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专题:立体几何解题方法归纳
【解题思路】
证明
线面平行 线线平行
(
b
)
线面垂直 线线垂直
面面平行 线面平行 线线平行
推理模式：
面面垂直
a⊥α，a β α⊥β,如图
计算
异面直线的夹角
方法：平移 夹角 三角形 余弦定理
线面夹角
一、垂面法：①过B点做，垂足点O；
②连接OA，则就是线面角；
③在中利用三角函数求出
二、间接法：①先用等体积法求B点到平面@的距离h；
②再用h除以AB长度，得到其正弦值。
点到平面的距离
方法一：等体积法：（常用）
方法二：①过B点做，垂足点O；
②连接OA，则OB就是点B到平面的距离；
③在中利用勾股定理求出OB
二面角的大小（理科）
方法一：作图法（较难）
方法二：向量法（简单）
【经典试题】
考点一：线面平行
例1：如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，E是PD的中点，求证：PB∥平面AEC
变式：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝AA1．
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
感悟提升：
例2：如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；
变式：已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。求证：MN//平面PAD；
结论：证明线面平行，一般用中位线定理（线段两倍关系）、平行四边形性质（线段相等）或三角形相似。
考点二：线面垂直
例2-1．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。求证：CD⊥平面A1ABB1；
例2-2：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.
变式：如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC．证明：A1C⊥平面BED；
结论：证明线线垂直常用的方法有：1、异面直线：线面垂直、三垂线定理；2、相交直线：三角形相似，三线合一，勾股定理等。
考点三：面面平行
例3：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
举一反三：在正方体ABCD－A1B1C1D1，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点，如图所示．求证：平面AMN∥平面EFBD.
考点四：面面垂直
例4-1：如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点，求证：
例4-2：如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E是PD的中点
（1）求证：PB∥平面AEC
（2）求证：平面PDC⊥平面AEC
感悟提升：
(
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
O
H
)变式：已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为 CD的中点，沿AE将AED折起，使DB＝2，O、H分别为AE、AB的中点．
（1）求证：直线OH//面BDE；
（2）求证：面ADE面ABCE.
考点五：异面直线夹角
例5-1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成角的大小是_________．
例5-2：如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为__________
例5-3：如图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成角的大小为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
变式1、如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．求异面直线AB与MD所成角的大小．
变式2、如右图，等腰直角三角形中，,若，且为的中点．求异面直线与所成角的余弦值．
考点六：线面夹角
例6-1：如图，四棱锥的底面是正方形，，点E为PB的中点，，求AE与平面PDB所成的角
例6-2：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
(A) (B) (C) (D)
例6-3：已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
变式1：如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，求PC与平面PBD所成的角；
变式2：四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，求SC与平面ABC所成的角。
考点七：点到面的距离
(
D
A
B
C
)例7-1：在三棱锥D—ABC中，DA平面ABC，且AB=BC=AD=1，ABC=90，求点A到面BCD的距离。
(
E
D
C
B
A
)例7-2：在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E是线段AB上的点，且EB=1，求点C到面的距离.
举一反三
(
D
P
E
A
B
C
)1、如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面,为的中点.求点到平面的距离.
结论：面积求法：1、特殊三角形（直角、等边、等腰）；2、平面图形内的三角形，按照阴影部分求（大的减去小的）；3、独立三角形（先求三边，再求余弦值转正弦值，最后求面积）
考点八：二面角
例8：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝AA1．
(Ⅰ)求证：AD⊥B1D；
(Ⅱ)求证：A1C∥平面AB1D；
(Ⅲ)求二面角B－AB1－D平面角的余弦值．
变式1、在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，，DC＝SD＝2．点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°．M是侧棱SC的中点；求二面角S－AM－B的平面角的余弦值．
变式2：在正四棱锥中，,点在棱上．
(Ⅰ)问点在何处时，，并加以证明；
(Ⅱ)当时,求点到平面的距离；
(Ⅲ)求二面角的余弦.
考点九：点线面的关系用符号表示、判断异面直线
例1．给定下列四个命题
① ②
③ ④
其中，为真命题的是（ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
变式1．给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：
①若为异面直线，，则；
②若，则；
③若，则
其中真命题的个数为（ ）
A．3　　　 　B．2　　　 　 C．1　　 　　D．0
变式2．直线a，b，c及平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　）
A．若a α，b α，c⊥a，c⊥b则c⊥α B．若b α，a∥b则a∥α
C．若a∥α，α∩β=b则a∥b D．若a⊥α，b⊥α则a∥b
【课后练习】
1．关于空间两条直线a、b和平面，下列命题正确的是( )
(A)若a∥b，b，则a∥ (B)若a∥，b，则a∥b
(C)若a∥，b∥，则a∥b (D)若a⊥，b⊥，则a∥b
2．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
(A) (B) (C)2000cm3 (D)4000cm3
3．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则直线AB1和BC1所成角的余弦值是_________．
4．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_________．
5．如图，在三棱锥中，底面，，点，分别为棱的中点，求与平面所成角的正弦值
6、如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
(
A
B
C
D
)⑴求证：平面；
⑵求点到平面的距离；
⑶求二面角的平面角的正弦值；
7、（2020全国3卷）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

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