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第1节　平面向量的概念及线性运算
1.向量概念
①通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;
②理解平面向量的几何表示和基本要素.
2.向量运算
①借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义;
②通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义;
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律: a+b=b+a; ②结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
提醒:当a≠0时,定理中的实数λ才唯一,否则不唯一.
1.P为线段AB的中点,O为平面内任意一点 =(+).
2.若G为△ABC的重心,则有
(1)++=0;(2)=(+).
3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量的和为零向量.
4.对于起点相同、终点共线的三个向量,,(O与P1P2不共线),总有=u+v,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1.
5.对于任意两个向量a,b,都有:
(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
6.设a,b是两个不共线的向量,则x1a+y1b与x2a+y2b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
1. (必修第二册P23习题6.2T9改编)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论错误的是(　D　)
A.= B.与共线
C.与是相反向量 D.=||
解析:=,故D错误.故选D.
2.(必修第二册P22习题6.2T4改编)已知下列各式:
①++;
②+++;
③+++;
④-+-.
其中结果为零向量的个数为(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中++=0;②中+++=+0=;③中+ ++=+=;④中-+-=+=0.故①④正确.故选B.
3.如图所示,已知=3,=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　A　)
A.c=b-a
B.c=2b-a
C.c=2a-b
D.c=a-b
解析:因为=3,=a,=b,所以=+=+=+(-)=-=b-a.故选A.
4.设a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则 λ=　　　　.
解析:法一　依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以解得k=,λ=-.
法二　由题意a+λb与2a-b共线,a,b不共线,所以2λ-1×(-1)=0,λ=-.
答案:-
5.已知|a|=2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是　　　　.
解析:当a与b方向相同时,|a+b|=7;当a与b方向相反时,|a+b|=3;当a与b不共线时,3<|a+b|<7.所以|a+b|的取值范围为[3,7].
答案:[3,7]
　平面向量的概念
1.下列说法正确的是(　D　)
A.平面内的单位向量是唯一的
B.平面内所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C.所有的单位向量都是共线的
D.所有的单位向量的模相等
解析:因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个单位圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.故选D.
2.下列四个命题正确的是(　B　)
A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
B.若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则四边形ABCD为平行四 边形
C.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b
D.已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
解析:A错误,若两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等,但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;B正确,因为=,所以||=||且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;C错误,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件;D错误,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.故选B.
3.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号是(　A　)
A.① B.③ C.①③ D.①②
解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.故选A.
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度等于1个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.
向量的线性运算
　向量的线性运算
(1)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　)
A.- B.-
C.+ D.+
(2)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3, F为AE的中点,则=(　　)
A.- B.-+
C.-+ D.-
解析:(1)=-=-=-×(+)=-.故选A.
(2)根据平面向量的运算法则得=+,=,=-.
因为=+,=,
所以=-+(+-)=-+.故选B.
向量的线性运算问题要瞄准结论
(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.
(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.
　根据向量线性运算求参数
(1)在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若= x+y(x,y∈R),则x-y=　　　　.
(2)已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为　　　　.
解析:(1)由题意得=+=+,=+=+,
因为=x+y,
所以=(x+)+(+y),
所以解得
所以x-y=2.
(2)因为D为△ABC边BC的中点,所以+=2,又++=0,所以=+=2,所以=-2,所以λ=-2.
答案:(1)2　(2)-2
与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
[针对训练]
1.在△ABC中,D是AB边上的中点,则=(　　)
A.2+ B.-2
C.2- D.+2
解析:在△ABC中,D是AB边上的中点,则=+=+=+ (+)=2-.故选C.
2.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　;y=　　　　.
解析:=+
=+
=+(-)
=-
=x+y,
所以x=,y=-.
答案:　-
共线向量定理及其应用
　利用向量共线求参数
设向量e1,e2是平面内的一组基底,若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe2共线,则λ=(　　)
A. B.- C.-3 D.3
解析:法一　因为a,b共线,a≠0,所以存在μ∈R,使b=μ a,即e1-λe2=μ(-3e1-e2),又e1,e2不共线,所以所以λ=-.故选B.
法二　由题意-3×(-λ)-(-1)×1=0,所以λ=-.故选B.
使用共线向量基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.
　三点共线问题
(1)设e1与e2是两个不共线的向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为　　　　.
(2)设,不共线,求证:P,A,B三点共线的充要条件是:=λ+μ且λ+μ=1,λ,μ∈R.
(1)解析:因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得= λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1- 2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以解得k=-.
答案:-
(2)证明:充分性:因为λ+μ=1,
所以=λ+μ=(1-μ)+μ=+μ(-)=+μ.
所以-=μ.
所以=μ,所以,共线.
因为两向量有公共点A,所以A,P,B三点共线.
必要性:若P,A,B三点共线,
则=μ=μ(-).
所以-=μ-μ.
所以=(1-μ)+μ.
令λ=1-μ,则=λ+μ,其中μ+λ=1.
综上,P,A,B三点共线的充要条件是:=λ+μ且λ+μ=1,λ, μ∈R.
证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线 ,共线.
[针对训练]
1.已知向量a与b不共线,=a+m b,=n a+b(m,n∈R),则与共线的条件是(　　)
A.m+n=0 B.m-n=0
C.mn+1=0 D.mn-1=0
解析:法一　由=a+m b,=n a+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(n a+b),即所以mn-1=0.
法二　与共线的充要条件是1×1-mn=0,即mn-1=0.故选D.
2.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:法一　连接AO.由于O为BC的中点,
故=(+),
=-=(+)-=(-)+,
同理,=+(-).
由于向量,共线,故存在实数λ使得=λ,即(-)+=λ+λ(-).
由于,不共线,故得-=λ且=λ(-),
消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,
化简即得m+n=2.故选B.
法二　当MN与直线BC重合时,=,=,此时m=1,n=1,所以m+n=2.故选B.
3.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　.
解析:法一　因为向量a,b不平行,所以a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则得解得λ=μ=.
法二　由题意,=,所以λ=.
答案:
已知四边形ABCD是平行四边形,点E在CB的延长线上,BC=3, AE=AB=1,∠C=30°.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.
解析:因为AB=AE=1,∠ABE=∠C=30°,由余弦定理得BE=,因为BC=3,所以BC=BE,所以=-,所以=+=-= -,则x=1,y=-.
答案:1　-
设两个非零向量a与b不共线.若ka+b与a+kb共线,则k=　　　　.
解析:因为ka+b与a+kb共线,则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,所以k-λ=λk-1=0.消去λ,得k2-1=0,所以k=±1.
答案:±1
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
平面向量的概念 1,6 13
平面向量的线性运算 2,3,4,8
向量共线 5,7,9 11
综合问题 10,12,14 15
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　B　)
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|
D.|-λa|≥|λ|·a
解析:对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,A不正确,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.
2.矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ (λ,μ为实数),则λ2+μ2=(　A　)
A. B.
C.1 D.
解析:=+=+=+(+)=-,
所以λ=,μ=-,所以λ2+μ2=.故选A.
3.在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=(　B　)
A.+ B.+
C.+ D.+
解析:因为=-2,
所以=2.又M是BC的中点,
所以=(+)=(++)=+.故选B.
4.设D为△ABC所在平面内一点,=3,若=λ+μ,则λ-μ=(　A　)
A.- B.- C. D.
解析:由=3,可知B,C,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意及图形,可得=+=+(-)=-+,所以λ=-, μ=,所以λ-μ=--=-.故选A.
5.(多选题)已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为线段BC的中点,则=(　AC　)
A.+ B.-
C.+ D.+
解析:如图所示,已知BC中点为E,则=+=+=+ (+)=-+×=+.故选AC.
6.(多选题)在△ABC中,下列命题正确的是(　BC　)
A.-=
B.++=0
C.若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形
D.若·>0,则△ABC为锐角三角形
解析:由向量的运算法则知-=,++=0,故A错,B对;
因为(+)·(-)=-=0,
所以=,即||=||,
所以△ABC为等腰三角形,故C对;
因为·>0,
所以角A为锐角,但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选BC.
7.已知向量e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ=　　　　.
解析:法一　因为a与b共线,所以a=xb,
所以
故λ=-.
法二　由已知=,所以λ=-.
答案:-
8.如图所示,已知∠B=30°,∠AOB=90°,点C在AB上,OC⊥AB,若用和来表示向量,则=　　　　.
解析:由题意易知=+=+=+(-)=+.
答案:+
9.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上 若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
解:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+ b=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a,b不共线,所以有
解得t=.
故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.
10.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　ACD　)
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M在边BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC的面积的
解析:若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;
若=2-,即-=-,即=,
则点M在边CB的延长线上,故B错误;
若=--,即++=0,
则点M是△ABC的重心,故C正确;
如图,=x+y,且x+y=,
可得2=2x+2y,
设=2,则M为AN的中点,
则△MBC的面积是△ABC的面积的,故D正确.故选ACD.
11.(多选题)设a,b是不共线的两个平面向量,已知=a+sin α·b,其中α∈(0,2π),=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角α的值可以为(　CD　)
A. B. C. D.
解析:由题意1×(-1)-2sin α=0,sin α=-.又α∈(0,2π),故α的值可为或.故选CD.
12.在直角梯形ABCD中,A=90°,B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是　　　　.
解析:由已知可得AD=1,CD=,所以=2.
因为点E在线段CD上,所以=λ (0≤λ≤1).
因为=+,
又=+μ=+2μ =+,
所以=1,即μ=.
因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.
答案:[0,]
13.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.
(1)试用a,b表示,,;
(2)证明:B,E,F三点共线.
(1)解:在△ABC中,因为=a,=b,
所以=-=b-a,
=+=+=a+(b-a)=a+b,
=+=-+=-a+b.
(2)证明:因为=-a+b,
=+=-+
=-a+(a+b)=-a+b
=(-a+b),
所以=,与共线,且有公共点B,
所以B,E,F三点共线.
14.经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设= m,=n,m,n∈R.
(1)证明:+为定值;
(2)求m+n的最小值.
(1)证明:设=a,=b.
由题意知=×(+)=(a+b),
=-=nb-ma,
=-=(-m)a+b,
由P,G,Q三点共线得,
存在实数λ,使得=λ,
即nb-ma=λ(-m)a+λb,
从而
消去λ得+=3.
(2)解:由(1)知,+=3,
于是m+n=(+)(m+n)=
(2++)≥(2+2)=.
当且仅当m=n=时,m+n取得最小值,最小值为.
15.已知A1,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足=λ(+)(λ是实数),且++是单位向量,则这样的点M有(　C　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
解析:法一　由题意得,=-λ(+),=+
,=+,
所以++=(1-3λ)·(+),如图所示,设D为A2A3的中点,
所以(1-3λ)(+)是与共起点且共线的一个向量,显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点,故λ有两个值,即符合题意的点M有两个.故选C.
法二　以A1为原点建立平面直角坐标系(图略),
设A2(a,b),A3(m,n),
则+=(a+m,b+n),
所以M(λ(a+m),λ(b+n)),
所以=(-λ(a+m),-λ(b+n)),
=(a-λ(a+m),b-λ(b+n)),
=(m-λ(a+m),n-λ(b+n)),
所以++=((1-3λ)(a+m),(1-3λ)(b+n)).
因为++是单位向量,
所以(1-3λ)2[(a+m)2+(b+n)2]=1,
因为A1,A2,A3是平面上三个不共线的定点,
所以(a+m)2+(b+n)2>0,所以关于λ的方程有两解,故满足条件的M有两个.故选C.

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