资源简介

圆锥曲线综合
【知识梳理】
轨迹方程
1．定义法
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断． 熟记焦点的特征：1．关于坐标轴对称的点；2．标记为F的点；3．圆心；4．题上提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．注意求出轨迹方程后，也要查漏补缺．
2．直译法
根据题上条件，直接表示轨迹方程． 一般步骤为
（1）建系设点 建立适当的坐标系，设曲线上任意动点坐标M为；
（2）等量关系 根据条件列出与M有关的等式；
（3）联立化简 化成最简形式；
（4）确定范围 验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，或者曲线上是否有遗漏的点． 要检查轨迹上是否所有的点是否都符合题干，常见的限制范围有：题干涉及三角形，轨迹里面不能构成三角形的点要去掉；题干有斜率关系，斜率不存在的时候要去掉；轨迹为双曲线的时候，要检查是否左右两支上的点都符合题意．
注意审题 看清楚题干问的什么，问题为方程的时候，给出轨迹方程即可；但是问题为轨迹时，要对图形进行描述，例如动点轨迹为圆，要回答是谁为圆心，谁为半径的圆．
3．相关点法
若所求轨迹上的动点P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点Q，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代人法）．
4．交轨法
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
5．参数方程法
如果动点的坐标之间的关系比较复杂，第一步：将x,y用一个或几个参数来表示；第二步消去参数得轨迹方程；第三步，利用参数隐含的范围剔除不符合条件的点． 另外，参数法中通常选变角、变斜率等为参数．
点差法
直径问题：若过原点，则为椭圆直径，为椭圆上异于任意一点，（椭圆）；[焦点在轴上时]
中点弦问题：若椭圆(双曲线)与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，（椭圆）；（双曲线）[焦点在轴上时]
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似，不在赘述．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
注意：1．焦点在轴上的时候，椭圆和双曲线可以统一来记忆斜率乘积为．
焦点在轴上的时候，有所变化，椭圆的两组直线斜率乘积为，双曲线为，统一来记忆的话斜率乘积为．
考点聚焦突破 分类讲练 以例求法
【例1】（2021南通期中）已知抛物线，为其焦点，椭圆，，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于，两点，。求椭圆的标准方程；
【例2】（2021湖师大附中月考）已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
【例3】（2021衡水中学七调）设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点。若，的面积为，求的值及圆的方程；
【例4】（2020新课标Ⅱ）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且。求的离心率；
【例5】（2021衡水中学四调）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，且过点的直线被抛物线所截得的弦长为8。求直线的方程；
【例6】已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆。证明：坐标原点在圆上；
【例7】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点。若在线段上，是的中点，证明；
【例8】在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线。求的方程；
【例9】已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点。求的轨迹方程；
【例10】设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足。求点的轨迹方程；
【例11】已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C。求曲线C的方程；
【例12】（2021衡水中学四调）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）（多选）
A．椭圆的焦点坐标为 B．椭圆的长轴长为
C．直线的方程为 D．
【例13】（2021启东期末）已知椭圆与直线交于点，点为的中点，直线（为原点）的斜率为，则_____；
【例14】（2020长郡中学适应性考试）已知椭圆的右焦点，，，是椭圆上任意三点，，关于原点对称且满足。求椭圆的方程.
【例15】（2021衡水中学四调）已知椭圆：（）的左焦点，椭圆的两顶点分别为，，为椭圆上除之外的任意一点，直线，的斜率之积为。求椭圆的标准方程;
【跟踪训练】
1.（2021长郡中学月考）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．求椭圆的标准方程；
2.（2020长郡中学一模）已知椭圆的离心率为，且与抛物线交于两点，△（为坐标原点）的面积为。求椭圆的方程；
3.（2020长郡中学模拟）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，的准线与交于，两点，且。求的方程；
4.（2021如皋质调）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点且离心率，过点作直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
求证：；
5．（2020马鞍山三模）已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4。求圆心的轨迹方程；
6．已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，设动点形成的轨迹为曲线。求曲统的方程；
7. 已知，，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为．求曲线的方程：
8. 已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。求的方程；
9.（2021长郡中学二模）设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．点满足．求点的轨迹的方程．
10.（2021湖师大附中二模）已知斜率为的直线交椭圆于，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点。若，求直线的方程以及的取值范围；
11．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是
13.（2021衡水中学二联）已知椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上一点，关于轴的对称点为，且．求椭圆的离心率；
【达标训练】
1．过点作抛物线的弦，恰好被平分，则弦所在的直线方程是
2. 设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于，两点。若的中点为，则直线的方程为_____________.
3. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
4．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ．
5.（2021新课标甲文理）抛物线的顶点为坐标原点．焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切．求，的方程；
（2021新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点、、，点的轨迹为。求的方程；
7.（2021南通第二次适应性考试）已知椭圆：()的离心率为；且经过点，过点且斜率为的直线与抛物线：()的交于点，，且为的中点。求椭圆的标准方程及点的纵坐标；
8. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点。证明为定值，并写出点的轨迹方程；
9.（2021衡水中学期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切。求动圆的圆心轨迹的方程；
10.（2021衡水中学二联）已知圆，点是圆上的一个动点，点.若线段的垂直平分线交线段于点。求动点的轨迹曲线的方程；
11．设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4。求直线的斜率；
（2021南通一联）已知为坐标原点，椭圆：，点为上的动点，三点共线，直线，的斜率分别为，。证明：；
13．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为。证明：；
圆锥曲线综合
【知识梳理】
轨迹方程
1．定义法
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断． 熟记焦点的特征：1．关于坐标轴对称的点；2．标记为F的点；3．圆心；4．题上提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．注意求出轨迹方程后，也要查漏补缺．
2．直译法
根据题上条件，直接表示轨迹方程． 一般步骤为
（1）建系设点 建立适当的坐标系，设曲线上任意动点坐标M为；
（2）等量关系 根据条件列出与M有关的等式；
（3）联立化简 化成最简形式；
（4）确定范围 验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，或者曲线上是否有遗漏的点． 要检查轨迹上是否所有的点是否都符合题干，常见的限制范围有：题干涉及三角形，轨迹里面不能构成三角形的点要去掉；题干有斜率关系，斜率不存在的时候要去掉；轨迹为双曲线的时候，要检查是否左右两支上的点都符合题意．
注意审题 看清楚题干问的什么，问题为方程的时候，给出轨迹方程即可；但是问题为轨迹时，要对图形进行描述，例如动点轨迹为圆，要回答是谁为圆心，谁为半径的圆．
3．相关点法
若所求轨迹上的动点P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点Q，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代人法）．
4．交轨法
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
5．参数方程法
如果动点的坐标之间的关系比较复杂，第一步：将x,y用一个或几个参数来表示；第二步消去参数得轨迹方程；第三步，利用参数隐含的范围剔除不符合条件的点． 另外，参数法中通常选变角、变斜率等为参数．
点差法
直径问题：若过原点，则为椭圆直径，为椭圆上异于任意一点，（椭圆）；[焦点在轴上时]
中点弦问题：若椭圆(双曲线)与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，（椭圆）；（双曲线）[焦点在轴上时]
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似，不在赘述．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
注意：1．焦点在轴上的时候，椭圆和双曲线可以统一来记忆斜率乘积为．
焦点在轴上的时候，有所变化，椭圆的两组直线斜率乘积为，双曲线为，统一来记忆的话斜率乘积为．
考点聚焦突破 分类讲练 以例求法
【例1】（2021南通期中）已知抛物线，为其焦点，椭圆，，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于，两点，。求椭圆的标准方程；
【解析】由知，，不妨设在第一象限，由题意可知，∴，
又∵，即，则，∴，可得，所以，
所以椭圆的方程为.
【例2】（2021湖师大附中月考）已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
【解析】由，得，即，①又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，且圆与直线相切，所以，代入①得，则.所以椭圆的方程为.
【例3】（2021衡水中学七调）设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点。若，的面积为，求的值及圆的方程；
【解析】解：焦点到准线的距离为，又∵，，∴为正三角形。∴，，∴，，∴圆为：．
【例4】（2020新课标Ⅱ）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且。求的离心率；
【解析】，轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；
【例5】（2021衡水中学四调）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，且过点的直线被抛物线所截得的弦长为8。求直线的方程；
【解析】由题意得，，当直线的斜率不存在时，其方程为，此时，不满足，舍去；当直线的斜率存在时，设方程为，由得，设，则，且由抛物线定义得，即，解得，因此的方程为或.
【例6】已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆。证明：坐标原点在圆上；
【解析】设，，：，由可得，则，又，，故，因此的斜率与的斜率之积为，所以．故坐标原点在圆上．
【例7】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点。若在线段上，是的中点，证明；
【解析】由题设．设，则，且
．记过两点的直线为，则的方程为．由于在线段上，故．记的斜率为，的斜率为，则．所以．
【例8】在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线。求的方程；
【解析】设，由已知得，．所以=， ， ．再由题意可知（+） ， 即（，） (．所以曲线的方程式为．
【例9】已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点。求的轨迹方程；
解：由圆，得，圆的圆心坐标为，半径为4．
设，则，．由题意可得：．
即．整理得：．的轨迹方程是．
【例10】设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足。求点的轨迹方程；
【解析】设，，则，，．
由得 ，．因为在上，所以，因此点的轨迹方程为．
【例11】已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C。求曲线C的方程；
【详解】为的中点，且是线段的中垂线，
，又，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，设椭圆方程为（），
则，，，所以曲线C的方程为.
【例12】（2021衡水中学四调）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）（多选）
A．椭圆的焦点坐标为 B．椭圆的长轴长为
C．直线的方程为 D．
【答案】CD【解析】由椭圆方程可得焦点在轴上，且，
椭圆的焦点坐标为，故A错误；椭圆C的长轴长为，故B错误；
可知直线的斜率存在，设斜率为，，则，两式相减得，，解得，
则直线的方程为，即，故C正确；联立直线与椭圆，整理得，，,故D正确.故选：CD.
【例13】（2021启东期末）已知椭圆与直线交于点，点为的中点，直线（为原点）的斜率为，则_____；
【答案】【解析】，，，∴，
∴，，即，∴，∴，
【例14】（2020长郡中学适应性考试）已知椭圆的右焦点，，，是椭圆上任意三点，，关于原点对称且满足。求椭圆的方程.
【解析】由题可设，，，所以两式相减得，.即，所以，又，，所以，，所以椭圆的标准方程为.
【例15】（2021衡水中学四调）已知椭圆：（）的左焦点，椭圆的两顶点分别为，，为椭圆上除之外的任意一点，直线，的斜率之积为。求椭圆的标准方程;
【解析】由题意知，设点，则①，又点在椭圆上，所以②，①②联立可得，即，又及，解得：，所以椭圆方程为：.
【跟踪训练】
1.（2021长郡中学月考）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．求椭圆的标准方程；
【解析】依题意得，，得，又得，∴椭圆的方程为．
2.（2020长郡中学一模）已知椭圆的离心率为，且与抛物线交于两点，△（为坐标原点）的面积为。求椭圆的方程；
【解析】椭圆与抛物线交于两点，可设，∵的面积为，∴，解得，
∴，由己知得解得，∴椭圆的方程为.
3.（2020长郡中学模拟）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，的准线与交于，两点，且。求的方程；
【解析】因为抛物线的焦点为，由题意，可得：椭圆的两焦点为，又抛物线的准线与交于，两点，且，将代入椭圆方程得，所以，则，即①，又②，根据①②解得：，，因此椭圆的方程为；
4.（2021如皋质调）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点且离心率，过点作直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：；
【解析】（1）设椭圆的方程为，，因为椭圆过点且离心率，所以，，，，故椭圆的方程为.
（2）因为直线过点，所以可设直线的方程为，，，
联立，整理得，，，
则，，
，故.
5．（2020马鞍山三模）已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4。求圆心的轨迹方程；
【解析】设动圆圆心，由题意可得：，整理得：，所以，动圆圆心的轨迹的方程：
6．已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，设动点形成的轨迹为曲线。求曲统的方程；
【解析】设，由题意得，整理化简得，曲线方程为.
7. 已知，，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为．求曲线的方程：
【解答】设，，，由得．由，得，，，从而，，，，曲线的方程为；
8. 已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。求的方程；
解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设圆的圆心为，半径为。因为圆与圆外切并且与圆内切，所以.由椭圆的定义可知，曲线是以为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为.
9.（2021长郡中学二模）设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．点满足．求点的轨迹的方程．
【解析】设点，由得，由于点在圆上，所以，即点的轨迹方程为．
10.（2021湖师大附中二模）已知斜率为的直线交椭圆于，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点。若，求直线的方程以及的取值范围；
【解析】设，.当时，直线的方程为，将方程代入得：.①由，解得，此时的方程为.将代入①，得.
由，解得.
11．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设，则=2，=－2，
①，②，①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．
12．过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是
【答案】【解析】设，，由直线的斜率为可得，
由线段的中点为可得，，由点在椭圆上可得，作差得，所以，即，所以，所以该椭圆的离心率.
13.（2021衡水中学二联）已知椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上一点，关于轴的对称点为，且．求椭圆的离心率；
【解析】解：由椭圆的方程可得．设，则，
所以又点在椭圆上，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率．
【达标训练】
1．过点作抛物线的弦，恰好被平分，则弦所在的直线方程是
【答案】【解析】由题得直线存在斜率，设，，，，弦所在直线方程为：，即，联立，消去整理得．不满足题意，当时，由题得且，弦恰好是以为中点，．解得．满足
所以直线方程为，
2. 设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于，两点。若的中点为，则直线的方程为_____________.
解析：抛物线的方程为，设，则有，两式相减得，直线的方程为
3. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B解析：设双曲线方程为，由得
，，所以，选B
4．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ．
【答案】【解析】设，，分别代入椭圆方程相减得
，根据题意有，
且，所以，得，整理，所以．
5.（2021新课标甲文理）抛物线的顶点为坐标原点．焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切．求，的方程；
【详解】依题意设抛物线，
，所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，所以的方程为；
6.（2021新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点、、，点的轨迹为。求的方程；
【详解】因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为；
7.（2021南通第二次适应性考试）已知椭圆：()的离心率为；且经过点，过点且斜率为的直线与抛物线：()的交于点，，且为的中点。求椭圆的标准方程及点的纵坐标；
【解析】由题意得，其中，且，故，所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.
设，，因为点是的中点，所以，①，且，即，整理得，显然，，②
联立①②，得，故点的纵坐标为.
8. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点。证明为定值，并写出点的轨迹方程；
解析：如图所示，圆的圆心为，半径，
因为，所以，又因为，所以，于是 ，所以.
故为定值。又，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，由，得，故点的轨迹的方程为.
9.（2021衡水中学期中）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切。求动圆的圆心轨迹的方程；
【解析】设点到直线的距离为，依题意。设，则有 .化简得.所以点的轨迹的方程为.
10.（2021衡水中学二联）已知圆，点是圆上的一个动点，点.若线段的垂直平分线交线段于点。求动点的轨迹曲线的方程；
【解析】由题意可知，，
所以动点T的轨迹为以M，N两点为焦点的椭圆.设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.由，得，所以曲线C的方程为.
11．设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4。求直线的斜率；
【解析】设，，则，，，，
于是直线的斜率．
12.（2021南通一联）已知为坐标原点，椭圆：，点为上的动点，三点共线，直线，的斜率分别为，。证明：；【解析】由题意知，点三点共线，且在椭圆上，可得关于原点对称，设，，则，由点和在曲线上，可得，即
可得.
13．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为。证明：；
【解析】设，，则，．两式相减，并由得．由题设知，，于是．由题设得，故．

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