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专题6 圆锥曲线中的定值问题
一、考情分析
求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.
二、解题秘籍
(一) 定值问题解题思路与策略
定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：
(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）
(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,
(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）
常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好.
因此定值问题的解题思路是：
(1)设参数；
(2)用参数来表示要求定值的式子；
(3)消参数.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【例1】(2022届河北省张家口市高三上学期期末)已知双曲线的离心率为2,右顶点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点,且为坐标原点,点到直线的距离是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.
【分析】（1）结合双曲线的离心率,顶点到渐近线的距离求得,由此求得双曲线的方程.
（2）根据直线与坐标轴平行或不平行两种情况进行分析,结合根与系数关系以及列方程,化简后根据点到直线距离公式求得点到直线的距离.
【解析】（1）由题意,得双曲线的渐近线方程为,
右顶点为.又,
且,
所以,故.
又,解得,
所以双曲线的方程为.
（2）设.
当直线和轴线平行时,,解得,
所以点到直线的距离为.
当直线和轴线不平行时,
设直线的方程为,
由得,
,
所以.
又,
所以,
得,
解得.
又点到直线的距离为,
则,故,
所以点到直线的距离为定值.
【例2】（2022届上海市松江区高三一模）
（1）求双曲线的方程；
（2）若对任意的,直线与双曲线总有公共点,求实数的取值范围；
（3）若过点的直线与双曲线交于两点,问在轴上是否存在定点,使得为常数？若存在,求出点的坐标及此常数的值,若不存在,请说明理由.
【分析】（1）由离心率及渐近线方程求出即可得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程,消元得方程,分类讨论,当方程为一元一次方程时不符合题意,当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可;
（3）假设存在P, 计算,根据韦达定理化简,当满足时,为常数.
【解析】（1）由题意可知,,
因为,
所以,
所以双曲线的方程为；
（2）联立得,
当时,
此时易知时,直线与双曲线没有公共点,不符合题意,
所以,且,
即,
所以,
所以,
解得,
所以；
（3）
设,
所以,
当斜率不存在时,可知不符合,所以设直线,
所以
,①
联立,得,
所以 ②,
把②代入①化简得：,
所以当时,得,
此时.
(二) 与线段长度有关的定值问题
与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值
【例3】已知椭圆的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于、两点,且四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点,且与轴相交于点,若的值与无关,求斜率的值．
【分析】（1）根据题干条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程,设点、,列出韦达定理,可得出的表达式并化简,结合已知条件可求得的值.
【解析】（1）由题意知．
将代入椭圆的方程得,所以,
所以由四边形的面积为,得,所以．
又点在椭圆上,所以,所以,.
所以椭圆的标准方程为．
（2）由,消去得,
则．
设、,则,,
易知,所以
．
由上式可知要使的值与无关,必有,解得．
所以直线的斜率的值为．
(三)与面积有关的定值问题
【例4】与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.
已知为坐标原点,椭圆：的右顶点为,离心率为．动直线：与相交于,两点,点关于轴的对称点为,点到的两焦点的距离之和为4．
（1）求的标准方程．
（2）若直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．
【分析】（1）用椭圆的定义及性质即可得解；
（2）利用“设而不求法”表示出,的面积,即可求出.
【解析】（1）由对称性得点在椭圆上,根据点到的两焦点的距离之和为4及椭圆的定义,得,解得．
因为的离心率为,所以,
所以．
所以
所以的标准方程为．
（2）是定值,且该定值为1．
理由如下：
由得,即．
设,,
则,且,．
易得直线的方程为,
令,得
．
所以当变化时,直线与轴交于定点．
所以,
即是定值,且定值为1．
(四) 与斜率有关的定值问题
与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.
【例5】已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于,两点,且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若,是抛物线上一点,过点的直线与抛物线交于,两点（均与点不重合）,设直线,的斜率分别为,,求证：为定值．
【分析】(1)联立直线和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式得到,根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值,设直线的方程为,联立该直线和抛物线方程,,代入韦达定理可得到最终结果.
【解析】（1）设点,,点,,
联立,整理得,
,
由抛物线的定义知,
解得,
抛物线的方程为．
（2）,为抛物线上一点,
,即,
设,,,,直线的方程为,
由,消去得,
,,
,
即为定值．
(五) 与向量有关的定值问题
与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值.
【例6】（2022届广东省广州市高三上学期12月调研）已知椭圆：的离心率为,,分别为椭圆的左,右焦点,为椭圆上一点,的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为圆上任意一点,过作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,判断是否为定值 若是,求出定值：若不是,说明理由,
【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出,结合关系式得出,即可得出椭圆的方程；
（2）由平行于轴特殊情况求出,即；当平行于轴时,设过的直线为,联立椭圆方程,令化简得关于的二次方程,由韦达定理即可求解.
【解析】（1）由题可知,,解得,又,解得,故椭圆的标准方程为：；
（2）
如图所示,当平行于轴时,恰好平行于轴,,,；
当不平行于轴时,设,设过点的直线为,
联立得,
令得,化简得
,设,则,又,
故,即.
综上所述,.
【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知为椭圆C：内一定点,Q为直线l：上一动点,直线PQ与椭圆C交于A B两点（点B位于P Q两点之间）,O为坐标原点.
（1）当直线PQ的倾斜角为时,求直线OQ的斜率；
（2）当AOB的面积为时,求点Q的横坐标；
（3）设,,试问是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
【分析】（1）先得到直线PQ的方程为：,由得到Q的坐标求解；
（2）设直线PQ的方程为,由,结合韦达定理求得,再由求解.
（3）设直线PQ的方程为,由,得到,,有,再根据,,得到求解.
【解析】（1）因为直线PQ的倾斜角为,且,
所以直线PQ的方程为：,
由,得,
所以直线OQ的斜率是；
（2）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
所以,
解得,即,
所以直线PQ的方程为或,
由,得；
由,得；
（3）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为,
由,得,
设,则,
所以,
因为,,
所以,
所以,
.
(六) 与代数式有关的定值问题
与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值
【例8】已知A,B是双曲线的左、右顶点,P是双曲线上不同于A,B的一点．
（1）若线段PB的垂直平分线分别交PB,PA于点,,求；
（2）若O为坐标原点,射线OP交椭圆于点Q,设直线PA,PB,QA,QB的斜率分别为,,,,求的值．
【分析】（1）由双曲线的方程可得,,设,则,写出直线PB, PA的方程,联立求解得,即可求解；
（2）由斜率公式结合题意求解即可
【解析】（1）由双曲线的方程可得,,设,
又M是线段PB的中点,则
直线PB的斜率为,直线PA的斜率为,
又,
则直线MN的方程为,
即,
又直线PA的方程为,
联立得,
代入,消去,解得,
即,则．
（2）设,则,
易知,,化简得,
因为O,P,Q三点共线,所以,
所以．
易知,同理可得,
由,得,
所以．
(六) 与定值有关的结论
1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；
2.若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.
3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值；
4. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值；
5. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值.
6.设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则.
7.点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值）
8. 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则.
9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
10. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：.
【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点．
（1）若点的坐标为,求的焦点坐标；
（2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值；
（3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值．
【分析】（1）由题可得,,即得；
（2）由题可得,利用二次函数的性质即得；
（3）当直线PQ斜率存在时设其方程为,联立椭圆方程可得,利用韦达定理及条件可得,进而可得到直线PQ的距离为定值,当直线PQ斜率不存在时,可得,易得到直线PQ的距离为定值,即证.
【解析】（1）∵椭圆：,点的坐标为,
∴,,
∴的焦点坐标为；
（2）设,又,
由题知,即,
∴,
又,
∴当时,取得最大值为25；当时,取得最小值为；
∴的最大值为5,最小值为.
（3）当时,椭圆：,
设,当直线PQ斜率存在时设其方程为,则
由,得,
∴,
由可知,即,
∴,即,
∴,可得,满足,
∴到直线PQ的距离为为定值；
当直线PQ斜率不存在时,,可得直线方程为,到直线PQ的距离为.
综上,到直线PQ的距离是定值．
三、跟踪检测
1．如图,点M是圆上任意点,点,线段的垂直平分线交半径于点P,当点M在圆A上运动时,
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）轴,交轨迹于点（点在轴的右侧）,直线与交于（不过点）两点,且直线与直线关于直线对称,则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？
①直线恒过定点；②m为定值；③n为定值．
2．（20022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）如图,已知抛物线：,,,过点垂直于轴的垂线与抛物线交于,,点,满足,.
（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线与此抛物线的公共点为,记与的面积分别为,,求的值.
3．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为的圆与线段OM交于点N,作轴于点D,作于点Q.
（1）令,若,,,求点Q的坐标；
（2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；
（3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点,,若点E F分别满足,,设直线和的交点为K,设直线：及点,（其中）,证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值.
4．（2022届衡水金卷高三测试）已知抛物线的准线为,直线交于,两点,过点,分别作上的垂线,垂足分别为,.
（1）若梯形的面积为,求实数的值；
（2）是否存在常数,使得成立 若存在,求出的值,若不存在,请说明理由
5．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：为定值.
6．已知过点且斜率大于零的直线与抛物线及圆都相切.
（1）求p的值；
（2）过点的动直线与抛物线C交于点P,Q,以BP为直径的圆与直线交于点M,N,若为定值,求的值.
7．已知,分别是双曲线C：(,)的左、右焦点,,P是C上一点,,且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点的直线l与双曲线C交于A,B两点,过点A作直线的垂线,垂足为D,过点O作(O为坐标原点),垂足为M.则在x轴上是否存在定点N,使得为定值？若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.
8．（2022届四川省南充市高三一诊）已知椭圆的离心率为,椭圆C的下顶点和上顶点分别为,,且,过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当时,求的面积；
（3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值．
9．（2022届】河北省邯郸市高三上学期训练）在平面直角坐标系中,动点到点的距离比它到直线的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与动点的轨迹交于两点,问是否为定值？若是求出定值,不是说明理由.
10．（2022届云南省昆明市高三摸底）已知点在抛物线上,的焦点为,．
（1）求抛物线的方程及；
（2）经过点的直线与交于,两点,且,异于点,若直线与的斜率存在且不为零,证明：直线与的斜率之积为定值
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专题6 圆锥曲线中的定值问题
三、跟踪检测
1．如图,点M是圆上任意点,点,线段的垂直平分线交半径于点P,当点M在圆A上运动时,
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）轴,交轨迹于点（点在轴的右侧）,直线与交于（不过点）两点,且直线与直线关于直线对称,则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？
①直线恒过定点；②m为定值；③n为定值．
【分析】（1）根据题意得的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,进而根据椭圆的定义求解即可；
（2）根据题意,再设,进而直线与椭圆联立方程,结合韦达定理得整理得,再根据,,三点不共线得.
【解析】（1）如图,由方程,得,半径,
∵在的垂直平分线上,∴,
所以,
∴的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,
由,则,,,
∴点的轨迹的方程为．
（2）解：∵直线与轨迹交于,两点,设,如图
消,得,
整理,得,
,
因为与关于对称,轴,
所以,,,,
,即,
∵,,
∴整理：,
,
即,
即,
若,点满足,即,,三点共线,不合题意,
∴,即,
∴直线中为定值．
2．（20022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）如图,已知抛物线：,,,过点垂直于轴的垂线与抛物线交于,,点,满足,.
（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线与此抛物线的公共点为,记与的面积分别为,,求的值.
【解析】（1）易知,设,由,可得,
故有,同理,
于是直线的方程是,
即①与抛物线方程联立,即
得到,
此方程有两个相等的根：代入①,得,
故直线与抛物线有且仅有一个公共点
（2）
设直线与轴交于,则,
于是
故有.
3．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为的圆与线段OM交于点N,作轴于点D,作于点Q.
（1）令,若,,,求点Q的坐标；
（2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；
（3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点,,若点E F分别满足,,设直线和的交点为K,设直线：及点,（其中）,证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值.
【解析】（1）设,则由题知
,因此
（2）
（2）设及,则由题知
,则点Q的轨迹C为椭圆,方程为：.
（3）设,由题知,,,,,
：,即,
：,即,
联列上述直线方程,解得.
令点到直线的距离为,则.
因此有.
4．（2022届衡水金卷高三测试）已知抛物线的准线为,直线交于,两点,过点,分别作上的垂线,垂足分别为,.
（1）若梯形的面积为,求实数的值；
（2）是否存在常数,使得成立 若存在,求出的值,若不存在,请说明理由
【解析】（1）由题得准线,直线过焦点.
设,,则,,
联立得,所以,,
所以,,
.
而梯形的面积
解得或.
（2）
,
又,所以为常数.
5．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：为定值.
【解析】（1）当轴时,易得,
所以,解得,
所以抛物线C的方程为；
（2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,
代入抛物线C的方程,并整理得,
设,,由根与系数的关系得,.
所以,所以线段AB的中点N的坐标为,连接QM,若四边形AQBM为平行四边形,则N是QM的中点,
易知,因此,
设直线PQ的方程为,代入抛物线C的方程,整理得,
所以,
故,因此,
故可得,,
故点M的坐标为,
因此存在定点,使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点到直线的距离,
由,,可得,
因此,
同理可得,
所以,为定值.
6．已知过点且斜率大于零的直线与抛物线及圆都相切.
（1）求p的值；
（2）过点的动直线与抛物线C交于点P,Q,以BP为直径的圆与直线交于点M,N,若为定值,求的值.
【解析】（1）解法一：由,得,.
设直线与抛物线C切于点,易知,
则的斜率,得,,
∴直线的方程为.
圆的标准方程为,
∴圆心为,其到直线的距离,得.
解法二：由题设直线的方程为,
由直线与圆即圆相切,
得,得,
故直线的方程为,
将其代入,得.
∵直线与抛物线相切,
∴,∴.
（2）设,则,以BP为直径的圆的圆心,.
连接EM,过E作直线的垂线,垂足为G,则,
,
当时,,为定值,故.
7．已知,分别是双曲线C：(,)的左、右焦点,,P是C上一点,,且.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点的直线l与双曲线C交于A,B两点,过点A作直线的垂线,垂足为D,过点O作(O为坐标原点),垂足为M.则在x轴上是否存在定点N,使得为定值？若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由题意得,
∵,,
∴,
又,∴,解得,
∴,,
∴双曲线C的标准方程为.
（2）由(1)得,设,,则,
易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为,,
联立直线l与双曲线C的方程,消去x得,
∵,∴,.
∵直线BD的斜率,
∴直线BD的方程为,
设BD交x轴于E点,如图,∵OM⊥BD,∴若在x轴上存在定点N,使得为定值,则E为定点,N为OE中点,,即直线BD过x轴上的定点E.
在直线BD的方程中,令,得
,
∴直线BD过定点.
∴,则.
综上,在x轴上存在定点,使得为定值.
8．（2022届四川省南充市高三一诊）已知椭圆的离心率为,椭圆C的下顶点和上顶点分别为,,且,过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当时,求的面积；
（3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值．
【解析】（1）因为,所以,即,因为离心率为,所以,设,则,,又,即,解得或（舍去）,所以,,,所以椭圆的标准方程为
（2）由得
,
所以直线与椭圆无交点,故的面积不存在．
（3）由题意知,直线l的方程为,设,,
则,整理得,
则,
因为直线和椭圆有两个交点,所以,则,
设,因为,T,M在同一条直线上,则,
因为,T,N在同一条直线上,则,
由于,所以,
则交点T恒在一条直线上,故交点T的纵坐标为定值.
9．（2022届】河北省邯郸市高三上学期训练）在平面直角坐标系中,动点到点的距离比它到直线的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与动点的轨迹交于两点,问是否为定值？若是求出定值,不是说明理由.
【解析】（1）方法一：设动点,由题意得：.
若,则式为,两边平方并化简可得：；
若,则式为,两边平方并化简可得：,显然不成立.
动点的轨迹的方程为.
方法二：由动点到点的距离比它到直线的距离大,
知动点到点的距离与它到直线的距离相等,满足抛物线定义；
由抛物线的定义知：动点的轨迹的方程为：.
（2）易知直线斜率存在,设直线的方程为：,
由得：,则,
设,,则,,,.
抛物线焦点为,由抛物线定义知：,,
,
为定值.
10．（2022届云南省昆明市高三摸底）已知点在抛物线上,的焦点为,．
（1）求抛物线的方程及；
（2）经过点的直线与交于,两点,且,异于点,若直线与的斜率存在且不为零,证明：直线与的斜率之积为定值．
【解析】（1）由题知：.
所以抛物线的方程：.
（2）当直线的斜率不存在时,直线为,
联立,得,.
,,
则.
当直线的斜率存在时,设直线为,设,,
则：,.
联立得：
因为,所以,．
所以,
所以,
所以直线与的斜率之积为定值
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