资源简介 苏教版（2019）高中数学一轮复习第12讲《解三角形》(原卷版）【知识梳理】解三角形 正 弦 定 理 定理 （为外接圆半径） 射影定理：变形类型 两边和一边对角、两角与一边余 弦 定 理 定理变形类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边面 积 公 式 基本 公式导出 公式 （外接圆半径）；（内切圆半径）实 际 应 用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中常用术语 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角方向角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）方位角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角二 级 结 论二、【真题再现】1、（2022浙江卷）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．2、（2022浙江卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值； （2）若，求的面积．3、（2022北京卷）在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．4、（2022全国乙卷文）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：5、（2022全国乙卷理）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．6、（2022新高考2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积； （2）若，求b．7、（2022上海卷）在如图所示的五边形中，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称；（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；（2）P在何位置，求五边形面积S的最大值．三、【考点精讲】考点1 正余弦定理的选择【例1】（1）（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）A．1 B． C． D．3（2）（2021·浙江）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）A．1 B． C． D．2【变式训练】1、（2021·甘肃高三二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）A． B． C． D．2．（多选）（2021·全国）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）A． B．C． D．考点2 边角互换问题【例2】（1）（2021·全国高三）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）B． C． D．（2）（2021·全国）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（ ）A． B． C． D．【变式训练】1、（2021·宁夏高三）在中，若，则（ ）A． B． C．或 D．或2、（2021·全国高三月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则___________.3．（2021·江西九江市）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_________．考点3 三角形面积问题【例3】（1）（2021·江西高三）中，，，，则的面积为（ ）B． C．或 D．或（2）（2021·兰州市第二十七中学）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）A． B． C． D．（3）（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（ ）A． B． C． D．【变式训练】1、（2021·全国高三）内角的对边分别为，若，且，则该三角形的面积为（ ）A．1 B．4 C．3 D．2、（2021·陕西宝鸡市）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）A． B． C． D．3、（2021·陕西西安市）已知的内角的对边分别为且，的面积为则（ ）A． B．5 C．8 D．考点4 判断三角形的形状【例4】1、（2021·福建）设的三个内角成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形2、（2021·全国高三）在中，若满足，则该三角形的形状为（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【变式训练】1、（2021·甘谷县第四中学）在中，若，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2、（2021·安徽高三月考）的内角A，B，C的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形3、（2021·全国高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（ ）A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形考点5 几何问题【例5】1、（2021·江苏苏州市·高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，，．（1）若，求三角形ABD的面积；（2）若求的大小．2、（2021·安徽高三一模）如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（ ）A．6 B．9 C．7 D．8【变式训练】1、（2021·浙江温州市·高三三模）如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，，若点D在线段上，且，则__________．2、（2021·上海市七宝中学）如图，在四边形中，.求：（1）的长度；（2）三角形的面积.苏教版（2019）高中数学一轮复习第12讲《解三角形》(解析版）【知识梳理】解三角形 正 弦 定 理 定理 （为外接圆半径） 射影定理：变形类型 两边和一边对角、两角与一边余 弦 定 理 定理变形类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边面 积 公 式 基本 公式导出 公式 （外接圆半径）；（内切圆半径）实 际 应 用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中常用术语 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角方向角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）方位角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角二 级 结 论二、【真题再现】1、（2022浙江卷）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．【答案】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．故答案为：.2、（2022浙江卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值； （2）若，求的面积．【答案】（1）； （2）．【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．【详解】（1）由于， ，则．因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．3、（2022北京卷）在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．【答案】（1） （2）【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【详解】（1）因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.4、（2022全国乙卷文）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：【答案】（1）； （2）证明见解析．【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．5、（2022全国乙卷理）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．【答案】（1）见解析 （2）14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为.6、（2022新高考2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积； （2）若，求b．【答案】（1） （2）【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.7、（2022上海卷）在如图所示的五边形中，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称；（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；（2）P在何位置，求五边形面积S的最大值．【分析】（1）在△OBC中，直接利用余弦定理求出OP，再结合正弦定理求解；（2）利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（﹣）＝196，所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得＝，所以＝，解得sin∠POB＝，所以∠POB的大小为arcsin；（2）如图，设CD与MO相交于点N，由题意知五边形CDQMP关于MN对称，所以S五边形CDQMP＝2S四边形CPMN＝2（S四边形OCPM﹣S△ONC），设∠COM＝θ，结合（1）可知cosθ＝，所以sinθ＝，且θ为锐角，因为OC＝OP＝OM＝14，所以CM2＝OC2+OM2﹣2OC OM cosθ＝，故，显然，△CMP的底边CM为定值，则P在劣弧CM中点位置时，CM边上的高最大，此时OP⊥CM，故S四边形OCPM＝＝＝，而S△ONC＝＝＝，故S的最大值为＝，同理，当P在劣弧DM中点时，S也取得相同的最大值，故P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置时，五边形CDQMP的面积最大，且为．【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．三、【考点精讲】考点1 正余弦定理的选择【例1】（1）（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）A．1 B． C． D．3（2）（2021·浙江）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）A．1 B． C． D．2【答案】（1）D（2）D【解析】（1）设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.（2）由已知得，根据正弦定理： ，故.故选：D.【变式训练】1、（2021·甘肃高三二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理：得又因为，所以令所以故选：D.2．（多选）（2021·全国）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由在中，角，，所对的边分别为，，，知：在选项中，由余弦定理得：，故正确；在选项中，由正弦定理得：，，故正确；在选项中，，由余弦定理得：，整理，得，故正确；在选项中，由余弦定理得：，故错误. 故选：.考点2 边角互换问题【例2】（1）（2021·全国高三）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）B． C． D．（2）（2021·全国）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则角（ ）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1） 因为，所以由正弦定理可得，因为为角形内角，所以，所以，即，可得，因为，所以．故选：A（2）因为，由正弦定理可得，，所以，，由余弦定理可得，，因此，.故选：B.【变式训练】1、（2021·宁夏高三）在中，若，则（ ）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．故选A．2、（2021·全国高三月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则___________.【答案】【解析】因为，由正弦定理得，又因为，所以，又，即，所以.由余弦定理得和，得，即，解得或(舍)，故答案为：.3．（2021·江西九江市）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_________．【答案】【解析】因为，所以由正弦定理得，即，所以，所以，是三角形内角，所以，所以，，，又，所以，即．故答案为：．考点3 三角形面积问题【例3】（1）（2021·江西高三）中，，，，则的面积为（ ）B． C．或 D．或（2）（2021·兰州市第二十七中学）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）A． B． C． D．（3）（多选）（2021·全国高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（ ）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）A（3）ACD【解析】（1）因为，故，故为锐角，所以，故，解得或，故或，故选：C.（2）∴∴，∴∴.故选：A.（3），即，所以，，利用正弦定理得：，将代入可得：，因为，所以或 ，因为，且 ，所以，所以，角不可能是,, 故选：ACD【变式训练】1、（2021·全国高三）内角的对边分别为，若，且，则该三角形的面积为（ ）A．1 B．4 C．3 D．【答案】C【解析】因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以，所以的面积为，故选：C2、（2021·陕西宝鸡市）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，成等差数列，，平方得，又的面积为，且，故由，得，，由余弦定理得，解得，又为边长，，故选.3、（2021·陕西西安市）已知的内角的对边分别为且，的面积为则（ ）A． B．5 C．8 D．【答案】B【解析】由正弦定理，可将化为，因为为三角形内角，所以，因此，所以，解得，又，所以；又的面积为，所以，则；又，所以由余弦定理可得：，所以.故选：B.考点4 判断三角形的形状【例4】1、（2021·福建）设的三个内角成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【解析】因为的三个内角成等差数列，所以 ,又因为、、成等比数列，所以所以即 又因为 所以故选B2、（2021·全国高三）在中，若满足，则该三角形的形状为（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】由三角函数的诱导公式，可得，又由正弦定理得，即，可得，因为，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【变式训练】1、（2021·甘谷县第四中学）在中，若，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形.故选：D.2、（2021·安徽高三月考）的内角A，B，C的对边分别为，已知且满足，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】，解得，，则，∵，∴由正弦定理得，，，，因为，∴，∴，∴，，是直角三角形、故选：B．3、（2021·全国高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（ ）A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形【答案】ABC【解析】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：.考点5 几何问题【例5】1、（2021·江苏苏州市·高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，，．（1）若，求三角形ABD的面积；（2）若求的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由，可得，在中，由正弦定理知，可得．所以（2）由，在中，由正弦定理知，又，所以sin∠ABD=cos∠CBD从而有两式相除可得又由因此有，由可得（延长BA，CD交与点E，在三角形EAD中计算同样给分）2、（2021·安徽高三一模）如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（ ）A．6 B．9 C．7 D．8【答案】D【解析】由正弦定理得，由，可得，，所以四点共圆，，由余弦定理．故选：D.【变式训练】1、（2021·浙江温州市·高三三模）如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，，若点D在线段上，且，则__________．【答案】【解析】∵∴且B为钝角，根据正弦定理得到：∴即又∵B为钝角，所以为锐角且∴∴∴.故答案为：.2、（2021·上海市七宝中学）如图，在四边形中，.求：（1）的长度；（2）三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理可得：，则；（2）在中，，，由正弦定理可得，所以，则. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 苏教版（2019）高中数学一轮复习第12讲《解三角形》（原卷版）.docx 苏教版（2019）高中数学一轮复习第12讲《解三角形》（解析版）.docx
资源列表