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专题7 圆锥曲线中的最值与范围问题
三、跟踪检测
1．（2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程﹔
（2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.
【解析】（1）由已知条件得：，令，得，
由题意知：，解得，
∴椭圆的标准方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，显然不合题意；
②当直线斜率存在时，设，
当时，此时关于y轴对称，令，
∴且，则，又，
∴，解得或(舍)，则符合题设.
∴此时有；
当时，则，得，，
设，则，得，，
且，
由，即，
∴，整理得，解得（舍去），
代入得：，
∴为，得：，
则线段的中垂线为，
∴在轴上截距，而，
∴且，
综合①②:线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是.
2．（2022届】河北省高三上学期12月教学质量监测）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）不过的直线与交于 两点，若直线的斜率是直线 斜率的等差中项，直线和线段的垂直平分线与轴分别交于 ，求的最小值.
【解析】（1）由椭圆的定义知，点在以，为焦点且的椭圆上，
所以其方程为：
（2）由题意得直线的斜率存在且不为0.
直线的方程为，，，
直线方程与椭圆方程联立得得，
所以得
，
由题意得，即
整理得
∵直线不过，∴，
∴，∴
∵，∴，解得或
线段的中点为，线段中垂线方程为
当时，，直线与轴交点的纵坐标
，或
当时，最小，最小值为2.
3．已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值.
【解析】（1）依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
设圆的半径为，则有，，因此，，
于是得点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，此时，焦距，短半轴长b有：，
所以动圆圆心的轨迹的方程为：.
（2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，
由消去得：，则，，
点关于轴的对称点，，，如图，
显然与在3的两侧，即与同号，
于是得
，
当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，
所以面积的最大值.
4．已知椭圆：（）的离心率为，分别过左、右焦点，作两条平行直线和.
（1）求和之间距离的最大值；
（2）设与的一个交点为，与的一个交点为，且，位于轴同侧，求四边形面积的最大值.
【解析】（1）∵椭圆：（）的离心率为，且，
∴，
∴，
设直线：；直线：.
∴和之间距离，
当时，；
（2）根据题意，不妨设直线与椭圆交于A、D两点，直线与椭圆交于B、N两点，
则，且，即四边形ABND为平行四边形，
∴四边形面积为四边形ABND面积的一半，
由（1）知，，
联立方程
则，
∴，
∴ ，
∴，
令，
，
∵，∴，
∴，当且仅当时，取等号.
故四边形面积的最大值.
5．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，求的最大值.
【分析】（1）由已知得建立关于a，b，c的方程组，求解即可；
（2）直线与椭圆的方程联立整理得，设，由向量的数量积运算求得，得三角形MAB为直角三角形，运用等面积法求得，设，由二次函数的性质可求得其最大值.
【解析】（1）由已知得解得，
因此椭圆C的方程为；
（2）由整理得，
设，则，
因为
，
所以MA⊥MB，三角形MAB为直角三角形，
设d为点M到直线的距离，故，
又因为，
，
所以，
设，则，由于，
所以，当，即k=0时，等号成立.
因此，的最大值为32.
6．（2022届河北省衡水中学高三上学期模拟）已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．
【解析】（1）由题设条件知，，，
解得：，．
故椭圆的方程为．
（2）易证四边形为正方形，点的坐标，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为．
如图，设点，的坐标分别为，，线段的中点为，
由，得，①
由，解得．②
因为，是方程①的两根，所以，于是
，．
因为，所以点不可能在轴的右边，
又直线，的方程分别为，，
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为．
即，亦即．
解得，此时②也成立，
故直线斜率的取值范围．
7．（2022届江西省智慧上进高三12月大联考）已知抛物线，直线过点且与交于，两点，其中.
（1）若，且，求点的坐标；
（2）若（为坐标原点），求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意，为的焦点，
故，解得，
则，则，
故点的坐标为或.
（2）设直线的方程为，
联立得，
设，，，
由知，
，
所以且，
,
故实数的取值范围为.
8．（2022届贵州省遵义市高三上学期联考）已知椭圆的左 右焦点分别为和，且，，，四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线和与直线分别交于G和H两点，设直线和的斜率分别为和，若线段GH的长度小于，求的最大值.
【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由，知C不经过，所以点在C上.
所以解得
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设，如图，过点P作直线轴，
分别交x轴和直线于M，N两点.
易知，则，即，
由，得，所以，
由，得，从而
所以当时，，即的最大值为.
9．（2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟）设椭圆过，两点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）将，的坐标代入椭圆的方程得，
解得，．
所以椭圆的方程为．
（2）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，
设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，
当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①
将其代入椭圆的方程并整理得，
由韦达定理得，，②
因为，所以，③
将①代入③并整理得，
联立②得，④
因为直线和圆相切，因此，由④得，
所以存在圆满足题意．
当切线的斜率不存在时，易得，
由椭圆方程得，显然，
综上所述，存在圆满足题意．
当切线的斜率存在时，由①②④得
，
由，得，
即．
当切线的斜率不存在时，易得，
所以．
综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且．
10．（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线.
（1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；
（2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点 ，交直线于两点，求证：为常数
（3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得
，，设，
则；
（2）由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得
，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即
（3）
假设存在点满足，
设，，
则，易知，
化简得，即，
当时，，当且仅当时取到等号，故；
当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故；
故。
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专题7 圆锥曲线中的最值与范围问题
一、考情分析
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐。解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．
二、解题秘籍
(一) 最值与范围问题求解方法与策略
1. 处理圆锥曲线最值与范围问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【例1】（2022届四川省攀枝花市高三统一考试）已知双曲线的两个焦点分别为，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若轨迹上存在两点，满足（，分别为直线，的斜率），求直线的斜率的取值范围.
【分析】（1）由题设知：，结合椭圆的定义写出轨迹的方程；
（2）设：，，联立椭圆方程并应用韦达定理可得，，根据可得，由有，即可求直线的斜率的取值范围.
【解析】（1）由题设，若，
∴，即动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴动点的轨迹的方程为.
（2）由题设，设直线：，，
∴.
联立轨迹可得：，则，
∴，，
，则，即，
∵，且，
∴且，可得或.
【例2】（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点.当直线的斜率为1时，点是线段的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若过点的直线交椭圆于，两点，且，求四边形的面积的最大值.
【分析】（1）根据题意设，，利用点差法得，再结合解方程即可得答案；
（2）根据椭圆的对称性得四边形是平行四边形，进而将问题可转化为求的最大值，故设直线的方程为，与椭圆联立方程，结合韦达定理得，令，再根据基本不等式求解即可.
【解析】（1）设，.
由题意可得
∴，即，
∴.
∵，∴，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）根据对称性知，，
∴四边形是平行四边形，又，
∴问题可转化为求的最大值.
设直线的方程为，代入，得.
则，，
∴.
令，则，且，
∴.
记，易知在上单调递增.
∴.
∴.
∴四边形的面积的最大值是6.
(二) 利用圆锥曲线定义求最值与范围
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
【例3】（2022届广西南宁市高三12月月考）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为1，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
【分析】（1）由短轴长得，离心率得关系，结合关系式可求，进而得解；
（2）设，，由代换出点，由点在椭圆上可得，化简可得，结合取值范围可求范围.
（1）由题意知，
解得，，椭圆方程为；
（2）设，，由得，从而：，，则，
因为点A在椭圆上，故，
即，
又，所以，
由椭圆定义知，故，解得，
又由题设知，故，
所以实数的取值范围是.
(三) 单参数最值与范围问题
该类问题求解的基本思路一是把该参数用另一个量（如点的横坐标、纵坐标，直线的斜率等），把求参数最值与转化为求函数值域，二是由题中条件整理出关于该参数的不等式，求过解不等式求最值与范围
【例4】已知椭圆，，分别为椭圆的右顶点、上顶点，为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据椭圆离心率、三角形的面积求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）根据直线的斜率是否为进行分类讨论，结合根与系数关系以及列方程，求得关于的不等式，由此求得的取值范围.
【解析】（1）由题意得，则，．
的面积为，则．
将，代入上式，得，则，，
故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
将代入椭圆方程得，化简得，
则，所以①，②．
由得，即，
则．
得，所以，
即，易知，
故，易知恒成立，由，得，
解得．
当直线的斜率等于0时，
，或，，则或．
综上，实数的取值范围为．
(四) 双参数最值与范围问题
该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．
【例5】（2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点.直线不经过原点，且与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求当面积最大时的取值范围.
【分析】（1）根据离心率，待定系数求解即可；
（2）根据题意设，与椭圆联立方程，结合韦达定理得，再结合基本不等式即可得最大值，再讨论当不存在时，求得，再综合即可得面积最大值；最后结合存在与不存在两种情况求解即可.
【解析】（1），.
将代入得，
椭圆方程为.
（2）设，
与椭圆联立得：，
所以.
则，
因为，故，
所以
当且仅当时取等号，此时，符合题意.
所以，即面积的最大值为.
当不存在时，设，则，当时取等号.
综上，面积的最大值为1
当面积最大时：
若存在，则此时，
则，
若不存在，则此时.
综上，.
【例6】（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到，距离之和为，抛物线E：的焦点是点.
（1）求曲线C和抛物线E的方程；
（2）点是曲线C上的任意一点，过点Q分别作抛物线E的两条切线，切点分别为M，N，求的面积的取值范围．
【分析】(1)根据给定条件求出椭圆C的长短半轴长即可直接写出其方程，再写出抛物线E的方程.
(2)设出过点Q的抛物线E的切线方程，再与抛物线方程联立，借助判别式为0求出两条切
线斜率的关系、二切点坐标，再用点Q的坐标表示出的面积即可计算作答.
【解析】（1）依题意，曲线C是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆，则短半轴长有，
曲线C的方程为：，即，在中，，即，
所以曲线C的方程为：，抛物线E的方程为：.
（2）显然，过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0，设切线方程为：，
由消去x并整理得：，
依题意，，设二切线斜率为，则，，
设斜率为的切线所对切点，斜率为的切线所对切点，
因此，，，于是得，，，
直线MN上任意点，，由得：
，化简整理得：，
则直线MN的方程为：，点Q到直线MN的距离，
，
则的面积，
而点在曲线C上，即，，
在上单调递减，当时，，当时，，
于是有，则，有
所以的面积的取值范围是.
(五) 与距离或线段长度有关的最值与范围问题
与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度表示成一个变量的函数，利用函数性质求最值与范围。
【例7】（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月月考）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：直线轴；
（3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围．
【分析】（1）设抛物线的方程为，由题意可得求得抛物线方程；
（2），设，求出直线、的方程，求出点坐标和点坐标，由可得答案：
（3）根据已知条件求出、圆心坐标、直线方程，且与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，圆心到直线的距离为，半径，得到，令，代入利用单调性可得答案．
【解析】（1）设抛物线的方程为，
由题意可得，所以，所以抛物线方程.
（2）由（1），因为，设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立上述两直线方程，得点坐标，
又因为点为线段的中点，所以点坐标，
因为，所以直线轴：
（3）因为点，所以，则，圆心，
直线的斜率为，直线方程为，
，得，，，
圆心到直线的距离为，半径，
，令，
在时单调递减，．
(六) 与面积有关的最值与范围问题
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键
(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；
(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；
(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.
【例8】（2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程;
（2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.求面积的最大值.
【分析】（1）根据题意，由离心率，且点在椭圆上，列出方程，计算的值，则椭圆方程可求；
（2）应用点差法求直线的斜率，进而设直线并与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值.
【解析】（1）离心率，将代入椭圆方程，可得，又 ，
∴联立上述方程，可得：， ，
∴椭圆方程为；
（2）设可得：，
相减可得：，
由题意，，即，
∴直线的斜率，
故可设直线为，代入椭圆方程可得：，
由，解得，
∴，
，
又到的距离为，
∴面积为，
当且仅当，即时，取得最大值.
【例9】已知椭圆C：的离心率为，，分别为椭圆C的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A，B，且的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M，N两点，且，求的最大值．
【分析】（1）根据离心率得到关系式，再结合的面积为得到，利用求出a，b的值，进而求出椭圆方程；（2）根据题目特征，设出直线l的方程，联立后利用韦达定理和得到，用含的式子表达出，求得最大值，进而得到的最大值.
【解析】（1）因为椭圆C的离心率为，所以①．
将代入，得，
所以，
则，即②．
由①②及，得，，
故椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为．
联立得消去x得，
，化简整理，得．
设，，则，．
因为，所以．
因为，所以，，
得，
将，代入上式，得，
得，
解得或（舍去），
所以直线l的方程为，则直线l恒过点，
所以．
设，则，，
易知在上单调递增，
所以当时，取得最大值，为．
又，
所以．
(七) 与斜率有关的最值与范围问题
与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点。是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解。
【例10】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标，将点Q坐标代入抛物线方程得到，将此式代入得到，解不等式即可.
【解析】（1）
易知点是抛物线的焦点，，
依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为，
则，
，
故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即，
即，即，
且，
即的取值范围为或.
三、跟踪检测
1．（2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程﹔
（2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.
2．（2022届】河北省高三上学期12月教学质量监测）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）不过的直线与交于 两点，若直线的斜率是直线 斜率的等差中项，直线和线段的垂直平分线与轴分别交于 ，求的最小值.
3．已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值.
4．已知椭圆：（）的离心率为，分别过左、右焦点，作两条平行直线和.
（1）求和之间距离的最大值；
（2）设与的一个交点为，与的一个交点为，且，位于轴同侧，求四边形面积的最大值.
5．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，求的最大值.
6．（2022届河北省衡水中学高三上学期模拟）已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．
7．（2022届江西省智慧上进高三12月大联考）已知抛物线，直线过点且与交于，两点，其中.
（1）若，且，求点的坐标；
（2）若（为坐标原点），求实数的取值范围.
8．（2022届贵州省遵义市高三上学期联考）已知椭圆的左 右焦点分别为和，且，，，四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线和与直线分别交于G和H两点，设直线和的斜率分别为和，若线段GH的长度小于，求的最大值.
9．（2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟）设椭圆过，两点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．
10．（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线.
（1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；
（2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点 ，交直线于两点，求证：为常数
（3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由
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