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圆锥曲线的综合问题
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0 直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0 直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0 直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝ ·|y1－y2|
＝·.
1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交　　　　　　　　 　B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截得直线y＝2x＋1所得的弦AB的长为，则该抛物线的标准方程为____________．
解析：设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组可得4x2＋(4－m)x＋1＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝ ＝，
解得m＝12或m＝－4.
所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－4x.
答案：y2＝12x或y2＝－4x
【易错警示】
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
【典型例题】
1．（2022南通期中考试）过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　　 　B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C　结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
2．（教材改编）直线y＝-x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A　
【易错警示】
因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
考向一，直线与曲线的关系
1．（2022·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程．
(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，
所以．
因为椭圆的离心率为，所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
(2)
设，，直线的方程为，
与椭圆联立，
得，
因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以，
所以，，
所以．
直线：与直线的交点的坐标为，则．
假设存在满足条件的实数，则，
所以
，
所以．
【易错警示】
1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 　B．1或3
C．0 D．1或0
解析：选D　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，则y＝2，符合题意．
若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，
所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
【答案】(1)椭圆的标准方程为
∵椭圆上的点A满足．
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
把代入得．，
解得，
∴椭圆方程的标准方程为．
(2)
解法1：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．
设过的直线方程，由，消去y得关于x的方程：
．
令，解得，故所求的切线方程为： ．
解法2：改写直线的方程为一般式，，
相切时： ，得到，
化简得，
故所求的切线方程为： ．
考向二，弦长问题
1．（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
【答案】(1)
由，得（c为半焦距），
∵点在椭圆E上，则．
又，解得，，．
∴椭圆E的方程为．
(2)
由（1）知．设直线，，．
由消去x，得．
显然．
则，．
∴．
由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．
又，，，
∴．∴．
∵．
∴．
【易错警示】
弦长的3种常用计算方法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题．
(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的．
[特别提醒]　直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况．
1．（2021·福建·南靖县第一中学高二期中）如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积.
【答案】(1)；
因为 是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为，
所以，，得，又，可得，，
∴椭圆的方程为.
(2)
直线为，即，将其代入，
消去，整理得.
设，，则.
记的面积是，的面积是.
由题意，，，
∵，
∴，
∵，.
∴的面积等于的面积.
考向三，定点，定值问题
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2).
设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)
由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
【点睛】
思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
【易错警示】
1．圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
2．定值问题常见的2种求法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)引进变量法：其解题流程为
考向四，最值问题
1．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
【答案】(1)；
由，可得，
∴，又离心率为，
∴，，
∴椭圆C的方程为.
(2)
设，
由，可得，
∴，可得，
，
由直线与关于轴对称，
∴，即，
∴，
即，
∴，
可得，
所以直线方程为，恒过定点.
【易错警示】
解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
1．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
解：将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
(2)
解：设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．
由题意可得，∴由题意可得且，解得，，
∴椭圆的方程为：．
(2)
解法1：由（1）可得，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时，化简得： 又，解得 或（舍去），此时P到直线l的距离为
设直线l有斜率时，设，，设其方程为：，联立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，
若，则直线方程为：，∴直线恒过定点，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
解法2：公共点，左移1个单位，下移个单位，，
，，
，等式两边同时除以，，，，，
过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
高考冲刺
一、单选题
1．（贵州省黔西南州2021-2022学年高二下学期期末质量检测数学（文）试题）已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（广东省潮州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新疆·三模（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（广东省茂名市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·山西·高一期末）若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2022·江苏盐城·高二期末）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2022·云南昆明·高二期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（ ）
A．直的斜率为 B．
C． D．直线与的倾斜角互补
10．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
11．（2022·广东韶关·高二期末）设抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A．线段的中点到的准线距离为4
B．直线过原点时，
C．直线的倾斜角的取值范围为
D．线段的垂直平分线过某一定点
12．（2022·江苏徐州·高一期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与直线夹角为60°
B．平面截正方体所得截面为等腰梯形
C．若，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则动点的轨迹长度为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、双空题
13．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知双曲线的焦点为，实轴长为2，则双曲线的离心率是___________；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为___________.
四、填空题
14．（2022·广东广州·高二期末）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与双曲线的左支和右支分别交于两点，．若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为__________．
15．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
16．（2022·四川南充·高二期末（理））已知函数的一个零点为，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则的取值范围是______．
五、解答题
17．（2022·上海交大附中高二期末）如图，已知为二次函数的图像上异于顶点的两个点，曲线在点处的切线相交于点.
(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：成等差数列，成等比数列；
(3)设抛物线焦点为，过作垂直准线，垂足为，求证：.
18．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
19．（2022·福建省福州第八中学高二期末）已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为的直线交于两点，分别为椭圆的左，右两顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与的斜率分别为，，求的值；
(3)设直线与的交点为，求证：点P在一条定直线上．
20．（2022·全国·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)若为线段的中点，求点的轨迹的普通方程；
(2)已知射线:与曲线交于点，与直线交于点，若为线段的中点，求的值.
21．（2022·云南昆明·高二期末）已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据椭圆的离心率求得，再根据椭圆离心率的公式及可得解.
【详解】
解：因为椭圆的离心率为，
所以，解得，
则椭圆的离心率.
故选：C.
2．C
【解析】
【分析】
确定双曲线的，确定其焦点位置，即可求得其渐进线方程.
【详解】
由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上
故该双曲线的渐近线方程为 ，
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知，求出，结合抛物线的定义，求出到准线的距离．
【详解】
解：由抛物线，可知，即（为坐标原点），
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，即，
由，可知，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
4．A
【解析】
【分析】
首先利用坐标表示，再利用基本不等式求最值取得时的值，再结合椭圆的定义求，即可求得离心率.
【详解】
设点，，,其中
，
当时，；
当时，，
因为，，当，即时，等号成立，当时，取得最大值，此时；
根据椭圆的定义可知，
即，
椭圆的离心率
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
依题意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根据，即可得到、的关系，即可得解；
【详解】
解：由，即，又，且，
解得或（舍去），
由且为的中点，知，
∴，
∴，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
由题意可得，心为，半径为，由圆的性质可知取最小值为，求出直线的方程并利用点到直线的距离求出到直线的距离，最后利用三角面积公式求解即可
【详解】
由双曲线的方程可得，
圆的圆心为，半径为，
设，则，
，
当时，即时，有最小值为，
所以取最小值为，此时共线，
直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为，
所以的面积为，
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
分别取，中点，，先证得平面，进而得到平面，当与重合时，最大，求解即可.
【详解】
分别取，中点，，连接，，，首先与平行且相等，与平行且相等，因此与平行且相等，
四边形是平行四边形，在同一平面内，易得，，所以，
所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.
而，则平面，所以点轨迹是矩形（除点）.四边形是矩形，当与重合时，最大，且最大值为.
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．
【详解】
，不妨令，，，
，，
又由双曲线的定义得：，，
，
，．
在中，，
又，，
双曲线的离心率．
故选;C
9．ABD
【解析】
【分析】
分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，求出点的坐标，可得出点的坐标，分析可得，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用平面向量与解析几何的相关知识可判断BCD选项的正误.
【详解】
易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，即点，
因为点为线段的中点，则，则，可得，
因为点在抛物线上，则，可得，
所以，直线的方程为，即，
故直线的斜率为，A对；
联立，解得或，即点、，
易知点，所以，，，则，B对；
易知点，，，
故，C错；
，，则，
所以，直线与的倾斜角互补，D对.
故选：ABD.
10．ACD
【解析】
【分析】
由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
11．AD
【解析】
【分析】
先求出，可判断A与B，设直线的方程为，联立抛物线，结合韦达定理与判别式可判断C，化简的垂直平分线方程可判断D．
【详解】
设，抛物线：，得
，所以
线段的中点到的准线距离为，则A正确；
若直线过原点，设，则，所以
所以，B错；
设直线的方程为，
由得，
则，得，又
得，故或，故C错；
线段中点的坐标为
所以线段的垂直平分线方程为
又，故化为，过定点
当直线的斜率不存在时也成立，故D正确．
故选：AD
12．ABD
【解析】
【分析】
对A，根据的平行线确定直线与直线夹角即可；
对B，根据面面平行的性质，作出平面截正方体所得截面分析即可；
对C，由题意，动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，再根据弧长公式求解即可；
对D，先判断过且平行于平面的平面截正方体的面，再分析的轨迹即可
【详解】
对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确；
对B，根据面面平行的性质可得平面截的交线，故平面截的交点为的中点，故，故截面为等腰梯形，故B正确；
对C，若，则，故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，其长度为，故C错误；
对D，取中点，连接如图.由B，截面为等腰梯形，易得，，故平面平面，故的轨迹为线段，其长度为，故D正确；
故选：ABD
13． 2
【解析】
【分析】
直接求出a、c，即可求出离心率；利用几何法求出，，直接求出面积.
【详解】
因为双曲线的焦点为，实轴长为2，所以，所以离心率.
因为，所以，
所以直线l：，即为双曲线的一条渐近线.不妨设点是l上一点，
且，则.
因为，O为的中点，所以，所以为等边三角形，
所以，由勾股定理解得：.
所以的面积为.
如图示:
故答案为：2；.
14．
【解析】
【分析】
可以得到比例关系，平行关系，结合图形找出比例线段，结合双曲线的定义，列勾股定理方程计算求解.
【详解】
由题意，即有，根据相似关系可得，设，则，在双曲线的左支，则，在双曲线的右支，则，又，列出勾股定理方程：，解得.在中，，，列勾股定理可得，于是，.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
首先求得抛物线方程，结合四边形的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示，根据焦半径公式，求得焦半径的范围，即可求得的取值范围.
【详解】
解：由题意知,圆的圆心为，半径，抛物线方程，
四边形的面积，
又，所以，
由抛物线定义，得，又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
由给定零点及范围求出a，b满足的约束条件，再利用斜率型的线性规划问题求解作答.
【详解】
依题意，，即，，
令，则二次函数的两个零点满足，，
于是得，将a视为x，b视为y，画出不等式组表示的可行域，如图中阴影区域，其中，
目标函数，即表示可行域内的点与定点确定的直线的斜率，
经过点的直线的斜率为，过点A平行于直线的直线的斜率为，
观察图形知，当直线从开始绕点A顺时针旋转到的过程中的每个位置的直线（不含，）都过可行域内的点，
即直线的斜率，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：涉及二元不等式组类型问题，作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的定义证明即可；
（2）求出函数的导函数，即可得到切线方程，从而求出两直线的交点坐标，即可得证；
（3）由直线的斜率与倾斜角的关系以及两角差的正切公式计算可得；
(1)
证明：令，直线：，曲线上任意一点，又，
则点到直线的距离，
则
，
即曲线上任意一点到点的距离与到直线：的距离相等，
且点不在直线：上，
所以曲线上的每一个点都在一条抛物线上，抛物线的方程即为，焦点坐标为，准线方程为；
(2)
解：对于，则，所以，，
即过点、的切线方程分别为、，
又，，所以、，
由，解得，即，
即，，又，
所以、、成等差数列，、、成等比数列；
(3)
解：由（2）可知，，，所以，
如图，设，，与轴分别交于点、、，
则，，，
又，，
所以，
，
即，
所以；
18．(1)；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，进而可得，即得；
（2）利用韦达定理法，利用斜率互为相反数得与的一次关系即得.
(1)
由，可得，
∴，又离心率为，
∴，，
∴椭圆C的方程为.
(2)
设，
由，可得，
∴，可得，
，
由直线与关于轴对称，
∴，即，
∴，
即，
∴，
可得，
所以直线方程为，恒过定点.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率即可求解；
（2）根据已知条件设出直线，与椭圆联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理及两点的斜率公式即可求解；
（3）根据已知求出直线与直线的方程，利用两直线求交点的方法及（2）的结论即可求解.
(1)
根据题意可得，解得,
所以椭圆的方程为．
(2)
由（1）可知，，
由题意可知，设直线的方程为，则
联立方程，消去得
设,则
∴，，
∴，，
∴.
(3)
由（2）知，，由题意可得直线：，：，
联立方程，解得，
∴P点在定直线上．
20．(1)；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）曲线化为普通方程，设，根据相关点法求轨迹方程即可；
（2）分与两种情况讨论，当时检验即可，当时，设出直线方程，联立直线求出点，再利用中点得出，代入圆的方程即可求解.
(1)
解：由曲线的参数方程（为参数），消参可得：，
设，由为线段的中点知，代入，
得：，即点的轨迹方程为.
(2)
射线:，
当时，或，，当时，满足为线段的中点，满足题意.
当时，设所在直线方程为，其中，
由可得，由为线段的中点可得，
又在圆上，所以，解得，所以.
综上，或.
21．(1)
(2)证明见解析，直线PQ恒过定点（-2，0）
【解析】
【分析】
（1）利用双曲线的几何性质求出a、b、c，即可求出双曲线C的方程；
（2）设直线MP与MQ的斜率分别为，，分类讨论：①当直线PQ不垂直于x轴时，利用“设而不求法”求出，判断出直线PQ过定点（-2，0）.
②当直线PQ垂直于x轴时，设，解得，判断出直线PQ过定点（-2，0）.
(1)
因为，所以，，
设双曲线C的焦距为2c，由双曲线的对称性知
设双曲线C的右焦点为F'，则，得，
则，故双曲线C的方程为.
(2)
由已知得，设直线MP与MQ的斜率分别为，，
①当直线PQ不垂直于x轴时：
设直线PQ的斜率为k，PQ的方程为，，，
由得，当时，
，，
那么
，得，符合题意.
所以直线PQ的方程为，恒过定点（-2，0）.
②当直线PQ垂直于x轴时：
设，因为P是C上的点，所以，
则，解得，
故直线PQ过点（-2，0）.
综上，直线PQ恒过定点（-2，0）.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，根据离心率和面积即可列出方程求解，.
(1)
由题意可得，∴由题意可得且，解得，，
∴椭圆的方程为：．
(2)
解法1：由（1）可得，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时，化简得： 又，解得 或（舍去），此时P到直线l的距离为
设直线l有斜率时，设，，设其方程为：，联立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，
若，则直线方程为：，∴直线恒过定点，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
解法2：公共点，左移1个单位，下移个单位，，
，，
，等式两边同时除以，，，，，
过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
【点睛】

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