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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题15 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．（2022·新高考Ⅱ卷）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （　　）
A． B． C． D．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【常用结论】
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
考点一　同角三角函数基本关系
【方法总结】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
考点二　诱导公式
【方法总结】(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数．
2．(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝ .
考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【方法总结】(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
3．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值．
一、单选题
1．（2022·长春模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·武汉模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·晋中模拟）若 ，则 等于（　　）
A． B．2 C．-1 D．
4．（2022·山东模拟）若，（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·聊城模拟）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·郑州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·汕头模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·衡阳模拟）已知为角终边上一点，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·淄博模拟）已知，且，则（　　）
A． B． C．-1 D．1
10．（2022·河南模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·河南模拟）已知，，则　 　．
12．（2022·泰安模拟）已知 ，则 　 　．
13．（2022·黄浦模拟）若，则　 　.
14．（2022·浙江）若 ，则 　 　， 　 　．
15．（2022·马鞍山模拟）已知，则的值为　 　．
三、解答题
16．（2022·和平模拟）在中，，，.
（1）求AB的长；
（2）求；
（3）求的值.
17．（2021高三上·洮南月考）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的值．
18．（2022·河南模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，，求AB边上的高．
19．（2022·东阳模拟）已知角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.
（1）求的值；
（2）求值：.
20．（2022·辽阳二模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求C；
（2）若 ，求 ．<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题15 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．（2022·新高考Ⅱ卷）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得： ，
即： ，
即： ，
所以 ，
故答案为：C
2．（2021·全国甲卷）若 , ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得 ，
则，解得sinα=，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【常用结论】
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
考点一　同角三角函数基本关系
【方法总结】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
【答案】0
【解析】∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
考点二　诱导公式
【方法总结】(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数．
2．(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝ .
【答案】3
【解析】由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，
＝
＝
＝
＝＝3.
考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【方法总结】(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
3．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值．
【答案】(1)f(α)＝
＝
＝－cos α.
(2)若α＝－，
则f(α)＝－cos＝－cos ＝－.
(3)由cos＝，
可得sin α＝－，
因为α∈，
所以cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
一、单选题
1．（2022·长春模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，
由于，所以，
所以.
故答案为：C
2．（2022·武汉模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，，
，所以.
故答案为：C
3．（2022·晋中模拟）若 ，则 等于（　　）
A． B．2 C．-1 D．
【答案】C
【解析】解：原式
.
故答案为：C
4．（2022·山东模拟）若，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，.
故答案为：B.
5．（2022·聊城模拟）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
.
故答案为：A.
6．（2022·郑州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，分子分母同除得，解得，
所以。
故答案为：C
7．（2022·汕头模拟）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，，
.
故答案为：A
8．（2022·衡阳模拟）已知为角终边上一点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为角终边上一点，，
.
故答案为：C.
9．（2022·淄博模拟）已知，且，则（　　）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【解析】，
，
，
或，
由平方可得，即，
由平方可得，即，
因为，所以，，
综上，.
故答案为：C
10．（2022·河南模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，所以，
即， 故。
故答案为：B.
二、填空题
11．（2022·河南模拟）已知，，则　 　．
【答案】
【解析】，
因为，
所以，
故答案为：.
12．（2022·泰安模拟）已知 ，则 　 　．
【答案】-2
【解析】
故答案为：-2.
13．（2022·黄浦模拟）若，则　 　.
【答案】
【解析】因为，所以，
故答案为：.
14．（2022·浙江）若 ，则 　 　， 　 　．
【答案】；
【解析】∵，利用诱导公式可得，
变形可得，根据同角三角函数基本关系可得，
解得，，
．
故答案为：；
15．（2022·马鞍山模拟）已知，则的值为　 　．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故答案为：.
三、解答题
16．（2022·和平模拟）在中，，，.
（1）求AB的长；
（2）求；
（3）求的值.
【答案】（1）解：由，且可得.
由正弦定理有，得
（2）解：由题意可得
（3）解：由（2），，由二倍角公式可得：，
故
【解析】(1)首先由同角三角函数的基本关系式计算出sinB的取值，再把结果代入到正弦定理计算出边的大小。
(2)根据题意由诱导公式和两角和的余弦公式，代入数值计算出结果即可。
(3)由已知条件结合二倍角的余弦公式计算出结果，再把结果代入到两角和的余弦公式由此计算出结果即可。
17．（2021高三上·洮南月考）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ；
， ；
由余弦定理得： ，
解得： ，
由 得： ， .
【解析】（1）根据诱导公式，结合三角形内角和性质求解即可；
（2）根据同角三角函数间的基本关系，与三角形面积公式，结合余弦定理，运用方程思想求解即可.
18．（2022·河南模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，，求AB边上的高．
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
（2）解：因为，所以，
易知A为锐角，所以，
所以．
设AB边上的高为h，则．
【解析】（1）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质以及诱导公式和三角形中角的取值范围，进而得出 的值， 再利用二倍角的余弦公式，进而得出角C的余弦值。
（2）利用已知条件结合三角形中角C的取值范围和同角三角函数基本关系式，进而得出角C的正弦值， 易知A为锐角结合同角三角函数基本关系式，进而得出角A的余弦值，再利用三角形内角和为180度的性质和诱导公式以及两角和的正弦公式，进而得出角B的正弦值，设AB边上的高为h结合正弦函数的定义，进而得出AB边上的高。
19．（2022·东阳模拟）已知角的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.
（1）求的值；
（2）求值：.
【答案】（1）解：由已知可得， ，
所以
（2）解：由题知，，
所以
【解析】（1）由三角函数的定义得到 ， 结合诱导公式即可求解；
（2）由二倍角公式求得 ，，结合两角差的正弦公式即可求解。
20．（2022·辽阳二模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求C；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）解：因为 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
又 ，
即 ，
所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，又 ，所以
（2）解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
【解析】（1）首先利用正弦定理将边化角，再根据两角和正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据利用两角和的正弦公式计算可得；

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