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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题17 三角函数的图象与性质
1．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意知：曲线C为 ，
又曲线C关于y轴对称，则 ，
解得 ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 .
故选：C.
2．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】解：由题意得，，
又 的图像关于点 中心对称，
则b=2，且，
所以，
则，
解得，
又，
则k=2，，
故，
故选：A
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
【常用结论】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
考点一　三角函数的定义域和值域
【方法总结】(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
1．函数y＝的定义域为________．
【答案】
【解析】要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为.
2．函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
【答案】
【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，
且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，
t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
考点二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【方法总结】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
3．下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
【答案】B
【解析】∵cos|x|＝cos x，∴y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．
4．函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
【答案】
【解析】若f(x)＝3sin为奇函数，
则－＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
5．已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值为(　　)
A. B．－6－3
C．1 D．－1
【答案】B
【解析】∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝，
则f(x)＝－Asin ωx.
当x＝3时，f(x)取得最小值－3，
故A＝3，sin 3ω＝1，
∴3ω＝＋2kπ，k∈Z.
∴ω的最小正数为，
∴f(x)＝－3sin x，
∴f(x)的周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
＝168×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(6)
＝－6－3.
考点三　三角函数的单调性
【方法总结】(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
6．函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
【答案】(k∈Z)
【解析】f(x)＝sin
＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
7．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
【答案】
【解析】由0，
得＋<ωx＋<ωπ＋，
因为y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z，
且2k＋>0，k∈Z，
解得k＝0，
所以ω∈.
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，
得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度，
得到的图象．
故答案为：B.
2．（2022·河西模拟）对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：
.
，①正确；
时，②错误；
令，解得，因此减区间为，③正确；
令，解得，此时，故对称中心为，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是2个.
故答案为：B.
3．（2022·和平模拟）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以，而为偶函数，所以，即，而，所以的最小值是．
故答案为：B．
4．（2022·安丘模拟）下列区间中，函数 单调递减的区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 的单调递减区间即函数 的单调递增区间，令 ，解不等式得到 ，令 得 ， ，
所以 是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，
故答案为：B
5．（2022·福州模拟）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）.已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，噪音的声波曲线的振幅为1，周期为，初相为，
所以，，，则，
所以，
所以降噪的声波曲线的解析式为，
故答案为：D
6．（2022·陕西模拟）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】A
【解析】由图象可知，函数的最小正周期为，则，，
，则，可得，
，所以，，
所以，，
因此，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
故答案为：A.
7．（2022·焦作模拟）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若与的图象关于轴对称，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，因为与的图象关于轴对称，
所以，即，则或，．前面一种情况不能恒成立，
后面一种情况解得：，
因为，所以，得满足题意．
故答案为：B
8．（2022·河南模拟）已知函数在上单调，且，则的可能取值（　　）
A．只有1个 B．只有2个 C．只有3个 D．有无数个
【答案】C
【解析】设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．
因为，所以.
由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.
因为，所以为的一条对称轴.
因为，所以有以下三种情况：
①，则；
②当时，则，符合题意；
③，则，符合题意．
因为，不可能满足其他情况.
故的可能取值只有3个．
故答案为：C
9．（2022·河南模拟）已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵的最大值为，
∴，又，
∴，
∴，又x＝m是的一条对称轴，
∴，即，
∴的最小值为.
故答案为：B.
10．（2022·济南模拟）已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
令f(x)=0得sinx=0或cosx=，
作出y=sinx和y=cosx的图象：
f(x)在上有4个零点，则，a的最大值为。
故答案为：C．
二、填空题
11．（2022·黄浦模拟）函数的最小正周期是　 　.
【答案】
【解析】由题意，
12．（2022·江西模拟）将函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数g(x)的图像，若，则的最小值是　 　．
【答案】
【解析】函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，
又，所以，所以．
又，故可解得，当时，得．
故答案为：.
13．（2022·潍坊模拟）已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为　 　．
【答案】1，答案不唯一
【解析】，
当时，，
，所以在上单调递增，符合题意.
故答案为,1，答案不唯一
14．（2022·河南模拟）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为　 　．
【答案】-2
【解析】因为，且函数的最小正周期为，
所以，
所以，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当即时，函数取得最小值，且最小值为-2。
故答案为：-2。
15．（2022·四川模拟）已知函数，则下列结论正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
①的最小正周期为；②是奇函数；
③的值域为；④在上单调递增．
【答案】①③④
【解析】由，定义域为R.
对于①：因为的最小正周期为，即恒成立，
所以，
所以的最小正周期为.故①正确；
对于②：取特殊值：，而，所以，故不是奇函数.故②错误；
对于③：令，则.所以在单增，在单减，所以，即的值域为.故③正确；
对于④：令，则在上单调递增，且.
而在上单调递增，所以在上单调递增．故④正确.
所以命题②不正确，命题①③④正确．
故答案为：①③④.
三、解答题
16．（2022·顺义模拟）已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）设，求的最小正周期.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以
所以此时
，此时
（2）解：=
==
==
所以，最小正周期
【解析】(1)由正弦函数的单调性结合整体思想，即可求出函数的最值。
(2)首项由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的周期公式，代入数值计算出结果即可。
17．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期.
【答案】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ，∴ ，
∴ 的最小正周期
【解析】（1）利用已知条件结合代入法得出函数的值。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。
18．（2021高三上·湖北月考）已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式及图象对称中心的坐标；
（2）设，且，求.
【答案】（1）由图可知：，解得，周期，而，即，则，
而，即，又函数在的邻近区域递增，于是得，
所以，
由，解得，
所以函数图象对称中心的坐标为.
（2）由(1)及得：，因，则，于是得，
因此，，
，
所以.
【解析】(1)由已知条件结合函数的图象即可得出A与B的取值，从而即可求出周期的取值，结合周期公式代入计算出的值，再由由特殊点法代入数值计算出，从而得出函数的解析式，然后由正弦函数的图象和性质即可得出答案。
(2)由(1)的结论，由特殊点法代入数值计算出，然后由同角三角函数的基本关系式计算出，结合角的取值范围以及两角和的余弦公式，代入数值计算出结果即可。
19．（2022·浙江模拟）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：
令
解之得
∴的单调递增区间为
（2）解：对任意，都有，
∵，
∴，
∴，
∴实数的范围为
【解析】(1)利用正弦的和角公式以及正余弦的倍角公式，辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性整体代换即可求解出 的单调递增区间；
(2)根据正弦函数的性质以及x的范围建立不等式关系，即可求解出实数的取值范围．
20．（2022·海宁模拟）已知函数．
（1）若的图像与直线相邻两个交点的距离为，求的值及的单调递增区间；
（2）当时，求函数在上的最大值．
【答案】（1）解：因为的图像与直线相邻两个交点的距离为，所以的最小正周期为，
所以，所以，
，
所以函数的单调递增区间为：
（2）解：当时，，
所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，所以的最大值为
【解析】（1）根据函数的周期性求得的值，然后利用正弦函数单调性求得函数 的单调递增区间；
（2），由 ，得 ，由正弦函数的性质可得 的最大值 .<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题17 三角函数的图象与性质
1．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （　　）
A．1 B． C． D．3
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
【常用结论】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
考点一　三角函数的定义域和值域
【方法总结】(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
1．函数y＝的定义域为________．
2．函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
考点二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【方法总结】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
3．下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
4．函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
5．已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值为(　　)
A. B．－6－3
C．1 D．－1
考点三　三角函数的单调性
【方法总结】(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
6．函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
7．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·河西模拟）对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·和平模拟）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·安丘模拟）下列区间中，函数 单调递减的区间是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022·福州模拟）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）.已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西模拟）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
7．（2022·焦作模拟）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若与的图象关于轴对称，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·河南模拟）已知函数在上单调，且，则的可能取值（　　）
A．只有1个 B．只有2个 C．只有3个 D．有无数个
9．（2022·河南模拟）已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·济南模拟）已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·黄浦模拟）函数的最小正周期是　 　.
12．（2022·江西模拟）将函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数g(x)的图像，若，则的最小值是　 　．
13．（2022·潍坊模拟）已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为　 　．
14．（2022·河南模拟）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为　 　．
15．（2022·四川模拟）已知函数，则下列结论正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
①的最小正周期为；②是奇函数；
③的值域为；④在上单调递增．
三、解答题
16．（2022·顺义模拟）已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）设，求的最小正周期.
17．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期.
18．（2021高三上·湖北月考）已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式及图象对称中心的坐标；
（2）设，且，求.
19．（2022·浙江模拟）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．
20．（2022·海宁模拟）已知函数．
（1）若的图像与直线相邻两个交点的距离为，求的值及的单调递增区间；
（2）当时，求函数在上的最大值．

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