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浙教版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是( )
A. B.
C. D.
如图，，，三点在同一条直线上，在中，，≌，则等于( )
A. B. C. D.
如图，若，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
一个直角三角形的两直角边长分别为和，则此直角三角形斜边上的中线的长是( )
A. B. C. D.
不等式的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
不等式的最大整数解为( )
A. B. C. D.
如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为≌，所以由这种作图方法得到的和全等的依据是( )
A. B. C. D.
如图，在中，与的角平分线交于点若，则的度数是．( )
A.
B.
C.
D.
下列命题中，正确的是( )
A. 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
B. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
C. 顶角相等的两个等腰三角形全等
D. 等腰三角形的一边不可以是另一边的倍
如图，在中，，，点为的中点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
某不等式的解集在数轴上表示如下，该不等式的解是( )
A. B. C. D.
若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______．
如图，已知，，，则________．
已知：一等腰三角形的两边长、满足方程组，则此等腰三角形的周长为 ．
如图，在中，，，是的角平分线，则________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在和中，，，，连结，，求证：．
一个零件的形状如图，按规定，若是，和分别是和，则零件合格，检验工人量得是，就判定这个零件不合格．请运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
如图，为等腰底边上的一点，，试判断是不是直角三角形，并说明理由．
问题：如图，在中，在的延长线上取点，，作，使，若，，求的度数．
答案：．
思考：如果把以上“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？说明理由；
如果把以上“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数．
某商店第一次用元购进铅笔若干支，第二次又用元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了支．
第一次每支铅笔的进价是多少元？
若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于元，则每支售价至少是多少元？
已知不等式
若它的解集与不等式的解集相同，求的值；
若它的解都是不等式的解，求的取值范围．
已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围．
如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点，试判断的形状，并说明理由．
如图，在中，，，是边上的中线，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点．
求证：．
若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：观察作图痕迹可知：
A.，但不平分，
所以选项不符合题意；
B.为的边上的中线，
所以选项符合题意；
C.是的平分线，
所以选项不符合题意；
D.不符合基本作图过程，
所以选项不符合题意．
故选：．
根据题意，为的边上的中线，就是作边的垂直平分线，交于点，连接即可判断．
本题考查了作图基本作图、三角形的角平分线、中线和高、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的中线．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握．
利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出、的度数可求出结果．
【解答】
解：在中，：：：：，设，则，，
，
，
解得，
则，，，
，
又≌，
，
，
：：：．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题是等腰三角形的性质：等边对等角，与平行线的性质的综合应用．即是等腰三角形．是底角，根据等腰三角形的两底角相等得到，由平行线的性质得到：，从而求出的度数．
【解答】
解：，
，
又，
，
．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
【解答】
解：如图，
在中，，，，
则根据勾股定理知，，
为斜边上的中线，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并，得：，
在数轴上表示为，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变以及在数轴上表示注意空心点和实心点．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
不等式的最大整数解是．
故选：．
根据不等式的解法求出不等式的解集，然后再找出最大整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式的解法，在解题时要注意解不等式的步骤和符号．
7.【答案】
【解析】解：由作法得，，
所以根据“”可判断≌．
故选：．
根据作图得到，，然后根据全等三角形的判定方法求解．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识．根据、分别是与的角平分线，用的代数式表示出与的和，再根据三角形的内角和定理求出的度数．
【解答】
解：，
，
、分别是与的角平分线，
，
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对于等腰三角形的性质定理的记忆与理解从各选项提供的已知条件，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定对各个命题进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：因为等腰三角形顶角的外角等于两底角的和，作顶角的外角的平分线得到的角就等于等腰三角形的底角，根据内错角相等，两直线平行就可以得到：等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，所以此命题正确；
B.应该为等腰三角形底边上的高线，中线，角平分线重合，所以原命题不正确；
C.因为顶角相等的两个等腰三角形对应边不一定相等，因而不一定全等，所以原命题不正确；
D.等腰三角形的腰可以为底边的两倍，所以原命题不正确；
故选A．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
点为的中点，
，
故选：．
利用直角三角形的性质得到长，然后再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案．
此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对在数轴上表示不等式的解集的理解和掌握，能根据数轴上不等式的解集得出答案是解此题的关键．根据数轴上不等式的解集得出即可．
【解答】
解：根据数轴上不等式的解集得：，
故选D．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．由，可得即可判断出．
【解答】
解：，
故选A．

13.【答案】
【解析】解：，
得：，即，
把代入得：，
根据题意得：，
解得：，
故答案为．
把看做已知数表示出方程组的解，根据题意不等式求出的范围即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理即可求出的长．
【解答】
解：，，，
在中，根据勾股定理得： ，
在中，根据勾股定理得： ，
在中，根据勾股定理得： ．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：解方程组得
所以，等腰三角形的两边长为，．
若腰长为，底边长为，由知，这样的三角形不存在．
若腰长为，底边长为，则三角形的周长为．
所以这个等腰三角形的周长为．
故答案为：．
先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
本题考查了三角形三边关系及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线定义和性质、三角形外角性质以及三角形内角和，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据角平分线定义求出，再根据三角形外角性质求出即可．
【解答】
解：在中，，，是的角平分线，
，，
，
故答案为．
17.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
≌．
【解析】本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：，，，，以及判断两个直角三角形全等的方法．
根据，可得，再根据全等的条件可得出结论．
18.【答案】解：如图，延长交于．
，，
，
，
．
又，
这个零件不合格．
【解析】延长交于，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后即可判断．
本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键．
19.【答案】【解答】
解：是直角三角形．
，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
是直角三角形．
【解析】【解析】
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的性质的综合应用，等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质解题关键是利用等腰三角形的性质及判定，利用三角形内角和定理，及已知条件解出的度数，从而判断三角形的形状．
20.【答案】解：的度数不会改变；
，
，
，
，
，
由，得，；
设，
则，，
，
，
，
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，求得，；由，即可得到结论；
设，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
21.【答案】解：设第一次每支铅笔的进价为元，则第二次每支铅笔的进价为元．
根据题意列方程得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
即第一次每支铅笔的进价为元；
设售价为元，
根据题意列不等式为，
解得，
即每支售价至少是元．
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键，最后不要忘记检验．
设第一次每支铅笔进价为元，则第二次每支铅笔进价为元，根据题意可列出分式方程解答；
设售价为元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
22.【答案】解：，
，
，
，
解得：，
，
解得；
解不等式得，，
由题意可得，，
解得：．
【解析】分别求出两个不等式的解，然后根据两个不等式的解集相同而得到方程，再解方程即可．
根据题意列出不等式，求解即可得出的取值范围．
本题考查了解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再列出关于的不等式是解题的关键．
23.【答案】解：
，得：，
解得：，
，得：，
解得：，
方程组的解为
关于，的方程组的解满足，
，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【解析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，解一元一次不等式，二元一次方程组的解．
先利用加减消元法得到方程组的解，根据题意即可得到关于的一元一次不等式，解不等式即可．
24.【答案】解：是等腰三角形．
理由：在与中，
，，，
≌，
，
，
，
即，
是等腰三角形．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．要判断的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看和的关系．因为，因此我们只比较和的关系即可．根据题中的条件：，，和又有一个公共角，因此两三角形全等，那么，于是，由此便可推导出，那么三角形应该是个等腰三角形．
25.【答案】证明：，，
．
．
又，
且，
在和中，
≌．
．
解：由得，，
在和中
≌，
，
是边上的中线，
，且．
．
【解析】本题考查的是全等三角形的判定与性质有关知识．
证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在三角形和三角形中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
由得，且，即可求出的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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