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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题12 导数与函数的单调性
1．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为，因为当，sinx所以 ，即， 所以c>b ；
设，
f'(x)=-sinx+x>0 ，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，
则， 所以 ，
所以b>a， 所以c>b>a ，
故选：A
2．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[18，27]
【答案】C
【解析】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，
则，
则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，，
则正四棱锥的体积，
令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθ，
则y'=-3x2+1，故当，y'<0，当，y'>0，
则，
，
故该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
考点一　不含参数的函数的单调性
1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
【答案】A
【解析】∵f′(x)＝2x－
＝(x>0)，
令f′(x)＝0，得x＝1，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
2．若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递减区间为________．
【答案】(1，＋∞)
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，
φ′(x)＝－－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
考点二　含参数的函数的单调性
【方法总结】根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
3．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
【答案】函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝
＝.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.
①当01，
∴x∈(0,1)和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增，
在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减．
综上，当0当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
4．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．
【答案】由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝，
设g(x)＝x2－ax＋2，
g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当Δ＝0，即a＝2时，仅对x＝，
有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.
此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当Δ＞0，即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根，
x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
考点三　函数单调性的应用
5．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
【答案】A
【解析】因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f ＝f .又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上单调递增，所以f f(1)>f .
6．已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【答案】　
【解析】　由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，
即2a≥－x＋在上恒成立，
∵max＝，
∴2a≥，即a≥.
一、单选题
1．（2022·湖北模拟）已知函数，不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：B.
2．（2022·赤峰模拟）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
当时，，为单调递增函数，最多只有一个零点，不合题意，舍去；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当趋近负无穷时，也趋近于负无穷，当趋近正无穷时，趋近于负无穷，
因为函数有两个零点，所以，得.
故答案为：B
3．（2022·眉山模拟）函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故答案为：A.
4．（2021高三上·河北月考）函数 的导函数在 上是减函数，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，令 （ ），
∴ ， ，
， ，所以 ， .
故答案为：C
5．（2022·河南模拟）已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数与函数的图象恰有3个交点，所以有3个根.
经验证：x=1为其中一个根.
当时，可化为，及
i.或时，方程有且仅有一个根x=-1；
ii.且时，方程有两个根，或x=-1.
当时，可化为.
令，（x>0）.则.
当时，有，所以在上单减.
因为，所以有且只有1个根x=1.所以需要有两个根或x=-1，才有3个根，此时且.
当时，有且仅有一个根x=-1，所以只需在有2个根.此时.
在上，，单减；在上，，单增.
且当时，；当时，；
所以只需，即，亦即.
记.
则，所以当时，，所以在上单调递减，所以当时，，在上单调递增.所以，即（当且仅当x=1时取等号）.
所以要使成立，只需，解得：.所以且.
综上所述：实数k的取值范围是.
故答案为：B
6．（2022·昆明模拟）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设
当时，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减
时，取得极大值
当趋向于，趋向于
当时，，单调递增
依题意可知，直线与的图象有两个不同的交点
如图所示，的取值范围为
故答案为：B
7．（2022·安徽模拟）已知函数，若存在零点，且满足，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若，则，，
则不成立，故．故，
若，则有且仅有满足，不合题意；
若，，则，不合题意；
若，，则，不合题意；故，B不符合题意；
的解为，，
即，若，，则在上，，f(x)单调递减，
则，
∵，故，与矛盾；
若，，
则在上，，f(x)单调递增，
在，上，，f(x)单调递减，
∵零点，∴，即，C不符合题意；
由单调性可知，，即，D不符合题意；
又∵且，∴，A符合题意．
故答案为：A．
8．（2022·安徽模拟）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】解：由题意得：
不等式对恒成立等价于不等式对恒成立
设，，则
当时，，则在上单调递减
与题意矛盾
．令，则
在上单调递增
，当，即时，，则在上单调递增
，符合题意；
当，即时，由，得存在，使，当时，，即，则在上单调递减，则，不符合题意，因此实数a的最小值为．
故答案为：C．
9．（2022·昆明模拟）对于函数，有下列四个论断：
①是增函数②是奇函数③有且仅有一个极值点④的最小值为
若其中恰有两个论断正确，则（　　）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，故函数是非奇非偶，即无论为何值，②一定错误
对函数进行求导，
当时，恒大于零，原函数单调递增，
故原函数没有极值点和最小值，B、D排除.
当时，函数不是增函数，故只能有③④正确；
当时，函数，导函数，
令，，，在上单调递增，
由于，，
故，使得，即
，，在单调递减，
，，在单调递增
故函数有且仅有一个极值点，的最小值为
故只满足③，排除A
当时，，
令，，，在上单调递增，
， ，，在单调递减，
，，在单调递增
故的最小值为
故满足③④
故答案为：C.
10．（2022·长春模拟）已知函数，若函数与的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，
当时，，
所以，在区间递减；在区间递增.
所以，当时，；当时，；.
当时，，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，.
由此画出的大致图象如下图所示，
由图可知，若直线与的图象有个交点，则.
由于函数与的图象恰有6个不同的公共点，
即，有6个不同的根，
由于，
所以，解得.
故答案为：A
二、填空题
11．（2022·保定模拟）已知，则的取值范围为　 　.
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即.
设函数，则，
因为，
所以，所以为增函数.
又，所以，
所以，
故.
故答案为：
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
【答案】2
【解析】根据题意有，令，则，
令，则，
所以函数在R上单调递减，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为2。
故答案为：2。
13．（2022·柯桥模拟）已知函数当时，　 　，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是　 　．
【答案】；（e，+∞）
【解析】当时，，，
当时，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，且，此时函数不可能有3个不同的零点.
当时，当时，；当时，，当时，，即函数在上单调递减，在，上单调递增，且，此时函数不可能有3个不同的零点.
当时，当时，；当时，；当时，；当时，.
即函数在，上单调递减，在，上单调递增.
当时，，则在只有一个零点，要使得函数有3个不同的零点，则，，解得.
故答案为：；（e，+∞）
14．（2022·惠州模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】因为，所以，
又函数在上单调递增，
所以在恒成立，
分离参数可得在恒成立，
令，，
所以在上单调递增，
所以，所以，
故答案为：.
15．（2022·成都模拟）记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为　 　．
【答案】（1，+∞）
【解析】设，，所以函数单调递增，
且，不等式，所以.
故答案为：（1，+∞）.
三、解答题
16．（2021高三上·临沂月考）设函数f（x）=lnx-x2+x.
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在区间[ ，e]上的最大值.
【答案】解：（I）因为f（x）=lnx-x2+x其中x>0
所以f '（x）= -2x+1=-
所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.
（II）由（I）f（x）在[ ，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0.
【解析】（I） 根据题意对函数求导，由导函数的几何性质即可求出函数的单调性，由此即可得出函数的单调区间。
（II） 由（I）的结论由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出答案。
17．（2021·榆林模拟）已知函数 的图象经过点 ．
（1）设 ，讨论 在 上的单调性；
（2）若 在 上的最大值为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ， ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以：①当 时， 在 和 上递增，在 上递减；
②当 时， 在 上递减，在 上递增；
③当 时， 在 上递增
（2）解：因为 在 上的最大值为 ，
所以由（1）可得： ，解得： ，
故 的取值范围为
【解析】（1）根据已知条件f（2）=2，代入数值得到关于a的方程求出a的值由此得到函数的解析式，再对函数求导求出函数的导数，解关于导函数的不等式得出导函数的正负情况，由此得出函数的单调性以及单调区间；
（2）根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．
18．（2021·铁岭模拟）已知函数 ， 为自然对数的底数．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解： ，
①当 时， ，
， ， 单调递减，
， ， 单调递增．
②当 时， ，
， ， ， 单调递增，
， ， ， 单调递减，
， ， ， 单调递增，
③当 时， ， ， 单调递增
④当 时， ，
， ， ， 单调递增，
， ， ， 单调递减，
， ， ， 单调递增
（2）解：当 时，
，
，
，
令 ， ，
令 ， ，
是单调增函数，
∴ ，
∴ 在 是单调增函数，
∴ ，
①当 ，即 时， ，
∴ 在 是单调增函数，
此时 符合题意．
②当 ，即 时 ， 时 ，
∴ 使得 ，
∵ ， ， 单调递减，
∴ 与恒成立不符，
综上所述，
【解析】（1）根据题意求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为ex+ax+ln（x+1）-1≥0，令g（x）=ex+ax+ln（x+1）-1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．
19．（2022·西安模拟）已知函数（，且）
（1）求函数的单调区间；
（2）若对、，使恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：的定义域为，（，且）
显见，.
①当时，，.
若，则，，得.
于是，.
若，则，，得，
于是，
∴当时，， 即在上单调递增
②当时，，
若，则，，得.
于是，
若，则，，得，
于是，
∴当时，.即在上单调递减
综上得，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解：对、，使恒成立，
即对，成立.
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，得
为和中的较大者.
，，
设，（仅当时取等号）.
∴在上单调递增，在上也单调递增.
注意到
∴当时，，；
当时，
①当时，
即，得
②当时，
即（*）
设，
在上单调递增.
∴当时，.不等式（*）无解
综上所述，对、，使恒成立时，的取值范围为
【解析】（1）求出的导函数并变形为，然后分，分别对和分别讨论分析可得出其单调区间.
（2）由题意可得对 ，恒成立. ，由（1）得出的单调区间，得，比较得出中的较大者，从而可得出答案.
20．（2022·河南模拟）已知函数．
（1）讨论f(x)的单调性．
（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
【答案】（1）解：由题意可得．
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，
等价于，即.
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，当且仅当时，等号成立．
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以有解，
则，当且仅当时，等号成立．
即，即．
【解析】 (1)先求出导函数，再对a的范围分情况讨论，根据f' (x)的正负即可得到f (x)的单调性；
(2)考虑x的取值范围，采用放缩法可以证明出结论.<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题12 导数与函数的单调性
1．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[18，27]
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
考点一　不含参数的函数的单调性
1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
2．若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递减区间为________．
考点二　含参数的函数的单调性
【方法总结】根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
3．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
4．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．
考点三　函数单调性的应用
5．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
6．已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围为________．
一、单选题
1．（2022·湖北模拟）已知函数，不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·赤峰模拟）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·眉山模拟）函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高三上·河北月考）函数 的导函数在 上是减函数，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·河南模拟）已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·昆明模拟）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022·安徽模拟）已知函数，若存在零点，且满足，则(　　)
A． B． C． D．
8．（2022·安徽模拟）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
9．（2022·昆明模拟）对于函数，有下列四个论断：
①是增函数②是奇函数③有且仅有一个极值点④的最小值为
若其中恰有两个论断正确，则（　　）
A．-1 B．1 C． D．
10．（2022·长春模拟）已知函数，若函数与的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·保定模拟）已知，则的取值范围为　 　.
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
13．（2022·柯桥模拟）已知函数当时，　 　，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是　 　．
14．（2022·惠州模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　 　．
15．（2022·成都模拟）记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为　 　．
三、解答题
16．（2021高三上·临沂月考）设函数f（x）=lnx-x2+x.
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在区间[ ，e]上的最大值.
17．（2021·榆林模拟）已知函数 的图象经过点 ．
（1）设 ，讨论 在 上的单调性；
（2）若 在 上的最大值为 ，求 的取值范围．
18．（2021·铁岭模拟）已知函数 ， 为自然对数的底数．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（2022·西安模拟）已知函数（，且）
（1）求函数的单调区间；
（2）若对、，使恒成立，求的取值范围.
20．（2022·河南模拟）已知函数．
（1）讨论f(x)的单调性．
（2）若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．

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