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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念
1．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
2．（2018·全国Ⅰ卷文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α= ，则|a-b|=（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】解： ，
又 ， ，
又 ，
故答案为：B.
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
考点一　角及其表示
【方法技巧】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
【答案】AD
【解析】B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；
C项，第三象限角的集合为，故错误；
D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
解得－≤k≤－(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确．
2．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
【答案】C
【解析】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确．
考点二　弧度制及其应用
【方法技巧】应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
3．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于(　　)
A.π cm B.π cm
C．4 cm D．8 cm
【答案】B
【解析】设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．
考点三　三角函数的概念
【方法技巧】(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
4．若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】由>0，得>0，
所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，
所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．
5．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
【答案】－　±
【解析】由sin α＝＝，
解得m＝±，
∴r＝＝2，
当m＝时，cos α＝＝－，
tan α＝－；
当m＝－时，cos α＝＝－，
tan α＝.
一、单选题
1．（2022·朝阳模拟）已知角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，而.
故答案为：A
2．（2022·湖北模拟）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】A
【解析】如图，
弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.
故答案为：A.
3．（2022·湖南模拟）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，底面周长，而母线长为，
根据扇形周长公式知：圆心角.
故答案为：C.
4．（2022·苏州模拟）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（　　）
A．3π B．2π C．π D．
【答案】A
【解析】由扇形面积公式可得
这个扇形的面积为
故答案为：A
5．（2022·广东模拟）已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（　　）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】因为为角终边上一点，所以，
，当时，，，
所以.
故答案为：A.
6．（2022·房山模拟）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是第一象限角，∴，，
∵角的终边关于y轴对称，∴．
故答案为：D．
7．（2022·辽宁模拟）已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，将圆台补成圆锥 CO，则，，，
所以 ， ，由圆锥的结构特征可知 ，
所以该木桶的侧面展开成的扇环的外圆的周长为 ，而扇形所对外圆弧的长为 ，
所以侧面展开成的扇环所对的圆心角为 。
故答案为：A．
8．（2022·西安模拟）短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意得跑道内圈的周长为，所以该扇形的圆心角为．
故答案为：C
9．（2022·济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2， 和 所在圆的圆心都在线段AB上，若 ， ，则 的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过 作 ，
设圆弧AC的圆心为O，半径为 ，则 ，
在 中， ，所以 ， ，
所以在直角三角形 中， ，所以 ，所以 ，而 ，
所以 ，所以 .
故答案为：A.
10．（2022·广东模拟）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（　　）（参考数值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
【答案】D
【解析】解：由题意，前轮转动了圈，
所以A，B两点之间的距离约为，
故答案为：D.
二、填空题
11．（2022·永州模拟）已知角的终边经过点，则　 　.
【答案】（或者-0.5）
【解析】已知角的终边经过点，则根据三角函数的定义可得：，
根据余弦的二倍角公式可得：。
故答案为：（或者-0.5）。
12．（2022·德州二模）已知角θ的终边过点 ，且 ，则tanθ=　 　．
【答案】
【解析】 角θ的终边过点
，
即
点 在第四象限，
解得： （舍去）或
.
故答案为： .
13．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为　 　.
【答案】1
【解析】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为，
所以有 ，
故答案为：1
14．（2022·湖州模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方？”该问题的答案是　 　平方步.
【答案】120
【解析】 解：由题意得，扇形的弧长为30，半径为8,
所以扇形的面积为： ,
故答案为：120.
15．（2022·朝阳模拟）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则　 　（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是　 　.
【答案】米；平方米.
【解析】在中，，AP=60米，
∴（米），
在中，可得，
由题可知，
∴的面积为：
，
又，，
∴当，即时，的面积有最大值平方米，
即三角形绿地的最大面积是平方米.
故答案为：米；平方米.
三、解答题
16．（2020高三上·四川月考）已知角 的终边经过点 .
（1）求 ， ；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：由题意可得： ，
由角的终边上的点的性质可得 ，
（2）解：由（1）可知 ， ，再结合诱导公式得：
，
所以
【解析】（1）先求出 ，再由三角函数定义可得 ， ；（2）由（1）可知 ， ，再结合诱导公式求得 .
17．（2020高三上·福州期中）
（1）已知角 的终边上有一点 ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）解：原式
因为知角 的终边上有一点 ，根据任意角三角函数的定义可知： ，
故原式 .
（2）解：由 ，可得
，
，
又
.
【解析】（1）根据题意先确定角 的三角函数值，然后利用诱导公式将原式化简，然后求值；（2）将 化为 ，根据题目条件可求得 ，再利用 可求得 ，然后求解 的值.
18．已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点 .
（1）求 的值；
（2）若角 满足 ，求 的值．
【答案】（1）解：根据三角函数的定义可知 ，所以 .
（2）解：由于 ，所以 .
当 时，
.
当 时，
.
【解析】（1）根据三角函数的定义求得 的值，利用诱导公式求得 的值.（2）先求得 的值，由此求得 的值.
19．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
【答案】（1）如图，作DH⊥EF,
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ,FH=15tan(90°-2θ)，
则
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，最大面积为
【解析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
20．（2019高三上·吴中月考）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (弧度）的扇形观景水池，其中 为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当 和 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
【答案】（1）解：由题意，弧长 为 ，扇形面积为 ，
由题意 ，即 ，
即 ，
所以 ，所以 ， ，则 ，
所以当 时，面积 的最大值为400.
（2）解：即 ， 代入可得
或 ，
又 ，
当 与 不符，
在 上单调，当 时， 最大 平方米，此时 .
【解析】（1）步道长为扇形周长 ，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式 ，利用基本不等式将不等式转化为关于 的一元不等式，解得 的范围，确定最大值为400.（2）由条件得 ，消 得 ，由 及 ，解出 ，根据二次函数最值取法得到当 时， 最大<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念
1．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （　　）
A． B． C． D．
2．（2018·全国Ⅰ卷文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α= ，则|a-b|=（　　）
A． B． C． D．1
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
考点一　角及其表示
【方法技巧】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
2．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
考点二　弧度制及其应用
【方法技巧】应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
3．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于(　　)
A.π cm B.π cm
C．4 cm D．8 cm
考点三　三角函数的概念
【方法技巧】(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
4．若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
一、单选题
1．（2022·朝阳模拟）已知角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北模拟）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．16
3．（2022·湖南模拟）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·苏州模拟）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（　　）
A．3π B．2π C．π D．
5．（2022·广东模拟）已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（　　）
A．-2 B．2 C． D．
6．（2022·房山模拟）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(　　)
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁模拟）已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·西安模拟）短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（　　）
A． B． C．2 D．
9．（2022·济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2， 和 所在圆的圆心都在线段AB上，若 ， ，则 的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·广东模拟）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（　　）（参考数值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
二、填空题
11．（2022·永州模拟）已知角的终边经过点，则　 　.
12．（2022·德州二模）已知角θ的终边过点 ，且 ，则tanθ=　 　．
13．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为　 　.
14．（2022·湖州模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方？”该问题的答案是　 　平方步.
15．（2022·朝阳模拟）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则　 　（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是　 　.
三、解答题
16．（2020高三上·四川月考）已知角 的终边经过点 .
（1）求 ， ；
（2）求 的值.
17．（2020高三上·福州期中）
（1）已知角 的终边上有一点 ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值.
18．已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点 .
（1）求 的值；
（2）若角 满足 ，求 的值．
19．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
20．（2019高三上·吴中月考）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (弧度）的扇形观景水池，其中 为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当 和 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.

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