资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台专题9 抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解.【例1】(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C上任意一点到,距离之和为,抛物线E:的焦点是点.(1)求曲线C和抛物线E的方程;(2)点是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求的面积的取值范围.【分析】(1)根据给定条件求出椭圆C的长短半轴长即可直接写出其方程,再写出抛物线E的方程.(2)设出过点Q的抛物线E的切线方程,再与抛物线方程联立,借助判别式为0求出两条切线斜率的关系、二切点坐标,再用点Q的坐标表示出的面积即可计算作答.【解析】(1)依题意,曲线C是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,则短半轴长有,曲线C的方程为:,即,在中,,即,所以曲线C的方程为:,抛物线E的方程为:.(2)显然,过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0,设切线方程为:,由消去x并整理得:,依题意,,设二切线斜率为,则,,设斜率为的切线所对切点,斜率为的切线所对切点,因此,,,于是得,,,直线MN上任意点,,由得:,化简整理得:,则直线MN的方程为:,点Q到直线MN的距离,,则的面积,而点在曲线C上,即,,在上单调递减,当时,,当时,,于是有,则,有所以的面积的取值范围是.(二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线点处的切线斜率为,切线方程为.【例2】设抛物线:,其焦点为 ,准线为,点为上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,且,.(1)求抛物线的方程;(2)设点为外的一点且点不在坐标轴上,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,过点作轴的垂线,垂足为,连接 ,,证明:直线与直线关于轴对称.【分析】(1)由抛物线的定义可得,为等边三角形,结合条件可求出,设直线交轴于点,则在中,可求出,即得出抛物线方程;(2)要证明直线与直线关于轴对称,只需证明两条直线的斜率之和为0即可,通过导数的几何意义,可求出直线与直线的方程,进而可求出直线的方程,和抛物线方程联立方程,结合根与系数的关系可得点的横坐标的关系,进而得出直线与直线斜率的表达式,即可算出这两条直线的斜率之和为0,即可得证.【解析】(1),为等边三角形,,又,设直线交轴于点,则在中,,的方程为(2)设点,,,又的方程为可化为,所以过点且与相切的直线的斜率为,过点且与相切的直线的斜率为,所以直线的方程为,直线的方程为.又直线与均过点,,,又,,,,所以直线的方程为,联立方程和得方程组消去得,,,,,又,则直线的斜率;直线的斜率,,,,所以直线与直线关于轴对称.(三) 抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.反之:(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.【例3】已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.(1)求抛物线C的方程;(2)过F的直线与抛物线C相交于A,B两点,在A,B处分别作C的切线,交点为P.(i)证明:;(ii)若直线FP交C于M,N两点(M在线段FP上),求四边形面积的最小值.【分析】(1)由抛物线的方程可得焦点到其准线的距离为,解得,即可得出答案.(2)(ⅰ)设,,,,,,直线方程为,联立抛物线的方程,得关于的一元二次方程,结合韦达定理可得,,利用导数的几何意义可得切线的斜率,写出切线的方程,同理可得,抛物线在点处的切线方程,联立上述两切线方程,解得,,计算,即可得出答案.(ⅱ)由抛物线的定义可得,,再结合基本不等式得最小值.【解析】(1)抛物线C的焦点为,准线方程为,所以焦点F到其准线的距离为,因为,解得.所以抛物线C的方程为.(2)(i)证明:由题意,直线AB的斜率一定存在,设其方程为,代入抛物线方程,整理得.设,,,则,.函数的导数为,故抛物线在点A处的切线方程为,化简得,同理,抛物线在点B处的切线方程为,联立上述两切线方程,解得,,因为,,所以,所以.(ii)显然,由(i)知,所以,因为,所以直线MN的斜率为,将替换上式中的k,可得,所以,因为,当且仅当,即时,取等号.所以,所以,当时,四边形AMBN面积的最小值为8.【例4】已知直线过原点,且与圆交于,两点,,圆与直线相切,与直线垂直,记圆心的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)过直线上任一点作的两条切线,切点分别为,,证明:①直线过定点;②.【分析】(1)设,根据圆的性质分析得到,将其转化为关于的方程并化简,即可求得的方程;(2)①设出点的坐标,然后可求出切线的方程,由此可得直线的方程并分析所过的定点;②联立直线与曲线的方程,通过韦达定理计算出的值等于即可证明.【解析】(1)如图,设,因为圆与直线相切,所以圆A的半径为.由圆的性质可得,即,化简得.因为与不重合,所以,所以的方程为.(2)证明:①由题意可知,与不重合.如图,设,,则,因为,所以切线的斜率为,故,整理得.设,同理可得.所以直线的方程为,所以直线过定点.②因为直线的方程为,由消去得,所以,.又,所以.三、跟踪检测1.已知椭圆方程为,若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,分别在点,处作抛物线的切线,两条切线交于点,则的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及此时对应的直线的方程;若不存在,请说明理由.2.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为.(1)求抛物线的标准方程;(2)求证:直线轴;(3)以线段为直径作圆,交直线于,求 的取值范围.3.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E:()上一点到其焦点F的距离为2.(1)求实数的值;(2)若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线、,且、的交点为Q,、与y轴的交点分别为M、N.求面积的取值范围.4.过原点O的直线与拋物线C:()交于点A,线段OA的中点为M,又点,.在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题:①,②;③的面积为.(1)______,求拋物线C的方程;(2)在(1)的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q(不与原点O重合),过点B作直线l与OQ垂直,求证:直线l过定点.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.5.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点的动圆始终与直线:相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)动点在直线上,过点作曲线的两条切线分别交轴于B,D两点,当的面积是时,求点坐标.6.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.(1)求抛物线的方程;(2)若点在圆上,,是的两条切线.,是切点,求面积的最大值.7.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线:的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点点之间,连接,过点作直线的平行线,证明是抛物线的切线.8.已知抛物线,其焦点为F,抛物线上有相异两点,.(1)若轴,且经过点A的抛物线的切线经过点,求抛物线方程;(2)若,且,线段AB的中垂线交x轴于点C,求面积的最大值.9.(2021届福建省厦门高三模拟)设抛物线:()的焦点为,点()在抛物线上,且满足.(1)求抛物线的标准方程;(2)过点的直线与抛物线交于,两点,分别以,为切点的抛物线的两条切线交于点,求三角形周长的最小值.10.(2021届广东省汕头市高三三模)已知圆与定直线,且动圆与圆外切并与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)已知点是直线上一个动点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为、.①求证:直线过定点;②求证:21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台专题9 抛物线中的切线问题三、跟踪检测1.已知椭圆方程为,若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,分别在点,处作抛物线的切线,两条切线交于点,则的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及此时对应的直线的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由椭圆,知,,所以,所以椭圆的焦点坐标为或,又因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以抛物线的焦点是,可得,则.于是抛物线的方程为.(2)由(1)知,,设,,易知直线的斜率存在,则设直线的方程为,由 消去并整理,得,且,,,由可得,所以,所以直线的斜率,则直线的方程为,即,同理得直线的方程为,设点,联立直线与的方程 ,得 即,,点到直线的距离,所以的面积所以当时,,故面积的最小值为,此时直线的方程为.2.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为.(1)求抛物线的标准方程;(2)求证:直线轴;(3)以线段为直径作圆,交直线于,求 的取值范围.【解析】(1)设抛物线的方程为,由题意可得,所以,所以抛物线方程.(2)由(1),因为,设,直线的方程为,直线的方程为,联立上述两直线方程,得点坐标,又因为点为线段的中点,所以点坐标,因为,所以直线轴:(3)因为点,所以,则,圆心,直线的斜率为,直线方程为,,得,,,圆心到直线的距离为,半径,,令,在时单调递减,.3.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E:()上一点到其焦点F的距离为2.(1)求实数的值;(2)若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线、,且、的交点为Q,、与y轴的交点分别为M、N.求面积的取值范围.【解析】(1)因为点到其焦点F的距离为2,由抛物线的定义知解得(2)由上问可知,抛物线方程E:设,,(,),设l:,联立,得,判别式,故R,设:联立方程组,消x得,所以所以则:,即,令,得,同理:,,联立,得交点Q的横坐标为,∴∴面积的取值范围是.4.过原点O的直线与拋物线C:()交于点A,线段OA的中点为M,又点,.在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题:①,②;③的面积为.(1)______,求拋物线C的方程;(2)在(1)的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q(不与原点O重合),过点B作直线l与OQ垂直,求证:直线l过定点.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(1)由题意知直线OA的斜率存在且不为0,设其方程为,由得或即,所以线段OA的中点.因为,所以直线PM的斜率存在,.所以,解得,所以直线OA的方程为,.若选①,不妨令,由,得,解得(舍去),所以抛物线C的方程为.若选②,因为,,所以点P到直线OA的距离为,即,解得(舍去),所以抛物线C的方程为.若选③,不妨令,因为,点P到直线OA的距离,所以,解得(舍去),所以抛物线C的方程为.(2)由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0.设,切线BQ的方程为,由得,(*)所以,解得,所以方程(*)的根为,代入得,所以切点,于是,则,所以直线l的方程为,即,所以当b变化时,直线l恒过定点.5.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点的动圆始终与直线:相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)动点在直线上,过点作曲线的两条切线分别交轴于B,D两点,当的面积是时,求点坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为,因为过定点的动圆始终与直线:相切,可得,化简得,即动圆圆心的轨迹方程:.(2)设动点,根据题意过点A作曲线C的切线斜率存在,设为,所以切线方程为,联立方程组,整理得,且,因为有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为,,所以,,切线交轴于点,切线交轴于点,所以,即,解得,所以点坐标为或.6.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.(1)求抛物线的方程;(2)若点在圆上,,是的两条切线.,是切点,求面积的最大值.【解析】(1)抛物线的焦点为,,所以,与圆上点的距离的最小值为,解得;所以抛物线的方程为.(2)抛物线的方程为,即,对该函数求导得,设点,,,直线的方程为,即,即,同理可知,直线的方程为,由于点为这两条直线的公共点,则,所以,点、的坐标满足方程,所以,直线的方程为,联立,可得,由韦达定理可得,,所以点到直线的距离为,所以,,,由已知可得,所以,当时,的面积取最大值.7.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线:的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点点之间,连接,过点作直线的平行线,证明是抛物线的切线.【解析】(1)解:设过点的直线方程为,,联立,得,则,所以,,因为,所以,化简得,所以,当过点的直线斜率不存在时,则,故,又因为,则,所以,综上所述,,所以;(2)证明:不妨设点P在第一象限,则,设直线PQ的方程为,,联立,消元整理得,则,即故,即,当时,,则,又因,且点介于点点之间,则为的中点,所以,则直线的斜率为,因为直线平行直线,所以直线的斜率为,故直线的方程为,即,联立,消元整理得,,所以直线l与抛物线只有一个交点,有直线l斜率不为0,所以是抛物线的切线.8.已知抛物线,其焦点为F,抛物线上有相异两点,.(1)若轴,且经过点A的抛物线的切线经过点,求抛物线方程;(2)若,且,线段AB的中垂线交x轴于点C,求面积的最大值.【解析】(1)抛物线,焦点坐标为,因为,所以,所以,又,所以,所以过A点的切线的斜率,所以切线方程为,令得,所以,所以(2)若,则抛物线为,焦点为,准线方程为,因为,所以,所以,设直线的方程为,联立得,所以,,所以,即,所以,解得,当时,直线方程为,则,,所以的中垂线恰为轴,则,所以,当,且时,又的中点坐标为,所以的中垂线的方程为,令得,所以,所以到的距离,又,所以令,则,,因为,所以当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,所以所以所以9.(2021届福建省厦门高三模拟)设抛物线:()的焦点为,点()在抛物线上,且满足.(1)求抛物线的标准方程;(2)过点的直线与抛物线交于,两点,分别以,为切点的抛物线的两条切线交于点,求三角形周长的最小值.【解析】(1)由抛物线定义,得,得,∴抛物线的标准方程为;(2)设,,直线的方程为,∴联立,消掉,得,,∴,,设,处的切线斜率分别为,,则,,∴在点的切线方程为,即①,同理,在的切线方程为②,由①②得:,代入①或②中可得:,∴,即在定直线上,设点关于直线的对称点为,则,由(1)知,∵,即三点共线时等号成立,∴三角形周长最小值为.10.(2021届广东省汕头市高三三模)已知圆与定直线,且动圆与圆外切并与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)已知点是直线上一个动点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为、.①求证:直线过定点;②求证:.【解析】(1)依题意知:到的距离等于到直线的距离,动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,设抛物线方程为,则,则,即抛物线的方程为,故:动圆圆心的轨迹的方程为:;(2)①由得:,,设、,,其中,则切线的方程为,即,同理,切线的方程为,由,解得,,即,、,直线的方程为,化简得,即,故直线过定点;②由①知:直线的斜率为,(i)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,,;(ii)当直线的斜率存在时,、,直线的斜率,,,.综上所述:得证21世纪教育网 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