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10.3电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．两个推论
(1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
(2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
甲　　　　　　　乙
3．三点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φ x图像的斜率判断沿x轴方向电场强度Ex随位置的变化规律。在φ x图像中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
10.3
一、单选题
1．如图所示，一直角三角形处于平行于纸面的匀强电场中，∠A=90°，∠B=30°，AC长为L，已知A点的电势为，B点的电势为，C点的电势为0．一带电的粒子从C点以的速度出发，方向如图所示(与AC边成60°)．不计粒子的重力，下列说法正确的是
A．电场强度的方向由B指向C
B．电场强度的大小为
C．若粒子能击中图中的A点，则该粒子的比荷为
D．只要粒子的速度大小合适，就可能击中图中的B点
2．如图所示，O点处有一点电荷，在它的电场中有三个等势面a、b、c(以虚线表示)，已知两相邻等势面的间距相等．如图中实线所示是一质子以某一速度射入电场后的运动轨迹，其中1、2、3、4表示运动轨迹与等势面的一些交点．由此可判定(　 　)
A．Uab＝Ubc
B．O处的点电荷一定带负电
C．a、b、c三个等势面的电势关系是φa＞φb＞φc
D．质子经过1时的加速度一定大于经过2时的加速度
3．图示为匀强电场中的一组等势面，A、B、C为电场中的三个点，且A、C在同一等势面上。已知每两个相邻等势面的距离是10cm，A点的电势为12V，B点的电势为10V，由此可判断（　　）
A．无论什么电荷从A点移到C点电场力都不做功
B．该电场的电场强度的大小为100V/m
C．该电场的电场强度的方向水平向右
D．负电荷从A点移动至B点电势能减小
4．关于电场的性质正确的是（　　）
A．电场强度大的地方，电势一定高
B．电势为零处电场强度也一定为零
C．电场强度大的地方，电势可以为零
D．匀强电场中，两点间的电势差只与两点间距离成正比
5．空间存在平行于纸面方向的匀强电场，纸面内ABC三点形成一个边长为1cm的等边三角形．将电子由A移动到B点，电场力做功2eV，再将电子由B移动到C点，克服电场力做功1eV．匀强电场的电场强度大小为
A．100V/m B．V/m C．200V/m D．200V/m
6．在一静止点电荷的电场中，任一点的电势与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为、、和点a到点电荷的距离与点a的电势已在图中用坐标（，）标出，其余类推。由图可知（　　）
A．用来检测场强和电势的检验电荷一定带正电
B．a点电场强度大于b点电场强度
C．将同一检验电荷由c移动到d所做的功大于由b到c所做的功
D．ad两点间图像与横轴之间的面积可以代表ad间电势差
7．如图所示，匀强电场场强为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场夹角为α，则A与B两点间的电势差为（　　）
A．Ed B．Edcosα
C．Edsinα D．Edtanα
8．M、N为电场中某一条电场线上的两点，电场线方向如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．负电荷受电场力FM＞FN B．场强EM＞EN
C．负电荷的电势能EPm＞EPN. D．电势差UMN＞0
9．如图所示，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为、0、8V、12V。则下列说法正确的是（　　）
A．F点的电势
B．D、F间的电势差
C．该匀强电场的电场线垂直于C、F连线，且指向A
D．该匀强电场的场强大小
10．如图所示的匀强电场场强为103N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm.则下述计算结果正确的是（　　）
A．a、b之间的电势差为40 V
B．a、c之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
11．如图所示，空间有一正三棱锥OABC，点A′、B′、C′分别是三条棱的中点．现在顶点O处固定一正的点电荷，则下列说法中正确的是（ ）
A．A′，B′，C′三点的电场强度相同
B．△ABC所在平面为等势面
C．将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，静电力对该试探电荷先做正功后做负功
D．若A′点的电势为φA′，A点的电势为φA，则A′A连线中点D处的电势φD一定小于
二、多选题
12．一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、10V、19.6V。下列说法正确的是（　　）
A．电场强度的大小为2V/cm B．坐标原点处的电势为0.4V
C．电子在a点的电势能比在c点的电势能低9.6eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9.6eV
13．如图所示，带电小球a用绝缘细线竖直悬挂，在带电小球a下方的绝缘桌面上固定着两个带电小球b、c，三个小球均可看成点电荷。当小球a处于平衡状态时，它距正下方桌面上O点的距离为7.5cm，距小球b、c的距离均为15cm，且三个电荷在同一竖直平面内。已知小球a的带电荷量为-3.00×10－8C，小球b、c的带电荷量均为+3.00×10－8C，O、M间的距离等于O、N间距离，静电力常量k=9.0×109N·m2/C2。下列说法正确的是（　　）
A．O处的电场强度方向垂直桌面向下
B．O处的电场强度大小为4.8×104N/C
C．若小球a沿竖直方向向上运动，则它的电势能将减小
D．若小球b、c分别移到M、N两点，则细线的拉力将减小
14．如图所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设ab所在的电场线为竖直方向，a.b间的高度差为h，则
A．ab所在电场线方向为竖直向上
B．带电粒子从a点运动到b点过程中电场力做功为零
C．a.b两点间的电势差Uab＝
D．b点场强大于a点场强
15．一电荷量为的带电粒子P，只在电场力作用下沿轴运动，运动过程中粒子的电势能与位置坐标的关系图像如图曲线所示，图中直线为曲线的切线，切点为（0.3，3）交轴于（0.6，0）。曲线过点（0.7，1），则下列说法正确的是（　　）
A．在处电场强度大小为103N/C
B．在处电场强度大小为109N/C
C．处的电势比x=0.7m处的电势高
D．与间电势差的绝对值是200V
16．如图所示，图中虚线是某一电场区域的等势面分布，各等势面上的电势值已在图中标出。实线为某一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，从P点运动到Q点。关于该段运动过程，下列描述正确的是（ ）
A．该粒子可能带正电 B．粒子作加速度增加的减速运动
C．该带电粒子的电势能不断增加 D．该电场可能是真空中一孤立点电荷产生的电场
三、解答题
17．如图所示，两个平行金属板AB中间为一匀强电场，AB相距10cm，CD为电场中的两点，CD=8cm，CD连线和电场方向成60°角，C点到A板的距离为2cm。把电量为正的点电荷1.6×10-19C从C点移到D点，电场力做功为3.2×10-17J，求：
（1）匀强电场的电场强度；
（2）AB两板间的电势差；
（3）若将A板接地，则质子在D点的电势能为多大。
参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
A、根据电场的性质，可知BC的中点的电势为，所以电场强度的方向沿∠C的角平分线指向C，故A错误；
B、根据可知电场强度的大小为，故B错误；
C、粒子在电场中做类平抛运动，粒子能击中图中的A点，则有，，，联立解得，故C正确；
D、粒子做类平抛运动，所以粒子速度不论多大在电场中都不能击中图中的B点，故D错误；
故选C．
【点睛】
关键是找出等势线，再根据等势线找到电场方向，根据U=Ed求解电场强度．
2．C
【解析】
【详解】
B .由于曲线运动的合力应该指向内侧，故从质子的运动轨迹可以看出，质子受到排斥力，故场源电荷是正电荷，故B错误；
A .点电荷电场中，离场源电荷较近的位置场强较大，因为两相邻等势面的间距相等，故Uab>Ubc，选项A错误；
C.由于场源电荷是正电荷，又由于沿着电场线电势降低，故结合正点电荷的电场线分布规律可以知道：φa＞φb＞φc，故C正确；
D.1点的场强小于2点，故质子经过1时的加速度一定小于经过2时的加速度，选项D错误；
故选C.
3．A
【解析】
【详解】
A．A、C在同一等势面上，无论什么电荷从A点移到C点电场力都不做功，A正确；
B．匀强电场的等势面是一些平行的等间距的直线，且沿着电场线，电势降低的最快，且每前进相同距离，电势降低相等的值，由场强与电势差关系公式
B错误；
C．A点的电势为12V，B点的电势为10V，沿电场线的方向电势降低，可知该电场的方向为水平向左，C错误；
D．根据
负电荷在电势高处的电势能小，则负电荷从A点移动至B点电势能增大，D错误。
故选A。
4．C
【解析】
【详解】
A．电场强度大的地方，电势不一定高，例如距离负点电荷越近的点，场强大，电势低，选项A错误；
B．电势为零处，电场强度不一定为零，例如等量异种电荷连线的中垂线上，选项B错误；
C．电势与电场强度没有必然的联系，电场强度大的地方，电势可以为零，选项C正确；
D．匀强电场中，根据可知，两点间的电势差与两点间沿电场线方向的距离成正比，选项D错误。
故选C。
5．C
【解析】
【分析】
根据电场力功与电势差的关系求解AB和BC各点之间的电势差，然后找到等势面确定场强的方向，根据E=U/d求解场强．
【详解】
将电子由A移动到B点，电场力做功2eV，则；同样：，若设C点的电势为0，则B点的电势为1V，A点的电势为-1V，则AB中点的电势与C点电势相同，可知场强方向沿BA方向斜向上，场强为，故选C.
6．B
【解析】
【详解】
A．电场中的电势分布与检验电荷电性无关，所以无法根据任一点的电势与该点到点电荷的距离r的关系图，来判断检验电荷的电性，故A错误；
B．场源电荷是点电荷，由图可知，a点离场源电荷近，所以a点电场强度大于b点电场强度，故B正确；
C．由图可知，cd两点间的电势差与bc两点间的电势差相等，所以将同一检验电荷由c移动到d所做的功等于由b到c所做的功，故C错误；
D．由图可知，ad间电势差等于这两点纵坐标之差，与两点间图像与横轴之间的面积无关，故D错误；
故选B。
7．B
【解析】
【详解】
A与B两点间的电势差为
故选B。
8．D
【解析】
【详解】
AB．首先，一条电场线根本不能判断疏密程度，所以场强大小没法判断．电场力也就没法判断，即AB均不对；
C．负电荷受力方向与电场线方向相反，所以负电荷从M到N电场力做负功，电势能增加．EPmD．沿电场线方向电势降低，，UMN＞0，D正确。
故选D。
9．D
【解析】
【详解】
A．由题意，根据几何关系可知A、F、C、D四点刚好是矩形的四个顶点，所以有
解得
故A错误；
B．D、F间的电势差为
故B错误；
C．由前面分析可知，BF是一条等势线，由于电场强度的方向垂直于等势线且由高电势指向低电势，所以该匀强电场的电场线垂直于B、F连线，且指向A，故C错误；
D．该匀强电场的场强大小为
故D正确。
故选D。
10．A
【解析】
【详解】
A．由公式
U＝Ed
得
A正确；
B．a、c在同一等势面上，所以，B错误；
C．将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；
D．根据公式，点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功为
D错误。
故选A。
11．D
【解析】
【分析】
根据点电荷的场强公式E=kQ/r2分析电场强度的大小关系；点电荷的等势面是一系列的同心圆；沿着电场线，电势逐渐降低；根据电势的变化，分析电势能的变化，从而判断电场力做功的正负；根据公式U=Ed分析A′A连线中点D处的电势．
【详解】
A′、B′、C′三点到O点的距离相等，根据点电荷的场强公式E=k Q/r2分析可知，A′、B′、C′三点的电场强度大小相等．但方向不同，故A错误．A、B、C的三个点到场源电荷的距离相等，在同一等势面，但其它点到场源电荷的距离与A、B、C三点到场源电荷的距离不等，故△ABC所在平面不是等势面，故B错误；将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，电势先升高后降低，电势能先增大后减小，则静电力对该试探电荷先做负功后做正功，故C错误．由于A′D间场强大于DA间场强，由U=Ed知，A′、D间的电势差大于DA间的电势差，则有：φA-φD＞φD-φA′，则φD＜（φA+φA′），由于正点电荷电场中电势大于零，因此φD＜φA+φA′，故D正确；故选D．
【点睛】
本题关键是明确点电荷的电场分布情况，注意根据对称性分析，同时要注意场强是矢量，电势是标量．
12．ABD
【解析】
【详解】
B．由题目可得φa＝10V，φb＝10V，φc＝19.6V，则可知ab与Oc交点的电势满足
解得
φO＝0.4V
B项正确；
C．从a点到c点移动电子，电场力做功
W＝（-e）Uac＝9.6eV
电场力做正功，电势能减小，得电子在a点的电势能比在c点的高9.6eV，C项错误；
D．从b点到c点移动电子，电场力做功
W'＝-eUbc＝9.6eV
D项正确；
A．过c点作ab垂线交ab于d，则由几何关系有
有
A项正确；
故选ABD。
13．BD
【解析】
【详解】
AB．由场强的叠加原理可知，O处的电场强度为a电荷在该处形成的场强，小球a带负电，场强方向垂直桌面向上，大小为
故A错误，B正确；
C．若小球a沿竖直方向向上运动，电场力做负功，它的电势能将增加，故C错误；
D．若小球b、c分别移到M、N两点，b、c对a的库仑力变小，且两力夹角变大，两库仑力的合力变小，则细线的拉力将减小，故D正确。
故选BD。
14．ACD
【解析】
【详解】
试题分析：带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而动能没有增大，说明电场力做负功，故ab所在电场线方向为竖直向上，选项A正确、B错误；根据动能定理有mgh-qU=0，解得A.b两点间电势差的绝对值为U=mgh/q，因为a点电势低于b点电势，故Uab=-mgh/q，选项C正确；带电粒子由a到b运动过程中，在重力和电场力共同作用下，先加速运动后减速运动，因为重力为恒力，所以电场力为变力，且电场力越来越大，由此可见b点场强大于a点场强，选项D正确．
考点：带电粒子在电场中的运动
【名师点睛】解决带电粒子在复合场中的运动，要正确进行受力分析，确定其运动状态，然后依据相关规律求解．解答本题要掌握：根据质点的运动情况：先加速运动后减速运动，正确判断其受力情况：电场力逐渐增大，弄清在A.b两点电场力和重力大小关系．
15．AD
【解析】
【详解】
AB．根据
可知图象切线的斜率表示电场力，在处的电场力大小为
则可求得处的电场强度大小为
故A正确，B错误；
CD．根据
可知在处的电势为
在处的电势为
所以处的电势高于处的电势，与间电势差的绝对值是
故D正确，C错误。
故选AD。
16．BC
【解析】
【详解】
A．由运动轨迹可知，粒子受力指向曲线内侧，方向为右下角，而电场线和等势面垂直且沿电场线方向电势降低，所以电场线方向为顺时针方向，从P点到Q点电场方向为左上到右上，因此该粒子带负电，A错误；
B．从P点到Q点，等势面越来越密集，电场强度越来越大，故粒子的加速度越来越大，B正确；
C．粒子带负电，从P点到Q点，电势逐渐降低，电势能逐渐增加，C正确；
D．孤立的点电荷周围的等势面为圆形，而不是直线，D错误。
故选BC。
17．（1）；（2）500V；（3）
【解析】
【详解】
（1）由题可知，C→D电场力做正功，有
W=qELCDcos60°
代入数据解得
（2）质子从C点移到D点电场力做正功，所以受到的电场力方向向右，则场强方向为A→B，A、B间电势差为
UAB＝EdAB＝5×103×0.1 V＝500V
（3）质子从A到C电场力做的功
W′＝qEdAC＝1.6×10 19×5×103×0.02J＝1.6×10 17J
质子从A到D电场力做功
W总＝W+W′＝4.8×10 17J
将A板接地，则质子在A板的电势能为0；电场力做正功，质子的电势能减小，所以质子在D点的电势能为
EpD＝ 4.8×10 17J

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