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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
解答题专项练习题（附答案）
1．如图，在 ABCD中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足AE＝AC＝CF，连接BE、BF、DE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠EDC＝90°，则当∠DEA＝　 　°时，四边形BEDF是菱形．
2．如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求菱形的面积．
3．如图，在 ABCD中，CD＝BD，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）如果AB＝5，AD＝6，求四边形BECD的面积．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交对角线BD于点F，交BC于点E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若BE＝EC，AE＝6，BD＝8，四边形AECD的面积．
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，过点A作AF⊥AD，交BC边于点E，交DC边延长线于点F．连接AC、BF，过点D作DG⊥BF交BF延长线于点G，已知CF＝CD．
（1）求证：四边形ABFC为菱形；
（2）若∠ADC＝25°，求∠FDG的度数．
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求CE的长．
8．如图，平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在线段BC上，AE＝CE，连接EO并延长交AD边于点F．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若∠AEC＝120°，EF＝4，直接写出菱形AECF的面积．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，邻边AD，CD上的高相等，即BE＝BF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
10．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝4，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
11．如图，在△ABC中，BD是∠B的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为菱形；
（2）若∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求线段EF的长．
12．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝OC，OB＝OD且∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，AB＝6，EB＝2，求AO的长．
13．两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置．
（1）猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若，求∠BAD的度数．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
15．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．
16．如图，在四边形ABCD．中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝2，∠DAB＝60°，求四边形ABCD的面积．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝3，BD＝6，求OE的长．
18．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O．E是OB的中点，连接CE，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）判断四边形AOBF的形状，并说明理由．
（2）若四边形ABCD为菱形．AB＝5，AC＝6，求四边形AOBF的面积．
19．已知：如图，AE是Rt△ABC的中线，过点E作ED⊥AC，垂足为D，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若∠B＝60°，AE＝4，求四边形ABCF的面积．
20．已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM＝MN＝ND，联结CM、CN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）如果AE＝AF，求证：四边形ABCD是菱形．
参考答案
1．（1）证明：连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又∵AE＝CF，
∴AE+OA＝CF+OC，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当∠DEA＝30°时，四边形BEDF是菱形．
∵∠EDC＝90°，EA＝AC，
∴DA＝AC，
∵∠DEA＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OE⊥BD，
∴ED＝EB，
由（1）可知，四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为：30°．
2．解：在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，AC⊥BD，
∵BD＝6，
∴OD＝3，
∴OC＝OD＝3，
∴AC＝2OC＝6，
∴菱形的面积＝BD AC＝6×6＝18．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEB，
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠DEB＝∠BDE，
∴BD＝BE，
∵BD＝CD，
∴BE＝CD，
∵BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
又∵CD＝BD，
∴四边形BECD为菱形；
（2）解：∵四边形BECD为菱形，
∴BC⊥DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝90°，
由（1）可知AB＝BE＝CD＝5，
∴AE＝10，
∴ED＝＝8，
又∵AD＝BC＝6，
∴四边形BECD的面积＝×6×8＝24．
4．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
∵AB＝AD，
∴AD＝EB，
∵AD∥EB，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）解：由（1）可知，AD＝BE，四边形ABED是菱形，
∴S菱形ABED＝AE BD＝×6×8＝24，
∵BE＝EC，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴S平行四边形AECD＝S菱形ABED＝24．
5．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DF，AB＝CD，
∵CF＝CD，
∴CF＝AB．
∴四边形ABFC为平行四边形．
∵AD∥BC，AF⊥AD，
∴∠CEF＝∠DAF＝90°．
∴AF⊥BC．
∴平行四边形ABFC为菱形．
（2）解：∵AD∥BC，∠ADC＝25°，
∴∠ADC＝∠BCF＝25°．
∵四边形ABFC为菱形，
∴FB＝FC，
∴∠CBF＝∠BCF＝25°．
∴∠DFG＝∠CBF+∠BCF＝25°+25°＝50°．
∵DG⊥BG，
∴∠DGF＝90°，
∴∠FDG＝90°﹣∠DFG＝90°﹣50°＝40°．
6．（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
7．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，
∴BD⊥AC，OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝5，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，
∴CE＝．
8．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DO＝BO，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ODF＝∠OBE，
∵∠DOF＝∠BOE，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
∴AF＝CE，
∵AF//CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AC⊥EF，AC＝2AO，OE＝EF＝2，EF平分∠AEC，
∵∠AEC＝120°，
∴∠AEF＝∠AEC＝60°，
在Rt△AEO中，AO＝OE tan60°＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴菱形AECF的面积＝AC EF
＝×4×4
＝8，
∴菱形AECF的面积为8．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，BE，BF分别为邻边AD，CD上的高，
∴S平行四边形ABCD＝AD BE＝CD BF，
∵BE＝BF，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图，连接AC交BD于O，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝5，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝12，
∴AC＝2OA＝24，
∴S菱形ABCD＝AC DB＝×24×10＝120．
10．（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴BC＝CE，
∴四边形BCEF是菱形；
（2）解：由（1）知BC＝CE，
∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC，
∵BC＝4，
∴BE＝CE＝4，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴，
在Rt△BGE中，
∵BG＝2，BE＝4，∠BGE＝90°，
∴，
∴S菱形BCEF＝BC EG＝．
11．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）解：如图连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝30°．
由（1）知，平行四边形BFDE是菱形，
则EF⊥BD，BO＝OD＝6，
∴，
即：BE＝2EO，
由勾股定理得到：BE2＝62+EO2，即4EO2＝62+EO2，
解得：，
∴．
12．（1）证明：∵AO＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣OE2，
设OE＝x，
∵AE＝4，AB＝6，EB＝2，AO＝4+x，
∴62﹣（4+x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝1，
∴AO＝AE+OE＝4+1＝5．
13．解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，
由题意得：DE＝DQ，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S平行四边形ABCD＝AB DE＝BC DQ，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵＝AB DE，DE＝4，
∴AB＝4，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∴AE＝＝＝4，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°．
14．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF＝AC DF＝×4×5＝10．
15．（1）证明：∵AD＝CD，BD⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴OE⊥OA，
∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，
∴BF＝OB，
∴Rt△AFB≌Rt△AOB（HL），
∴AF＝OA＝OC，
∵BF＝OB＝3，BE＝5，
∴EF＝，
∴OE＝OB+BE＝3+5＝8，
∵∠EFB＝∠AOE＝90°，∠∠FEB＝∠∠AEO，
∴AE＝10，
∴AD＝AE＝10．
16．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAO＝∠DAB＝30°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝2，
∴AC＝2OA＝4，
在Rt△AOB中，＝，
∴OB＝OA＝2，
∴BD＝2OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×4×4＝8．
17．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴CD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝3，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝3，
∴OA＝＝＝6，
∴OE＝OA＝6．
18．（1）解：四边形AOBF是平行四边形，理由如下：
∵E是OB的中点，
∴BE＝OE，
∵BF∥AC，
∴∠BFE＝∠OCE，∠FBE＝∠COE，
在△BFE与△OCE中，
，
∴△BFE≌△OCE（AAS），
∴BF＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴BF＝OA，
∵BF∥AC，
∴四边形AOBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝＝3，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，OB＝，
∵∠AOB＝90°，
由（1）已知四边形AOBF是平行四边形，
∴四边形AOBF是矩形，
∴S矩形AOBF＝OB OA＝4×3＝12．
19．（1）证明：∵AE是Rt△ABC的中线，
∴AE＝BC＝BE＝CE，
∵ED⊥AC，
∴AD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）可知，AE＝BE＝CE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝CE＝4，
∴BC＝2AE＝8，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝AB AC＝×4×4＝8，
∵四边形AECF是菱形，BE＝CE，
∴S△ABE＝S△ACE＝S△ACF＝S△ABC＝4，
∴S四边形ABCF＝3S△ABE＝12．
20．证明：（1）∵点 E、F分别是边BC、DC的中点，BM＝MN＝ND，
∴ME是△BCN的中位线，NF是△CDM的中位线，
∴ME∥NC，NF∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图，连接AC交BD于O，连接EF，
由（1）可知，四边形AMCN是平行四边形，
∴AM＝CN，OA＝OC，OM＝ON，
∵BM＝ND，
∴OM+BM＝ON+ND，
即OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵点E、F分别是边BC、DC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠AMN＝∠AEF，∠ANM＝∠AFE，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∵OM＝ON，
∴AC⊥MN，
即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

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