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第4课时　极值点偏移问题
已知函数f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0.
若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).
若f(x)＝c的两根中点≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)、图(3).
考点　证明极值点偏移问题的常用解法(多维探究)
角度1　换元构造函数
已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2.
【证明】　不妨设x1>x2>0，
因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以＝a，
欲证x1x2>e2，即证ln x1＋ln x2>2.
因为ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，
所以即证a>，
所以原问题等价于证明>，
即ln>，
令t＝(t>1)，
则不等式变为ln t>.
令h(t)＝ln t－，t>1，
所以h′(t)＝－＝>0，
所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(t)>h(1)＝ln 1－0＝0，
即ln t－>0(t>1)，
因此原不等式x1x2>e2得证．
换元构造函数证明不等式的关键
解题的关键是把含双变量的不等式转化为仅含一个变量的等式或不等式进行求解，解题时引入变量t＝构造函数．
角度2　对称化构造函数
已知函数f(x)＝x(1－ln x)．若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．证明：x1＋x2＞2.
【证明】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ln x＋x·＝－ln x.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
不妨设02，即证x2>2－x1，
因为02－x1>1，
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以即证f(x2)又f(x1)＝f(x2)，所以即证f(x1)即证当x∈(0，1)时，f(x)－f(2－x)<0.
构造函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，
则F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－ln x－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]，
当00，
即当00，
所以F(x)在(0，1)上单调递增，
所以当0所以当0所以x1＋x2>2.
对称化构造函数证明极值点偏移问题的关键
构造函数H(x)＝f(x)－f(2x0－x)，其中x0为函数f(x)的极值点，然后求导确定H(x)的单调性，结合H(x0)＝0确定H(x)的符号，再通过f(x)的单调性得到结论．
|跟踪训练|
(2022·蓉城名校联考)已知函数h(x)＝xe－x，如果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2.
证明：h′(x)＝e－x(1－x)，
令h′(x)＝0，解得x＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表．
x (－∞，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 －
h(x) 单调递增 单调递减
由x1≠x2，不妨设x1>x2，根据h(x1)＝h(x2)结合图象(图略)可知x1>1，x2<1.
令F(x)＝h(x)－h(2－x)，x∈[1，＋∞)，
则F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x，
因为x≥1，2x－2≥0，所以e2x－2－1≥0，
所以F′(x)≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增，
又因为F(1)＝0，所以当x>1时，F(x)>F(1)＝0，
即当x>1时，h(x)>h(2－x)，则h(x1)>h(2－x1)，
又h(x1)＝h(x2)，所以h(x2)>h(2－x1)，
因为x1>1，所以2－x1<1，所以x2，2－x1∈(－∞，1)，
因为h(x)在(－∞，1)上单调递增，
所以x2>2－x1，所以x1＋x2>2得证．
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