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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题13 导数与函数的极值、最值
1．（2021·新高考Ⅰ）函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为　 　
2．（2022·浙江真题）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【常用结论】
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
考点一　利用导数求函数的极值问题
1．(2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
2．(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于(　　)
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6
考点二　利用导数求函数最值
【方法总结】(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
3．已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
一、单选题
1．（2022·平凉模拟）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022高三上·汕头期末）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．
3．（2021高三上·邢台月考）若函数 在区间 有最小值，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·天津市模拟）已知函数的图象如图所示，则等于（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2022·辽阳二模）设函数 ，则下列不是函数 极大值点的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·莆田三模）已知函数的最小值是4．则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2022·宁德模拟）若对恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C．-1 D．0
9．（2022·兴化模拟）已知函数，，若函数在上的最小值为0，则实数的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
10．（2022·河南二模）已知函数，若，且，则的最大值为（　　）
A．0 B．
C．1 D．e
二、填空题
11．（2022·河西模拟）若函数在处取得极值，则　 　．
12．（2022·崇左模拟）函数的极小值是　 　．
13．（2022·延庆模拟）已知函数在区间上存在最小值，则实数　 　．
14．（2022·湖北模拟）已知函数在上的最小值为1，则的值为　 　.
15．（2022·怀化模拟）已知函数若存在实数，满足，则的最大值是　 　．
三、解答题
16．（2021高三上·玉林开学考）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．
（Ⅰ）求实数a，m的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．
17．（2021高三上·汉中月考）已知函数 ， .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间和极值.
18．（2022·河南模拟）已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．求实数a的取值范围.
19．（2022·四川模拟）已知函数．
（1）若时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
（2）若函数在处取极小值，求a的取值范围．
20．（2022·浙江模拟）已知函数
（1）当时，求极值.
（2）设为的极值点，证明：.<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题13 导数与函数的极值、最值
1．（2021·新高考Ⅰ）函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为　 　
【答案】1
【解析】解：①当时，f（x）=2x-1-2lnx，则，
当x>1时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f（x）min=f（1）=1；
②当时，f（x）=1-2x-2lnx，则，
此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=，
综上，f（x）min=1
故答案为：1
2．（2022·浙江真题）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【答案】解：（Ⅰ）
故 的减区间为 ，增区间为 .
（Ⅱ）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 即 ，
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，
记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
故 即 ，
故原不等式得证.
【解析】（Ⅰ）求出导函数，利用导数的性质即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）（i） 因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，故有3个不同的根，整理为 ，令 ，由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，利用导数求得极值， 故 且 ， 且 ， 设 利用导数性质能证明 ，所以 .
（ⅱ）有三个不同的零点，设 ， ，则转化为 有三个不同的根， 在三个不同的零点，且，推导出要证明结论，只需证明 ，由此能证明 ．
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【常用结论】
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
考点一　利用导数求函数的极值问题
1．(2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
【答案】D
【解析】由题图知，当x∈(－∞，－3)时，
y>0，x－1<0 f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0 f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．
2．(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于(　　)
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6
【答案】A
【解析】由题意知，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f(x)在x＝1处取得极值10，
可得
解得或
检验知，当a＝－3，b＝3时，
可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；
当a＝4，b＝－11时，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
当x<－或x>1时，
f′(x)>0，f(x)单调递增；
当－当x＝1时，函数f(x)取得极小值，符合题意．
所以a＋b＝－7.
考点二　利用导数求函数最值
【方法总结】(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
3．已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
【答案】(1)∵a＝1，
∴g(x)＝ln x＋x2－3x，
∴g′(x)＝＋2x－3＝，
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，e]上单调递增，
∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.
(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝
＝.
①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
②当1<③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
综上，h(a)＝
4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【答案】(1)∵蓄水池的侧面的总成本为
100×2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，
∴蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
由题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，
∴h＝(300－4r2)．
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
由h>0，且r>0，可得0故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)由(1)知V(r)＝(300r－4r3)，
故V′(r)＝(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上单调递减．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
一、单选题
1．（2022·平凉模拟）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.
故答案为：C
2．（2022高三上·汕头期末）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．
【答案】A
【解析】在区间上单调递增，由题意只需
，
这时存在，使得在区间上单调递减，在区间[x0,1)上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．
所以的取值范围是.
故答案为：A
3．（2021高三上·邢台月考）若函数 在区间 有最小值，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，①当 时，可得函数 的增区间为 ， ，
减区间为 ，若函数 在区间 有最小值，必有 ，
有 ，由 ，有 ， ，不合题意；
②当 时，此时函数 的增区间为 ， ，减区间为 ， 在区间 最小值为 ，符合题意；
③当 时，此时函数 的增区间为 ， ，减区间为 ，
只需要 ，得 ；
④当 时， 在区间 单调增，不合题意，
故实数 的取值范围为 ．
故答案为：D
4．已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ， ，
∴ ， ，即 ，
若 ，则 ，
∴ ，有 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ ，即 的最小值为 .
故答案为：D.
5．（2022·天津市模拟）已知函数的图象如图所示，则等于（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数的图象知：和是的根，
即，解得，
所以，可得，
又由结合图象可得是函数的极值点，
即是的两个根，即是的两个实数根，
所以。
故答案为：C.
6．（2022·辽阳二模）设函数 ，则下列不是函数 极大值点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得 ，
令 ，得 或 ， ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 ， ， 上单调递增，在 ， ， 上单调递减，
故不是函数 极大值点的是 .
故答案为：D.
7．（2022·莆田三模）已知函数的最小值是4．则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由题，，，所以单调递增，
又，所以，，
故为最小值点，即，解得，
故答案为：A
8．（2022·宁德模拟）若对恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C．-1 D．0
【答案】A
【解析】解：令，则，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，无最小值，不满足题意；
当时，由得，由得，故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以，，
故令，则得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：A
9．（2022·兴化模拟）已知函数，，若函数在上的最小值为0，则实数的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】，又，
在上单调递增，
在上存在最小值，，使得，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
…①，
由得：…②，
②①得：，
，，；
①②得：；
又，.
故答案为：B.
10．（2022·河南二模）已知函数，若，且，则的最大值为（　　）
A．0 B．
C．1 D．e
【答案】D
【解析】作出函数的图像如下图：
因为，且，结合图像，不妨设，设，则，且，即，
，即，所以，设，则，
因为，所以，所以，所以，所以在单调递增，，
即的最大值为，所以的最大值为.
故答案为：D.
二、填空题
11．（2022·河西模拟）若函数在处取得极值，则　 　．
【答案】1
【解析】解：，
因为函数在处取得极值，
所以，，解得，
此时，，
故当时，，单调递减；
当和时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意，
所以，
所以
故答案为：1
12．（2022·崇左模拟）函数的极小值是　 　．
【答案】2
【解析】由题意可得．由，得或；由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，则．
故答案为：2
13．（2022·延庆模拟）已知函数在区间上存在最小值，则实数　 　．
【答案】2
【解析】函数定义域是，因此，
，时，，递减，时，，递增，，
所以，此时在上递增，，解得或（舍去）。
故答案为：2。
14．（2022·湖北模拟）已知函数在上的最小值为1，则的值为　 　.
【答案】1
【解析】由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，
所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.
故.
故答案为：1.
15．（2022·怀化模拟）已知函数若存在实数，满足，则的最大值是　 　．
【答案】
【解析】解： 作出f（x）的函数图象如图所示：
∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=﹣6，
∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，
由函数图象可知：＜c＜e2，
设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，
显然在（，e2]上单调递增，
∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，
∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，
在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，
又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，
∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．
故答案为2e2﹣12
三、解答题
16．（2021高三上·玉林开学考）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为
3x+y+m＝0．
（Ⅰ）求实数a，m的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．
【答案】解：解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣3a，
∵曲线f（x）＝x2﹣3ax+2在x＝1处的切线方程为3x+y+m＝0，
∴ ，解得a＝2，m＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x3﹣6x+2．
f′（x）＝3x2﹣6，令f（x）＝0，得x＝ ．
∴f（x）在[1， ]上单调递减，在（ ，2]单调递增．
又f（1）＝﹣3，f（ ）＝2﹣4 ．f（2）＝8﹣12+2＝﹣2，
∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为﹣2，最小值为2﹣4 ．
【解析】（1）根据导数的运算，结合导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.
17．（2021高三上·汉中月考）已知函数 ， .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间和极值.
【答案】（1）解：函数 的定义域为R， .
∵ ，∴切点为 .
又∵ ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）令 ，即 ，解得 ， .
当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x a 0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
∴ 的极小值为 ，极大值为 .
【解析】(1)首先对函数求导，并把点的再把代入计算出切线的斜率，然后由点斜式计算出直线的方程即可。
(2)根据题意令，求出x的值，结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间，由极值的定义即可得出答案。
18．（2022·河南模拟）已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．求实数a的取值范围.
【答案】（1）解： ＝，x＞0，
当x∈（0，e）时，＞0，f（x）递增；
当x∈（e，+∞）时，＜0，f（x）递减；
所以f（x）的极大值为f（e）＝，
故k＝1；
（2）解：根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），
即，
化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0，
令h（x）＝xex﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，
h（x）＝elnxex﹣alnx﹣ax﹣a＝elnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，
令lnx+x＝t，t∈R，
设H（t）＝et﹣at﹣a，H'（t）＝et﹣a，
只需H（t）≥0，t∈R，
当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，
所以H（）＜1﹣a（）﹣a＝0，不成立；
当a＝0时，H（t）≥0显然成立；
当a＞0时，由＝et﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增，
H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，
由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，
综上0≤a≤1；
【解析】 (1)先对函数求导，然后结合导数与极值的关系即可求解出实数k的值；
(2)由已知不等式恒成立，进行合理变形后构造函数，然后对新函数求导，结合导数及函数的性质可求出实数a的取值范围 .
19．（2022·四川模拟）已知函数．
（1）若时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
（2）若函数在处取极小值，求a的取值范围．
【答案】（1）解：时，．
设切点，则，
故切线l的方程为，
由于切线l过点，则，
即，解得，故切线方程为．
（2）解：，，
令，则，
①当时，可知，在上单调递增，又，
则时，即，单调递减，时，即，单调递增
故在时取得极小值，故满足条件．
②当时，则在上为增函数，又，
若，，当 时，即单调递减，当 时，即单调递增，而，于是，即函数在上单调递增，不合题意；
若，，而，则存在使得，且时，则即单调递减，又，故时，单调递增，时，单调递减，此时为的极大值点，不合题意．
若，则，限定，故，于是当且时，，那么存在，使得.
所以时，，在上单调递增，而，于是，时，即，单调递减，时，即，单调递增，此时为的极小值点，符合题意．
综上所述：函数在处取极小值时a的取值范围是．
【解析】（1）求出导函数，然后设切点的坐标为，然后得到斜率并写出切线方程，再将点（0，0）代入切线方程解出，最后得到切线方程；
（2）先求出导函数，然后设并求出导函数，进而分，，和四种情况进行讨论得到的单调性，进一步得到的单调性，讨论出函数在处的极值，最后得到答案.
20．（2022·浙江模拟）已知函数
（1）当时，求极值.
（2）设为的极值点，证明：.
【答案】（1）解：当单调递减，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，函数有极大值，极大值为，没有极小值
（2）证明：的定义域为
当时，无极值点.
当时，由第一小题知，则，
当时，若为的极值点，则，
假设，则，当时，，
设，则，当时单调递增，
当时单调递减，所以，当
即，这与矛盾，
所以当时，，则，
一方面当时，单调递减，且设，则，故在单调递减，即，所以，根据零点存在性定理，存在唯一的，
当时，，则，设单调递减，，则，
另一方面当时，单调递减，且根据零点存在性定理，存在唯一的，有
由，可得：
所以时，
由上面已证：当，即，进一步可得，故
则
综上，若为的极值点，一定有
【解析】(1)根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可得 极值；
(2)根据(1)的结论、函数极值的定义，结合构造函数法、零点存在原理、导数的性质，运用分类讨论思想进行证明即可.

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