，一般不用截距式，而用点斜式方程。
例。求过点且在两轴上截距相等的直线方程。
解：设所求直线方程为：。令；
令。由题意得：
所求直线方程为：。
注意：两点式方程与截距式方程一般不用。
五、一般式方程：（最终形式★★★★★）
以上的四类方程本质上都是点斜式方程，而点斜式方程有一个最大的缺陷：不能用来表示斜率不存在的直线。
有没有一个方程能用来表示所有的直线呢？这就是一般式方程。
二元一次方程：叫做直线的一般式方程。
①当时，可化为：，此为直线的斜截式方程； （斜率存在）
②当时，因不能同时为0，则，方程可化为：，它表示一条垂直于x轴的直线。 （斜率不存在）
故二元一次方程表示一条直线。
规律：对于直线来说，区分斜率是否存在最为关键。
★★★★
对一般式方程的研究：
①首先看，决定斜率是否存在；。
②其次看，决定斜率是否为0；。
③最后看，决定直线是否过原点；。
注意： ★★
①记好A、B不能同时为0；
②记好；
③直线方程最后都要统一写成一般式方程。 写成一般式方程的要求：
（1）一般式方程中不能有分母；
（2）x在前，y在后，x系数为正；
（3）右边等于0。
例1。写出点斜式方程，并化成一般式方程：
解：（2）点斜式方程为：，即，故一般式方程为：。
例2。直线，若此直线斜率不存在，求值。
解：由题意得： 。
例3。直线方程的系数满足什么条件时，这条直线有以下性质？
（1）与两坐标轴都相交；
（2）只与轴相交；
（3）只与轴相交；
（4）是轴所在直线；
（5）是轴所在直线。
第三部分 两条直线的位置关系
一、两直线平行：
1.斜截式方程：
设，
若∥，则与的倾斜角与相等，且、在上截距不相等。即 ，也即。 故
∥★★
当直线、斜率均不存在，即，，则
∥
2.一般式方程：
①当时，则、斜率均存在。
∥
②当时，、斜率都不存在
∥ 例
综合①②，∥（记法）★★★
∥（用法）★★★
注意：与平行的直线可设为：
例1。求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程。
解：（一）用一般式。设所求直线方程为：
将A（1，-4）代入得：
故所求直线方程为：。
（二）用点斜式。所求直线方程为：，即，故所求直线方程为：。
评论：用点斜式还需要转化为一般式，容易算错，不如直接设成一般式。
例2。，平行，求值。
解：由∥可得： 。
例3。若下列各组中两方程表示的直线平行，求值。
（1）
（2）
二、两直线垂直：
1.直线、斜率均存在，设为，
★★
2.一般式方程：
①当时，则、斜率均存在，。
②当有一个为0时，不访设，则斜率不存在，
综合①②，★★★
例1。求过点A（2，1）且与直线垂直的的方程。
解：设所求直线方程为：，即，
故所求直线方程为：。
例2。当为何值时，、互相垂直？
解：
，。
例3。、，求值，使得：①∥；②。
例4。若下列两方程表示的直线垂直，求值。
（1）
（2）
（3）
三、两条直线的交点坐标：
若二元一次方程组有唯一解，则两直线相交，该解为交点坐标；
若方程组无解，则两直线平行；
若方程组有无穷多解，则两直线重合。
因此可用方程组解的情况判断两直线位置关系。
例1。判断下列各对直线的位置关系：
（1）
（2）
（3）
（4）
专题：直线系方程★★★★★
一、平行直线系：（斜率固定）
例1. 。斜率为2的平行直线系。
例2. 。斜率为的平行直线系。
二、过定点的直线系：（斜率不固定）
例1. 。过定点的直线系。
令，即令参数乘以0，得
例2. 。过定点的直线系。
令，即令参数乘以0，得
例3. 。过定点的直线系。
令，即令参数乘以0，得
例4.
原式可化为：，即把项单独提出来。
令且，解得：，此为过定点的直线系方程。
例5.过两直线交点的直线系方程可设为：。
四、距离问题：
1.两点间的距离： ★★
2.点到直线的距离：★★★★
点到的距离：
3.两条平行直线间的距离：★★★
若∥，与间距离为：
注意：用此公式求两平行直线间的距离时，要保证系数对应相等。
例1。求两点间的距离：
（1）A（6，0），B（-2，0）
（2）A（0，-4），B（0，-1）
（3）P（6，0），Q（0，-2）
（4）M（2，1），N（5，-1）
例2。求点到直线的距离：
（1）O（0，0），
（2）O（0，0），
（3）A（-2，3），
（4）B（1，0），
（5）C（1，-2），
例3。求两平行线间的距离：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例4。求与平行，且与它的距离为的直线的方程。
例5。已知两条平行直线，求与它们等距离的平行线的方程。
五、对称问题：
1.中心对称：
①点关于点对称：点关于点的对称点为：
②直线关于点对称：
直线关于点对称的直线为：
例1。求关于点对称的直线的方程。
解：设为上任一点，则关于对称点在上，即，此即为关于点B对称的的方程。
2.轴对称：两点关于直线对称 ★★★
已知和外一点，求P关于对称的点。
方法：利用为线段的垂直平分线的概念列出方程组。
例1。求关于对称的点的坐标。
解：设，因为线段的垂直平分线
则且线段的中点M在上。
， 线段中点
。
例2。求点关于对称的点的坐标。
（答案：（-2，7）

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