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苏教版（2019）高中数学一轮复习第11讲《三角恒等变换》（解析版）
【知识梳理】
三角恒等变换 正弦 和差公式 倍角公式 降幂公式
余弦
正切
辅助角 公式
二级结论 半角公式 sin＝ cos＝ tan＝＝＝.
万能公式
和差化 积公式
积化和 差公式
【真题再现】
1、（2022上海卷）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为_________．
【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得f（x）＝cos2x+1，从而根据周期公式即可求值．
【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x+1＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x
＝2cos2x＝cos2x+1，T＝＝π．故答案为：π．
2、若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】由已知得：,
即：，
即：所以,故选：C
3、若，则__________，_________．
【答案】 ①. ②.
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．故答案为：；．
三、【考点精讲】
考点1 两角和与差公式的应用
【例1】1、（2020·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，则：，，
从而有：，即.故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
2、（2021·全国高三其他模拟）已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角函数的定义确定出终边经过点的的三角函数值，然后根据位置关系判断出的终边经过，结合两角和的正、余公式求解出的坐标.
【详解】由的坐标可知在单位圆上，设的终边经过点，所以，
又因为由绕原点逆时针旋转得到，所以的终边经过点且也在单位圆上，
所以，
又因为，
所以，故选：D.
3、（2021·安徽高三其他模拟）已知，为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.
【详解】因为，为锐角，所以.所以，，
又，则.故选：C.
4、（2021·贵溪市实验中学高二期末）的值是_______.
【答案】
【解析】由进行转化，可得答案.
【详解】
解：由
故答案为：.
【变式训练】
1、（2019·全国高考真题（文））tan255°=（ ）
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
=
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
2、（2021·山东聊城高三期中）角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由角的终边经过点，得，
因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，
所以
，故选：.
3、（2021·河南鹤壁高考模拟）平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．
【答案】
【解析】由题意知：，，由，得，
，故答案为：.
4、（2021·湖南衡阳市八中高三模拟）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正切的二倍角公式求得，再由可求.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
考点2 倍（半）角公式的应用
【例2】1、（2021·全国高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】，
，，，解得，
，.故选：A.
2、（2018·全国高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】由三点共线，从而得到，
因为，解得，即，
所以，故选B.
【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
【变式训练】
1、（2021·全国高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，.故选：D.
2、(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】，
，当时，，故函数的最小值为．
3、（2019·全国高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
考点3 角的拼凑
【例3】1、（2021·全国高三月考）已知，则（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选:.C
2、（2021·安徽省泗县第一中学）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵.∴，
∴，故选：C.
3、（2021·安徽合肥市·合肥一中）已知、为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】因为，，则，
所以，，.
当时，
；当时，综上所述，的值为或.故选：D.
【变式训练】
1、（2021·四川眉山市）计算______.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
2、（2021·千阳县中学高三其他模拟）已知，则__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
，故.故答案为：.
3、（2021·陕西西安市·交大附中高三）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，
则，.故选：A苏教版（2019）高中数学一轮复习第11讲《三角恒等变换》（原卷版）
【知识梳理】
三角恒等变换 正弦 和差公式 倍角公式 降幂公式
余弦
正切
辅助角 公式
二级结论 半角公式 sin＝ cos＝ tan＝＝＝.
万能公式
和差化 积公式
积化和 差公式
二、【真题再现】
1、（2022上海卷）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为_________．
2、若，则（ ）
A. B.
C. D.
3、若，则__________，_________．
三、【考点精讲】
考点1 两角和与差公式的应用
【例1】1、（2020·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三其他模拟）已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3、 （2021·安徽高三其他模拟）已知，为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·贵溪市实验中学高二期末）的值是_______.
【变式训练】
1、（2019·全国高考真题（文））tan255°=（ ）
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
2、（2021·山东聊城高三期中）角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·河南鹤壁高考模拟）平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．
4、（2021·湖南衡阳市八中高三模拟）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
考点2 倍（半）角公式的应用
【例2】1、（2021·全国高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
2、（2018·全国高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2021·全国高考真题）（ ）
A． B． C． D．
2、(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．
3、（2019·全国高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B． C． D．
考点3 角的拼凑
【例3】1、（2021·全国高三月考）已知，则（ ）
B． C． D．
2、（2021·安徽省泗县第一中学）若，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·安徽合肥市·合肥一中）已知、为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练】
1、（2021·四川眉山市）计算______.
2、（2021·千阳县中学高三其他模拟）已知，则__________．
3、（2021·陕西西安市·交大附中高三）已知，则（ ）
A． B． C． D．

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