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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题16 简单的三角恒等变换
1．（2021·全国乙卷） （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为
故选D。
2．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
【知识拓展】
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
4．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
考点一　两角和与差的三角函数公式
【方法总结】　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
1．(2022·包头模拟)已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵cos α＋cos＝1，
∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α
＝
＝cos＝1，
∴cos＝.
考点二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
1．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝
C．β－α＝－
D．β－α＝
【答案】AD
【解析】由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
∴cos(β－α)＝，即选项A正确，B错误；
∵γ∈，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，而α，β∈，
∴0<β－α<，
∴β－α＝，
即选项D正确，C错误．
考点三　角的变换问题
【方法总结】常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
3．(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【答案】(1)因为tan α＝，
tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝
＝－.
考点四　三角函数式的化简
【方法总结】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
4．2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
【答案】B
【解析】2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，
∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
5．化简等于(　　)
A. B.
C. D．2
【答案】B
【解析】原式＝
＝
＝＝＝.
考点五　三角函数式的求值
【方法总结】(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
6．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B等于(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，
解得sin A＝，
因为A为钝角，
所以cos A＝－＝－
＝－.
由sin B＝，且B为钝角，
得cos B＝－＝－
＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，
所以A＋B＝.
7．已知cos＝，θ∈，则sin＝ .
【答案】
【解析】由题意可得
cos2＝＝，
cos＝－sin 2θ＝－，
即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，
可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
考点六　三角恒等变换的综合应用
【方法总结】(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
8．(2022·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝4cos xcos－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.
【答案】(1)f(x)＝4cos xcos－
＝4cos x－
＝2cos2x－2sin xcos x－
＝(1＋cos 2x)－sin 2x－
＝cos 2x－sin 2x
＝2cos，
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由于α∈，
且f(α)＝，
而f(α)＝2cos＝，
所以cos＝，
因为0≤α≤，
所以≤2α＋≤，
则≤2α＋≤，
所以sin＝，
则cos 2α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×
＝.
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，解得或（舍去），又，所以，即．
故答案为：B.
2．（2022·江阴模拟）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故答案为：A.
3．（2022·宁乡模拟）若 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，
所以 ＝ 。
故答案为：D．
4．（2022·廊坊模拟）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
∴ .
故答案为：A．
5．（2022·泰州模拟）已知，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】，则，∴，
故答案为：D．
6．（2022·齐齐哈尔模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
所以，
。
故答案为：A．
7．（2022·广东模拟）（　　）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】C
【解析】．
故答案为：C
8．（2022·广州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
.
故答案为：A.
9．（2022·湖北模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以
.
故答案为：D.
10．（2021高三上·丹东期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
，
，
，
，
，
，
。
故答案为：C
二、填空题
11．（2022·浙江模拟）已知，则　 　；　 　.
【答案】；
【解析】由于，则，
所以；
.
故答案为：，.
12．（2022·静安模拟）已知，则的值为　 　．
【答案】
【解析】
故答案为：
13．（2022高三下·安徽期中）已知，则　 　.
【答案】
【解析】因为，
所以，所以，
所以所以，解得，
.
故答案为：.
14．（2022·嵊州模拟）已知，则　 　，　 　．
【答案】；1
【解析】
故答案为：，1．
15．（2022·浙江模拟）若，则　 　；　 　．
【答案】；-3
【解析】解：因为，，
所以，，
又，解得或（舍去），
所以，
故答案为：；-3
三、解答题
16．（2022·河东模拟）在中，角的对边分别为，，，的面积为．
（1）求及的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由已知，
∴
，a=4，且
∴
，
在中，
∴
∴
（2）解：∵
∴，又
【解析】(1)首先由三角形的面积公式，代入数值计算出a的取值，并代入到余弦定理由此计算出结果，计算出b的取值，然后由已知条件计算出sinA的取值。
(2)根据题意由二倍角的正、余弦公式计算出答案，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。
17．（2022·广州模拟）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明：由题设，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即.
（2）解：由（1）及题设，，且，
所以，则，故，
又，可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以.
【解析】(1)首先由正弦定理整理化简原式，然后由两角和的正弦公式整理即可得证出结论。
(2)由两角和的正弦公式整理化简原式，由此计算出cosC的取值，结合角的取值范围以及同角三角函数的基本关系式即可求出sinA的值，并把数值代入到余弦定理由此计算出sinB的取值，结合角B的取值范围以及同角三角函数的基本关系式即可求出cosB的值，由已知条件结合诱导公式以及两角和的余弦公式代入数值计算出结果即可。
18．（2021高三上·静海月考）在中，，，．
（1）求边的长与的值；
（2）求的面积；
（3）求的值．
【答案】（1）解：在 中， ， ， ，
因为 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ；
（2）解：由（1）得： ，
所以 ；
（3）解：由（1）（2）得： ，
，
所以 .
【解析】(1)根据题意首先由正弦定理整理化简计算出边的大小，然后由余弦定理代入计算出cosA的值。
(2)由(1)的结论结合同角三角函数的基本关系式即可得出sinA的值，并把结果代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
(3)由已知条件结合二倍角公式以及两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。
19．（2022·陕西模拟）在锐角中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，
所以，，
，所以，又，所以；
（2）解：三角形为锐角三角形，所以，，即．
，
，则，，
所以．即的范围是．
【解析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理变形可得求得角；
（2）求出角范围，把用角表示，然后结合二倍角公式、两角和的正弦公式变形，再由正弦函数性质得取值范围．
20．（2022·南充模拟）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：已知，，．由余弦定理得：
，
∴．
由正弦定理得：
．
（2）解：因为，A为锐角．
∴
∴，，
所以
【解析】（1）根据余弦定理求出c，再由正弦定理即可求解.
(2)由（1）得，再求出即可求解.<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题16 简单的三角恒等变换
1．（2021·全国乙卷） （　　）
A． B． C． D．
2．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
【知识拓展】
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
4．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
考点一　两角和与差的三角函数公式
【方法总结】　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
1．(2022·包头模拟)已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
考点二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
1．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝
C．β－α＝－
D．β－α＝
考点三　角的变换问题
【方法总结】常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
3．(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
考点四　三角函数式的化简
【方法总结】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
4．2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
5．化简等于(　　)
A. B.
C. D．2
考点五　三角函数式的求值
【方法总结】(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
6．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B等于(　　)
A. B.
C. D.
7．已知cos＝，θ∈，则sin＝ .
考点六　三角恒等变换的综合应用
【方法总结】(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
8．(2022·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝4cos xcos－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·江阴模拟）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·宁乡模拟）若 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·廊坊模拟）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2022·泰州模拟）已知，则（　　）
A．2 B． C． D．
6．（2022·齐齐哈尔模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·广东模拟）（　　）
A．2 B．-2 C． D．
8．（2022·广州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·湖北模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2021高三上·丹东期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·浙江模拟）已知，则　 　；　 　.
12．（2022·静安模拟）已知，则的值为　 　．
13．（2022高三下·安徽期中）已知，则　 　.
14．（2022·嵊州模拟）已知，则　 　，　 　．
15．（2022·浙江模拟）若，则　 　；　 　．
三、解答题
16．（2022·河东模拟）在中，角的对边分别为，，，的面积为．
（1）求及的值；
（2）求的值．
17．（2022·广州模拟）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
（1）证明：；
（2）若，求.
18．（2021高三上·静海月考）在中，，，．
（1）求边的长与的值；
（2）求的面积；
（3）求的值．
19．（2022·陕西模拟）在锐角中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
20．（2022·南充模拟）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．
（1）求的值；
（2）求的值．

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