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“弹簧问题”专题研析
重庆市潼南塘坝中学校 张大洪 402678
弹簧问题是各地高考命题中出现频率很高、形式不断更新的一类问题，由于该类问题涉及到运动和力的关系、功和能、冲量和动量等重要概念定律，还涉及到变力与动态过程的分析、弹簧本身的特点及其与连接物构成的系统的力学和运动学特点等；故这类问题的分析与解答对学生的综合素质要求很高，因而高考中常将其作为选拔优秀学生的题目出现。下面我们就对该问题从以下几类来分析。
一、弹簧的平衡类问题：抓住物体的受力情况及弹力，应用平衡条件，并作好示意图注意弹簧长度的几何关系求解
【例1】：图1质量为的物体A连接在固定于水平地面上的竖直轻弹簧B上，现用细线跨过定滑轮将物体A与另一轻弹簧C连接；当C处在水平面位置且右端位于点时它没有发生形变。已知弹簧B和C的劲度分别为，不计定滑轮、细线的质量及摩擦，将弹簧C的右端沿水平方向从点缓慢拉到点时弹簧B刚好没有形变；求⑴、间距离？⑵当弹簧B上弹力的大小为时，端移动的距离多少？
分析：⑴开始时A位于弹簧B上静止且弹簧C恰处于原长，因而弹簧B将被压缩的长度 为：，设此时B、C二弹簧的长度分别为；当B弹簧刚无形变时弹簧C对物体的弹力恰等于物体的重力而使弹簧C伸长为：，此时弹簧B、C的长度分别为、；因而利用长度的几何关系可得：。
⑵当弹簧B上的弹力大小为时：①若弹簧B被压缩，则B的压缩量为，此时弹簧B的长度为；由物体A的平衡得此时弹簧C上的弹力也为即弹簧C被伸长，故弹簧C的长度为；所以点将向右移动的距离为。
②若弹簧B被拉长使其上弹力大小为，则B将伸长；由物体A平衡得此时弹簧C上的弹力为，故C伸长为；同前面得点将向右移动的距离为。
二、弹簧的瞬态类问题：抓住弹簧自身的三个特点：1、弹簧的形变需要时间；2、弹簧形变时弹力是变力且满足胡克定律；3、弹簧上的弹力是由连接于弹簧两端的物体与弹簧间的相互作用而使弹簧发生形变产生的，因而当弹簧两端均连接有物体时其中的弹力在瞬间状态发生前、后将保持不变(即为渐变弹力)；当将形变的弹簧从中剪断瞬间则两段弹簧中的弹力必瞬间突变成0；同时在分析弹簧的瞬态问题时还必须注意瞬态前、后物体的受力情况。
【例2】：图2中质量分别为的三个小球A、B、C通过二轻弹簧相连，并用不可伸长的轻细线OA竖直悬挂而静止；⑴当细线OA被剪断瞬间三小球的加速度大小、方向如何？⑵当只将A、B间的弹簧剪断瞬间三小的加速度大小、方向如何？
分析：三小球处于图2示静止时细线OA上的拉力大小为，A、B间的弹簧上的弹力大小为，B、C间的弹簧上的弹力大小为
⑴当细线OA被剪断瞬间小球A所受到的细线OA的拉力突然变为0，但小球A所受到的A、B间弹簧上的弹力不变即且小球A的重力不变，故球A受到的合力的大小即为且方向向下，所以此时小球A的加速度的大小为向下；此时二弹簧上的弹力均不变故B、C二求所受的合力均力0即。
⑵当只将A、B间的弹簧剪断瞬间则A、B间连接在小球A及小球B上的一段弹簧上的弹力必突变为0，因而此时小球A只受到线OA的拉力及自身重力作用且因细线OA无弹性、不可伸长故OA上的拉力必随连接在小球A上的一段弹簧上的弹力的突变而作相应的突变，故小球A的加速度必为0；剪断后瞬间小球B只受B、C间弹簧的弹力（不变）及自身重力，故球B受到的合力大小为方向向下，因而小球B的加速度的大小为向下；此时小球C的受力情况没变故其加速度为0。
三、弹簧相关的运动和力关系问题：正确分析物体的受力情况，注意弹簧的形变与物体位移的关系，把握动力学与运动学的极值状态，运用牛顿定律与运动学求解。
【例3】：图3托盘A托着质量为的物体B，B挂在劲度为的轻弹簧下端，弹簧上端悬于O点；开始时弹簧竖直且为原长，今让托盘A竖直向下做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度为；求经过多长时间A、 B开始分离？
分析：物体B向下作匀加速直线运动中弹簧上的弹力变大，托盘A对物体B的支持力将变小，当支持力大小变为0时A、B恰好分离；故A、B刚分离时物体B的受力如图3示重力和向上的弹力，二力之合产生向下的加速度；设此时弹簧伸长为则必有，再由物体B此过程作匀加速直线运动有，二式共得到时间为。
四：弹簧与简谐振动的对称性相关问题：正确分析物体的受力，抓住简谐振动的回复力、相对于平衡位置的位移、加速度、速度的对称性解题。
【例4】：图4用质量不计的弹簧把质量为的木板A与质量为的木板B连接组成图示装置，B板置于水平地面上；现用一个竖直向下的力F缓慢下压木板A，待A静止后撤消F则木板B恰好被提离地面；由此可知力F的大小是：
A： B： C： D：
分析：当A上没加压力时A静止于弹簧上端，此时弹簧上的弹力大小为，故弹簧被压缩了；现用力F缓慢下压弹簧待A静止后撤去F，则物体A必以初位置O为平衡位置作简谐振动；当物体A运动到最高点时弹簧上的弹力恰好将物体B提离地面，说明此时弹簧上的弹力 大小必为B的重力，故此时弹簧的伸长量；由此可见物体A作简谐振动的振幅为，那么在F作用下A静止在最低点处时弹簧的压缩量必为，则此时弹力的大小必为，故A在最下端平衡时压力F的大小为得“B”项正确。
【例5】：图5示轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，其另一端静止于B点；在B点正上方A点处有一质量为的物体从静止下落，物体落在弹簧上压缩弹簧到达C点时速度恰好为0；如果弹簧的形变始终未超出弹性限度，不计空气阻力则：
A：物体在B点时动能最大，
B：物体从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物体的加速度的最大值必大于g，
C：物体从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物体作简谐振动，
D：如果将物体从B点由静止释放，则物体仍能到达C点。
分析：当物体从B点由静止释放时物体必在以距离点B为处为平衡位置作简谐振动，故振幅必为，此时物体运动到最下端时弹簧的压缩量为，且此过程中物体在点B的重力势能全转化为物体在最低点时弹簧的弹性势能；但当物体从A点落下时，其到点B时已有动能，故物体经过点B的能量较将物体从点B释放时的能量要大，而物体运动到最低点时仍将点B处的能量转化成最低点时弹簧的弹性势，故物体到达最低点时弹簧的压缩量必大于，因而物体在最低点处的合力必大于物体的重力且合力向上。
对“A”项：物体作自由落体运动到B点后由于出现弹力故先作加速度减小的加速运动到加速度为0时达到最大速度，再作加速度增大的减速运动到速度为0，因而物体的最大速度不是过点B时即“A”不对；对“B”项：由前面分析可见物体到达最低点时的加速度必为最大且大于重力加速度g，故“B”正确；对“C”项：物体从A到B的过程中只受恒力作用，故必不作简谐振动即“C”不对；对“D”项：由前面分析知当物体从点B由静止释放时物体一定不能到达C点故“C”不对。
五、弹簧相关的动量守恒与能量守恒问题：在以弹簧的弹力为内力的系统相互作用中，抓住系统动量守恒，能量守恒来处理相关问题，特别注意分析系统间的作用过程与变化及临界条件、极值条件。
【例6】：图6示光滑水平面上放有A、B、C三个物体，其质量分别为、，用一轻弹簧连接物体A、B并用外力缓慢压缩弹簧使三物体靠近，此过程中外力做功为；然后将系统完全释放求：
①释放后物体B对C一共做了多少功？②弹簧第二次被压缩时弹簧具有的最大弹性势能为多少？③求物体B具有的最大动能及此时的弹性势能的大小？
分析：释放后B、C作为一个物体与A通过弹簧发生作用，使物体A及B、C均作加速运动，当弹簧刚恢复原长时物体B、C分离；而后物体C因离开B而将作匀速直线运动，而物体A、B连接在弹簧两端将与弹簧发生作用；设弹簧刚恢复原长时A的速度为，B、C的速度为则：
①由系统动量守恒与机械能守恒有解之得，故物体B对C所做的功全用来增加C的动能即；
②在C分离后的B、A作用中，当A、B有共同速度时弹簧被压缩为最短使弹簧的弹性势能达最大，故由可得；再由系统机械能守恒有得。
③在A、B通过弹簧发生相互作用中要使B具有最大动能，则由系统动量守恒知A、B必向相反方向运动且均具有最大速度，故A也必均具有最大动能，那么说明此时弹簧的弹性势能；设此时A、B的速度大小分别为则有即解之有，故物体B的最大动能为。
六、弹簧相关的功、能关系问题：由于该类问题难度很大、能力要求很高，故学生在解答该问题时应当抓住弹力为变力，认真分析物体的受力情况及运动过程，注意运动、力的极值状态与临界状态和相应条件；用动能定理或能量的转化与守恒定律求弹力在某过程所做的功，或者用弹性势能求某状态的弹性势能及某过程中弹性势能的变化，或者用此过程中的平均弹力当作恒力作功来求弹力做的功；同时还要特别注意弹簧对物体系统的作用效果是否相同来找寻物理过程及物理问题间的相互联系。
【例7】：图7示倾角为θ的斜面底端固定一档板M，质量为的滑块A静止于斜面上的P点并通过一轻弹簧与挡板M相连，开始时弹簧处于自然伸长状态，另一个与A相同的滑块B以速度沿斜面匀速下滑与A相撞后立刻一起向下运动，但A、B不粘连。它们到达一个最低点后又反向运动，滑块B向上运动最后停在与P相距为L的Q点；求：①滑块A、B靠在一起的运动过程中通过的路程及A、B分离时的速度？②若滑块A仍静放于P点，让相同材料制成的质量为的滑块C从Q点处以速度向下运动，经历同样的过程最后木块C停在斜面上的D点，求P、D的距离L/=？
分析：①由于滑块B沿斜面匀速下滑则B受重力、支持力及滑动摩擦力之合为0，即有故动摩擦因数为；当滑块B与A碰撞后一起运动的过程中A、B系统满足动量守恒，设碰撞后的共同速度为则有即；然后A、B一齐下滑并压缩弹簧，此过程中A、B系统受重力、支持力、滑动摩擦力及弹力如图示，由于故四力之合即为弹力，故A、B系将向下作加速度增大的减速运动到最低点时速度为0；然后再向上运动中由于滑动摩擦力方向沿斜面向下，故A、B系将向上作加速度减小的加速运动，到重力、支持力、滑动摩擦力f及弹力F之合为0即时系统达到向上运动的最大速度；然后系统继续向上作加速度增大的减速运动直到A、B间的相互作用力为0时A、B恰好分离，因而A、B恰好分离时二物的受力及运动情况必相同即均只受重力、斜面支持力及摩擦力，故A、B恰好分离时弹簧必处于自然长度即恰在回到P点时二物分离。
设A、B恰分离时二物体的速度为，且从二物碰后到分离经过的路程为S，对该过程用能量转化与守恒有（因为系统的重力势能及弹性势能没有变）；由于二物在P点分离后滑块B向上运动最后停在与P相距为L的Q点，对该过程中有；由以上二式现将代入得、。
附：法二：A、B系统从碰后到弹簧被压缩到最短的过程中等效于只有弹力做功，故系统最初的动全部转化成了最低点的弹性势能即，设此时弹簧被压缩了故有，再系统从最低点运动到P的过程中由能量转化与守恒有，由⑵⑶⑷及可得上述结果。
②若将滑块C从Q点以下滑，则C必匀速下滑到点P并与静止滑块A碰撞后一齐运动，设其共同速度为故有：有，A、C用在合力为弹力F作用下向下作加速度增大的减速运动到速度为0后又反向向上作加速度减小的加速度运动到最大速度再作加速度增大的减速运动到P点而分离；此过程中A、C系统的初动能为与第一次A、B系统碰撞后的初动能相同，因而两次中系统的初动能全部转化成最低点的弹性势能必相同，故两次中弹簧被压缩的长度相同即两次中系统从P点开始到回到P点所经过的路程必相同均为。
设A、C回到P点时的速度为，对A、C从碰后开始到回到P过程由能量转化与守恒定律有：，再对C从P点分离后的运动，由⑸⑹及可得。

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