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第3讲　导数与函数的极值、最值
考向预测 核心素养
考查函数的极值、最值的求法，利用函数的极值和最值研究函数的图象等，解答题居多，中高档难度. 数学抽象、逻辑推理
一、知识梳理
1．函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
[提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
常用结论
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1.
(人A选择性必修第二册P92 练习T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
2．(人A选择性必修第二册P91 例5改编)函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值点为________，极大值为________．
3．(人A选择性必修第二册P99 习题5.3T12(2)改编)当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．
参考答案
1解析：选C.设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.
当x0，
当x1则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.
2答案：－2　
3解析：构造函数f(x)＝ln x－x，
则f′(x)＝－1，
可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，
所以ln x同理可得x答案：ln x一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导数为零的点不一定是极值点．(　　)
(2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)
(4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
二、易错纠偏
1．(极值点概念理解不准致误)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．
2．(混淆极值点与极值致误)函数g(x)＝－x2的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极值点________(填“存在”或“不存在”)．
参考答案
3．(最值点不清致误)若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1解析：f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，f′(2)＝12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.
答案：2
2解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．
答案：0　不存在
3解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，
当x∈[0，2)时，f′(x)<0，
当x∈(2，3]时，f′(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上是减函数，在(2，3]上是增函数．
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.
所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，
所以m＝4.
答案：4
考点一　函数的极值问题(多维探究)
复习指导：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．
角度1　由图象判断函数的极值
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f (x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
【解析】　由题意，x∈(－∞，－3)时，y>0，(x－1)3<0 f′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(－3，1)时，y<0，(x－1)3<0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(1，3)时，y>0，(x－1)3>0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(3，＋∞)时，y<0，(x－1)3>0 f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．
【答案】　D
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
角度2　求已知函数的极值
已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值．
【解】　f′(x)＝－＝(x>0)，
当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值．
当a－1>0，即a>1时，由f′(x)<0，得0由f′(x)>0，得x>a－1，函数f(x)在(a－1，＋∞)上单调递增．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．
综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；
当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．
求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
角度3　已知函数的极值求参数
(1)(2022·洛阳市统考)若函数f(x)＝ex－(m＋1)·ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－e2，－e) B.
C. D.(－∞，－e－1)
(2)若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex－(m＋1)＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，
所以m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g(x)＝，
则g′(x)＝，
所以函数g(x)在，上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
其图象如图所示，要使m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，
则m＋1即m＋1<－e，m<－e－1，
所以实数m的取值范围是(－∞，－e－1)．故选D.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－1＋＝，
由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在(1，＋∞)上有解，对称轴为x＝，
所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a<0，
所以a∈(－∞，－1)．
【答案】　(1)D　(2)(－∞，－1)
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
|跟踪训练|
1．(2022·昆明市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是(　　)
A．4e－2 B.4e2
C．e－2 D.e2
2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
3．已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．
参考答案
1解析：选A.f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－22解析：选C.当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.
所以x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
则f′(1)＝0，且在x＝1的左边附近f′(x)<0，
x＝1的右边附近f′(x)>0，
所以f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
3解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝a－＝，
当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
当a>0时，由f′(x)<0得0由f′(x)>0，得x>，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
即f(x)在x＝处有极小值，无极大值．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，
当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
考点二　函数的最值问题(思维发散)
复习指导：会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
(2022·河北九校联考)已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
【解】　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋＝.
①若k≤0，则在上恒有f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递减．
②若0由k<，得>e，则x－<0在上恒成立，
所以<0在上恒成立，
所以f(x)在上单调递减．
综上，当k<时，f(x)在上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
若本例条件中的“k＜”改为“k≥”，求函数f(x)在上的最小值是多少？
解：f′(x)＝＝，因为k≥，
所以0<≤e，
若0<≤，即k≥e时，f′(x)≥0在上恒成立，
所以f(x)在上单调递增，f(x)min＝f＝e－k－1.
若<当k＝时，f′(x)≤0在[，e]上恒成立，f(x)在上单调递减，f(x)min＝f(e)＝＋k－1.
综上，当f(x)min＝e－k－1，当k＝时，f(x)min＝＋k－1.
求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
|跟踪训练|
(2022·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
参考答案
解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
因为－e2<－，所以a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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