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《三角形的高、中线与角平分线》拔高练习
一、选择题。
1．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（　　）
A．线段AD B．线段AE C．线段 AF D．线段MN
2．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
4．三角形三条高的交点一定在（　　）
A．三角形内部
B．三角形外部
C．三角形内部或外部
D．三角形内部、外部或顶点
5．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题。
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝　 　．
7．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是　 　．
8．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝　 　．
9．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于　 　．
10．如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是　 　．
三、解答题。
11．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．
12．我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．
规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．
如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．
（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？
请写出一组：　 　．
（2）点G是△　 　的垂心．
（3）点A是△　 　的垂心．
13．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
15．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
《三角形的高、中线与角平分线》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（　　）
A．线段AD B．线段AE C．线段 AF D．线段MN
【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，逐一判断各选项即可．
【解答】解：由图可得，F是BC的中点，
根据三角形中线的定义，可知线段AF是△ABC的中线，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
2．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高，所以画法正确的是D．
故选：D．
【点评】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．
3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【分析】直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．
【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．
4．三角形三条高的交点一定在（　　）
A．三角形内部
B．三角形外部
C．三角形内部或外部
D．三角形内部、外部或顶点
【分析】根据三角形的高线的定义分情况讨论高线的交点，即可得解．
【解答】解：锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，
直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，
钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高线，熟记三种三角形的高线的交点的位置是解题的关键．
5．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
二、填空题。
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝　45°　．
【分析】在三角形中，三内角之和等于180°，锐角三角形三个高交于一点．
【解答】解：在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
故答案为∠CHD＝45°．
【点评】考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．
7．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是　直角三角形　．
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【解答】解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
8．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝　2　．
【分析】作DH⊥AC于H，延长AD到E使DE＝AD＝7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，先证明△ADB≌△EDC得到EC＝AB＝10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF＝EF＝7，则根据勾股定理可计算出CF＝，从而得到AC＝6，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH＝CH＝6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．
【解答】解：作DH⊥AC于H，延长AD到E使DE＝AD＝7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中
，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴EC＝AB＝10，
在RtAEF中，∵∠DAC＝45°，AE＝14，
∴AF＝EF＝AE＝7，
在Rt△CEF中，CF＝＝，
∴AC＝AF﹣CF＝6，
在Rt△ACH中，∵∠HAC＝45°，
∴AH＝CH＝AC＝6，
∴DH＝AD﹣AH＝1，
在Rt△CDH中，CD＝＝，
∴BC＝2CD＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解决此题的关键．
9．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于　5+3或5+5　．
【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝；②Rt△ABC中，AC＝BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+3或5+5．
【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝，
设BC＝a，AC＝b，则
，
解得a+b＝5，或a+b＝﹣5（舍去），
∴△AB长度周长为5+5；
如图所示，Rt△ABC中，AC＝BC，
设BC＝a，AC＝b，则
，
解得，
∴△AB长度周长为3+5；
综上所述，该三角形的周长为5+3或5+5．
故答案为：5+3或5+5．
【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．
10．如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是　2　．
【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差＝AB﹣BC，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），
＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，
＝AB﹣BC，
∵AB＝8，BC＝6，
∴△ABD和△BCD的周长差＝8﹣6＝2．
答：△ABD和△BCD的周长差为2．
故答案为：2
【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD和△BCD的周长差＝AB﹣BC是解题的关键．
三、解答题。
11．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．
【分析】依据DE∥AC，DF∥AB，即可得到∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，再根据∠ADE＝∠ADF，即可得出∠DAF＝∠EAD，进而得到AD是∠BAC的角平分线．
【解答】解：AD是△ABC的角平分线．
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，
又∵∠ADE＝∠ADF，
∴∠DAF＝∠EAD，
又∵∠DAF+∠EAD＝∠BAC，
∴AD是∠BAC的角平分线．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
12．我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．
规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．
如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．
（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？
请写出一组：　∠ABE＝∠ACF或∠BAD＝∠BCF或∠CAD＝∠CBE　．
（2）点G是△　ABC　的垂心．
（3）点A是△　BCG　的垂心．
【分析】（1）依据BE⊥AC，CF⊥AB，可得∠ABE+∠BAE＝∠ACF+∠CAF＝90°，即可得到∠ABE＝∠ACF；
（2）三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心，据此进行判断；
（3）三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心，据此进行判断．
【解答】解：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE+∠BAE＝∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF，
同理可得，∠BAD＝∠BCF，∠CAD＝∠CBE，
故答案为：∠ABE＝∠ACF或∠BAD＝∠BCF或∠CAD＝∠CBE；
（2）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G，
∴点G是△ABC的垂心，
故答案为：△ABC；
（3）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BF，CE交于点A，
∴点A是△BCG的垂心，
故答案为：△BCG．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线高线以及中线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
13．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°，
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．
【点评】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝11cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝11cm，
∴AC＝8cm．即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
15．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．

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