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利用导数求切线方程
一、在型求切线方程
例1 设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则（ ）
A. B. C. D. 1
举一反三
1. 曲线在点处的切线方程为______．
2. 已知.求曲线在处的切线方程.
3．已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．
二、过型求切线方程
例2. 过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
举一反三
1.过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．或
2.函数过点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
例3若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.
举一反三
1．已知函数（，e为自然对数的底数）．若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值.
2.曲线与直线相切，则______．
四、综合
例4. 已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 13
举一反三
1．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为（ ）
A．26 B．46 C．36 D．56
2. 已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
巩固练习
1. 函数的图像在点处的切线方程为_________.
2. 若函数，则曲线在点处的切线方程为______．
3．函数在处的切线如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．-
3．已知．求在处的切线方程.
4．已知函数，．当a＝2时，求曲线在处的切线方程.
5．过点且与曲线相切的直线方程为______.
6．已知某曲线的方程为，则过点且与该曲线相切的直线方程为______．
7．过点（2,0）且与曲线y＝相切的直线的方程为________
8.若曲线在处的切线与直线垂直，则a=______.
利用导数求切线方程解析
一、在型求切线方程
例1 设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由给定条件可得切线与直线垂直，然后列式计算作答.
【详解】由求导得：，因此曲线在点处的切线l斜率，
因切线l及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，
则切线l及直线垂直，有，解得，
所以.
故选：C
举一反三
1. 曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出f（x）在的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程.
【详解】，
则曲线在处切线斜率，
∴切线方程为，即．
故答案为：．
2. 已知.求曲线在处的切线方程.
【详解】
因为，则，，
则，所以所求切线方程为，即.
3．已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．
【答案】；
【解析】设，，因为函数是偶函数，所以，
当时，，，，
所以在处的切线方程为，即.
二、过型求切线方程
例2. 过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出切点坐标，利用导函数求出切线斜率，进而表达出切线方程，将代入，结合，从而求出直线AB的方程.
【详解】设，，，所以在A点处的切线方程为，将代入得，因为，化简得，同理可得，所以直线AB的方程为，
故选：A．
举一反三
1.过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】因为所以，曲线在处的切线斜率为－2，故由直线方程的点斜式得曲线方程为，选A．
2.函数过点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为
因为
因此切线方程为
故选：D
例3若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.
【答案】
【详解】
由，得，则，∵曲线在点处的切线平行于x轴，∴，即.故答案为：．
举一反三
1．已知函数（，e为自然对数的底数）．若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值.
【详解】，则，由已知，解得
2.曲线与直线相切，则______．
【答案】1
【解析】由题意，函数，可得，
设切点为，则，
因为曲线与直线相切，可得，即，①
又由，即切点为，可得，②
联立①②，可得．
故答案为：1
四、综合
例4. 已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】设切点为 ，
的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，
则 ，故切点为，
代入，得，
、为正实数，
则，
当且仅当，时，取得最小值9，
故选：B
举一反三
1．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为（ ）
A．26 B．46 C．36 D．56
【答案】C
利用导数的几何意义，结合二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
由函数的解析式，得，则．由题意，得，
则二项式，
二项式的通项公式为：，
所以含项的系数为．
故选：C
2. 已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用曲线与曲线互为反函数，可先求点到的最小距离，
然后再求的取值范围.
【详解】曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，
求出点到的最小距离，设曲线上斜率为的切线为，，由 得，切点坐标为，即，，的最小值为，无最大值，即
故选：B.
巩固练习
1. 函数的图像在点处的切线方程为_________.
【答案】
【详解】，，
则切线方程为：，整理得：
故答案为：
2. 若函数，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由导数的几何意义求解
【详解】，得，故曲线在点处的切线方程为，化简得．
故答案为：
3．函数在处的切线如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．-
【答案】A
【详解】
因为切线过和，所以，
所以切线方程为，令，则，所以，
所以.故选：A.
3．已知．求在处的切线方程.
【详解】，
又则在处的切线方程为
，即
4．已知函数，．当a＝2时，求曲线在处的切线方程.
【解析】当a＝2时，，，则切线的斜率为，
又，所以曲线在处的切线方程是，
即．
5．过点且与曲线相切的直线方程为______.
【答案】
【解析】设切点为，因为，所以，
所以过切点的切线方程为.
因为切线过点，所以，即，解得，
所以所求切线方程为，即切线方程为
故答案为：
6．已知某曲线的方程为，则过点且与该曲线相切的直线方程为______．
【答案】或
【解析】
【解析】设直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠2），则k=，
∵y0=x02+2，且∵k=y′=2x0，∴=2x0，∴x02﹣4x0﹣5=0，
∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或，
故直线l的方程或.
故答案为：或．
7．过点（2,0）且与曲线y＝相切的直线的方程为________
【答案】.
【解析】设切点为，所以切点为，由点可知直线方程为
8.若曲线在处的切线与直线垂直，则a=______.
【答案】；
【解析】由题意得，，所以，
因为切线与直线垂直，
所以，且，解得.
故答案为：．

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