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专题2 圆锥曲线中的长度问题
三、跟踪检测
1．（2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟）已知斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A B两点,y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.
（1）若k>0,证明：点P在y轴正半轴上；
（2）当取到最大值时,求实数k的值.
【解析】（1）设,的中点为,,
因为,故直线的斜率存在,故,故,
故直线,故,
因为的中点为,故,故.
所以点P在y轴正半轴上.
（2）当与轴垂直时,；
当与轴不垂直时,因为△ABP是等边三角形,故与轴不垂直,故.
由（1）可得即,
故,所以,
又,
由可得,
所以即且,
因为△ABP是等边三角形,故,
故,整理得到,此时成立.
由可得.
因为,故,其中.
设,,
则,
当时,；时,；
所以在上为增函数,在上为减函数,
故当时,的最大值为,
此时,
此时直线的斜率即.
2．（2022届上海市建平中学高三上学期考试）设实数,椭圆D：的右焦点为F,过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N,点O是坐标原点,直线ON交直线于点M．
（1）若点P的横坐标为1,求点Q的横坐标；
（2）求证：；
（3）求的最大值．
【解析】（1）因为点P的横坐标为1,由,
得P的坐标为或．F的坐标为．
当P的坐标为时,直线PQ：,
即,
代入椭圆方程,,即,
得Q的横坐标为.
当P的坐标为时,同样得Q的横坐标为.
因此,点Q的横坐标为；
（2）联立方程组,其解为,．
消去y,得,即．
由,
所以N的横坐标为,
得N的纵坐标为,
得N的坐标为．
所以直线ON的斜率为,方程为,
与直线交于点．
故直线FM的斜率为,于是,因此；
（3）
．
令,由,得,
又,得．
即,所以的取值范围为,最大值为．
3．（2022届江苏省南京高三上学期12月联考）已知椭圆C：0)的离心率为,右顶点为A,过点B(a,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,其中点M在第一象限当点M,N关于原点对称时,点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点N作x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点,求直线AQ的斜率,并求线段AQ长度的最大值．
【解析】（1）因为,又,所以,所以椭圆．
当点、关于原点对称,此时直线过原点,直线的方程为,所以,
代入椭圆的方程得,即,所以或（舍去）
所以椭圆的方程为
（2）,由题意直线的斜率存在,设直线的方程为,,,
由,得,
可知,,且
直线的方程为,令,则点的纵坐标为,
所以点的纵坐标,
所以直线的斜率为
,
即直线的斜率为．设直线与轴的交点为,在中,,所以,,所以线段长度的最大值为．
4．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆经过点,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点,求的最大值.
【解析】（1）由已知得解得,
因此椭圆C的方程为；
（2）解：由整理得,
设,则,
因为
,
所以MA⊥MB,三角形MAB为直角三角形,
设d为点M到直线的距离,故,
又因为,
,
所以,
设,则,由于,
所以,当,即k=0时,等号成立.
因此,的最大值为32.
5．（2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系中,动点,满足,记点的轨迹为．
（1）请说明是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点,,线段的中点为,直线与交于两点,,请判断与的关系,并证明你的结论．
【解析】（1）设,,则因为,满足,即动点表示以点,为左、右焦点,长轴长为4,焦距为的椭圆,其轨迹的方程为；
（2）可以判断出,
下面进行证明：
设直线的方程为,,,
由方程组,得①,
方程①的判别式为,由,即,解得且．
由①得,,
所以点坐标为,直线方程为,
由方程组,得,,
所以．
又
．
所以.
6．（2022届河南省县级示范性高中高三上学期11月尖子生对抗赛）已知椭圆：（）与过原点的直线相交于,两点,上顶点满足（其中表示直线的概率）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若与直线平行且过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,两点,证明：为定值．
【解析】（1）根据题意,,设,则,
则,
,
所以,
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意知,,直线的斜率存在,且不为0,
设直线为,则直线为,
联立得．
设,,则,,
所以．
联立得,
故,
所以,为定值．
7．（2022届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期12月月考）已知椭圆C∶（a>b>0）与抛物线y2=4x共焦点F,且过点,设是椭圆上任意一点,A、B为椭圆的左、右顶点,点E满足．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断是否为定值,并说明理由；
（3）设Q是直线x=9上动点,直线AQ、BQ分别交椭圆于M、N两点,求|MF | +| NF |的最小值．
【解析】（1）抛物线y2=4x的焦点,
则有,解得,
所以椭圆C的方程为；
（2）解：因为,所以,
因为是椭圆上任意一点,所以,
则,
所以,
所以是定值3；
（3）解：,可设,
则,则直线的方程为,
,消得：,
则有,所以,
同理可得,
因为为椭圆的右准线,
所以由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率,
可得
,
当且仅当,即时,取等号,
所以|MF | +| NF |的最小值为.
8．（2022届江苏省泰州市高三上学期12月阶段性测试）已知椭圆,短轴长为,离心率为.过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 两点,的中垂线交轴于点,交直线于点.
（1）求的方程；
（2）求的大小；
（3）证明： 四点共圆.
【解析】（1）由已知得,解得,所以椭圆C的方程为：.
（2）由（1）得,所以设直线的方程为,与椭圆C方程联立,
消元得,设,所以 ,得的中点,
所以的中垂线的方程为：,
令,得,则,
所以,
又,
所以.
（3）令的中垂线的方程为：中的,得,
所以,又,
所以MN的中点,,
则点G到直线l的距离为 ,
所以 ,
所以,
故 四点共圆.
9．（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点．
（1）若点的坐标为,求的焦点坐标；
（2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值；
（3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值．
【解析】（1）∵椭圆：,点的坐标为,
∴,,
∴的焦点坐标为；
（2）设,又,
由题知,即,
∴,
又,
∴当时,取得最大值为25；当时,取得最小值为；
∴的最大值为5,最小值为.
（3）当时,椭圆：,
设,当直线PQ斜率存在时设其方程为,则
由,得,
∴,
由可知,即,
∴,即,
∴,可得,满足,
∴到直线PQ的距离为为定值；
当直线PQ斜率不存在时,,可得直线方程为,到直线PQ的距离为.
综上,到直线PQ的距离是定值．
10．（2022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考）已知圆：,,为圆上的动点,若线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知为上一点,过作斜率互为相反数且不为0的两条直线,分别交曲线于,,求的取值范围.
【解析】（1）由题知
故.
即
即在以为焦点且长轴为4的椭圆上
则动点的轨迹的方程为：；
（2）
故
即.
设：,
联立
（*）,,
∴ ,,
又
则：
即
若,则过,不符合题意
故,∴
,
故
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专题2 圆锥曲线中的长度问题
一、考情分析
圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.
二、解题秘籍
(一) 利用两点间距离公式求线段长度
若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.
【例1】（2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考）在平面直角坐标系中,已知椭圆的右准线为（定义：椭圆C的右准线方程为,其中）.点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值.
【分析】（1）根据题意可得点的坐标为时,,不妨设点M在点N上方,得的坐标,从而可得切线的方程,联立切线方程与椭圆方程,消,则,再结合,求得,即可得出答案；
（2）设,切线方程为,联立切线方程与椭圆方程,消,则,设切线斜率为,直线斜率为,利用韦达定理求得,,根据切线方程得的坐标,从而可利用两点间距离公式求得答案.
【解析】（1）由题意可知,当P点坐标为时,,
不妨设点M在点N上方,则,
所以直线与椭圆C相切,将直线与椭圆方程联立,
消去y,整理得,
则,整理得,
又,解得或（舍去）,所以,
即椭圆C的方程为；
（2）设,切线方程为,
将切线方程与椭圆联立,
消去y,整理得,
则,
整理得,
设切线斜率为,直线斜率为,
则,,且,,
所以,
将,代入上式,整理得,
当时,上述等号成立,即的最小值为4.
(二) 利用求距离
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|x2－x1|.
其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝.
【例2】已知椭圆的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于、两点,且四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点,且与轴相交于点,若的值与无关,求斜率的值．
【分析】（1）根据题干条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程,设点、,列出韦达定理,可得出的表达式并化简,结合已知条件可求得的值.
【解析】（1）由题意知．
将代入椭圆的方程得,所以,
所以由四边形的面积为,得,所以．
又点在椭圆上,所以,所以,.
所以椭圆的标准方程为．
（2）解：由,消去得,
则．
设、,则,,
易知,所以
．
由上式可知要使的值与无关,必有,解得．
所以直线的斜率的值为．
(三) 利用求距离
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|y2－y1|.当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|＝.
【例3】（2022届四川省成都市高三诊断）已知抛物线C：,过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P,Q两点.
（1）设点B在x轴上,分别记直线PB,QB的斜率为.若,求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M,N两点,求的值.
【分析】（1）直线的方程为,其中,联立直线与抛物线方程,由韦达定理结合已知条件可求得点的坐标；
（2）直线的方程为,利用倾斜角定义知,,联立直线与抛物线方程,利用弦长公式求得,进而得解.
【解析】（1）由题意,直线的方程为,其中.
设,
联立,消去得.
.
,,即.
,即.
,,∴点的坐标为.
（2）由题意,直线的方程为,其中,为倾斜角,
则,
设.
联立,消去得.
.
.
(四) 利用点到直线距离公式求垂线段的长
1.若已知定点P,点Q在动直线上,求最小值,常利用点到直线距离公式；
2.若点P在定直线上,点Q为曲线上,求最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离.
【例4】（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）物线：在第一象限上一点,过作抛物线的切线交轴于点,过作的垂线交抛物线于,（在第四象限）两点,交于点．
（1）求证：过定点；
（2）若,求的最小值．
【分析】（1）设,求得切线的方程,由此求得点坐标,进而求得直线的方程,由此判断出所过定点.
（2）联立直线的方程和抛物线方程,由此求得点的纵坐标,由求得的取值范围.结合点到直线距离公式求得,进而可化简求得的最小值.
【解析】（1）设,,
所以切线的方程为,
令,解得.
,
所以直线的方程为,
所以直线过定点.
（2）由（1）得直线的方程为,
由消去得,
由于在第四象限,所以由求根公式得.
依题意,即
,
解得.
原点到直线的距离为,
到直线的距离为,
所以,
令,则,
.
对函数,在上递增.
所以当,即时,取得最小值为.
也即的最小值为.
(五) 利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.
【例5】已知椭圆的长轴长为,点在上.
（1）求的方程；
（2）设的上顶点为A,右顶点为B,直线与平行,且与交于,两点,,点为的右焦点,求的最小值.
【分析】（1）由长轴长求出a,进而将点代入椭圆方程解出b,进而得到答案；
（2）根据得出D为MN的中点,设出直线：并代入椭圆方程并化简,进而利用根与系数的关系解出中点D的坐标,然后把表示成m的函数,进而求出最小值.
【解析】（1）因为的长轴长为,所以,即.
又点在上,所以,代入,解得,
故的方程为.
（2）由（1）可知,A,B的坐标分别为,,
直线的方程为,
设,
联立得,
由,得,
设,,,因为,所以D为MN的中点,
则,
因为,所以,
又的坐标为,
所以
,
因为,所以当时,取得最小值,且最小值为.
三、跟踪检测
1．（2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟）已知斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A B两点,y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.
（1）若k>0,证明：点P在y轴正半轴上；
（2）当取到最大值时,求实数k的值.
2．（2022届上海市建平中学高三上学期考试）设实数,椭圆D：的右焦点为F,过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N,点O是坐标原点,直线ON交直线于点M．
（1）若点P的横坐标为1,求点Q的横坐标；
（2）求证：；
（3）求的最大值．
3．（2022届江苏省南京高三上学期12月联考）已知椭圆C：0)的离心率为,右顶点为A,过点B(a,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,其中点M在第一象限当点M,N关于原点对称时,点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点N作x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点,求直线AQ的斜率,并求线段AQ长度的最大值．
4．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆经过点,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点,求的最大值.
5．（2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系中,动点,满足,记点的轨迹为．
（1）请说明是什么曲线,并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点,,线段的中点为,直线与交于两点,,请判断与的关系,并证明你的结论．
6．（2022届河南省县级示范性高中高三上学期11月尖子生对抗赛）已知椭圆：（）与过原点的直线相交于,两点,上顶点满足（其中表示直线的概率）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若与直线平行且过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,两点,证明：为定值．
7．（2022届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期12月月考）已知椭圆C∶（a>b>0）与抛物线y2=4x共焦点F,且过点,设是椭圆上任意一点,A、B为椭圆的左、右顶点,点E满足．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断是否为定值,并说明理由；
（3）设Q是直线x=9上动点,直线AQ、BQ分别交椭圆于M、N两点,求|MF | +| NF |的最小值．
8．（2022届江苏省泰州市高三上学期12月阶段性测试）已知椭圆,短轴长为,离心率为.过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 两点,的中垂线交轴于点,交直线于点.
（1）求的方程；
（2）求的大小；
（3）证明： 四点共圆.
9．（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点．
（1）若点的坐标为,求的焦点坐标；
（2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值；
（3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值．
10．（2022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考）已知圆：,,为圆上的动点,若线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知为上一点,过作斜率互为相反数且不为0的两条直线,分别交曲线于,,求的取值范围
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