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第六讲 抽屉原理
学习目标
掌握抽屉原理应用；
掌握最不利原则；
掌握构造“抽屉”解决问题。
知识点睛
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
练一练：有5个苹果放进4个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了 个苹果。
抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
把m个苹果放入n个抽屉，（m大于n），结果有两种可能：
（1）如果m÷n没有余数，那么就一定有抽屉至少放了 个苹果；
（2）如果m÷n有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n的商再加 个苹果。
最不利原则是一种从反面思考问题的思想，也是抽屉原理中非常重要的思考方法，就是从最不利的方向出发分析问题。
例如，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
解析：（1）如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，答案是 ，这是从最有利原则考虑的，这是最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同，而不是“保证至少有4个小球颜色相同”。
（2）为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 个红球、 个黄球和
个蓝球，此时三种颜色的球都是 个，却无 个球同色。这样摸出的 个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出 个球。
由此题看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
精讲精练
抽屉原理
练一练：
如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了_______个苹果。
如果把97个苹果放入8个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了_______个苹果。
如果把98个苹果放入8个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了_______个苹果。
幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
（1）证明：任意25个人中，至少有3个人的属相相同。
（2）要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人？
（3）要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？
【点睛】：抽屉原理应用，找到 和 是关键。
看看谁解释的最清楚：
（1）新东方对所有五年级的同学进行出生年份统计，发现有367名1996年出生的同学，试说明：这些同学中至少有2名同学是在同一天出生的。
（2）某班32名同学是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？
最不利原则
把125本书分给五（2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
某班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于3本书？
一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能够保证：
（1）至少有5张牌的花色相同；
（2）四种花色的牌都有；
（3）至少有3张牌是红桃；
（4）至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃。
将1只白袜子，2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里，请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）
构造“抽屉”
在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
1至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5？
从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。
方法总结
1、抽屉原理Ⅰ：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 件；
2、抽屉原理Ⅱ：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于 ；
3、在抽屉原理问题中常常会用到的 思想。构造抽屉问题，找到
和 是关键，尤其是 的数量比较难确定
课堂作业
证明：
①任意37个人中，至少有4个人的属相相同.
②要想保证至少有10个人的属相相同，但不能保证有11个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？
一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩球？
新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有3个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有几人？
任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？为什么？
从10至20这11个自然数中，任取7个数，证明其中一定有两个数之和是29。
在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有2个点的距离不大于1。
六、课后练习
箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，那么一次至少要取多少个，才能保证一定有5个颜色相同
小高把一副围棋棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子里左右手各摸出1枚棋子，那么他至少要摸多少次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？(围棋子有黑、白两种颜色）
从1至50中，至少取出多少个数，才能保证一定有两个数的和是奇数
能否在4行4列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数之和互不相同
任意写一个由数字1、2、3组成的十一位数，从这个十一位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，至少有两个相等.
(1)在一个边长为2的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少
(2)在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2.(本题中的点都可以放在正方形的边界上)

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