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2022年中考数学真题汇编：勾股定理
1.（2022大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )
A. B. C. D.
2.（2022河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对 B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
3.（2022大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A. B. C. D.
4.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.（2022龙东地区）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
6.（2022遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
7.（2022牡丹江、鸡西）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A. (600－250)米 B. (600－250)米
C. (350＋350)米 D. 500米
8.（2022牡丹江、鸡西）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为________
9.（2022牡丹江、鸡西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．
10.（2022齐齐哈尔）已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是________________________．
11.（2022齐齐哈尔）在△ABC中，，，，则______________．
12.（2022贵阳）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是_______，_______度．
13.（2022龙东地区）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
14.（2022黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则______cm．
15.（2022龙东地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
16.（2022河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
17.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
18.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为__________．
19.（2022哈尔滨）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．
20.（2022大庆）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．
21.（2022河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；
（2）AE＝______．
22.（2022哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4．连接，请直接写出线段的长．
23.（2022龙东地区）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
24.（2022贵阳）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25.（2022铜仁）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF长．
26.（2022遵义）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
27.（2022大庆）如图，已知是外接圆的直径，．点D为外的一点，．点E为中点，弦过点E．．连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当时，求弦的长．
28.（2022黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
①求证：；
②若，，求的半径．
29.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
30.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
（1）问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
31.（2022哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
32.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，点在上．
求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
（2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．
①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．
②若，试求出正方形的面积．
33.（2022河北）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
34.（2022河南）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
2022年中考数学真题汇编：勾股定理参考答案
1.（2022大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )
A. B. C. D.
【答案】解：设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，
∵，
∴，（，） ，
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（-4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），
∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），
∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为，故B正确．
故选：B．
2.（2022河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对 B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
【答案】过点C作于，在上取
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案；
点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案，
点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）；
故选：B
3.（2022大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故选B．
4.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：连结OA
∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故选A．
5.（2022龙东地区）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
【答案】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故选：A．
6.（2022遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】解：在中，
，，
，
，
设到的距离为，
，
，
故选B．
7.（2022牡丹江、鸡西）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A. (600－250)米 B. (600－250)米
C. (350＋350)米 D. 500米
【答案】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．
∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故选B．
8.（2022牡丹江、鸡西）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为________
【答案】∵圆锥的底面半径是5，高是12，
根据勾股定理得：圆锥的母线长为13，
∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13＋2π×5＝26＋10π．
故答案为26＋10π．
9.（2022牡丹江、鸡西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．
【答案】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC CD+AB DE=AC BC，
即×6 CD+×10 CD=×6×8，
解得CD=3．
10.（2022齐齐哈尔）已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是________________________．
【答案】解：根据母线和高，用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径，
则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长，
再根据弧长公式，得到，算出．
故答案是：．
11.（2022齐齐哈尔）在△ABC中，，，，则______________．
【答案】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
12.（2022贵阳）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是_______，_______度．
【答案】
，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或，
对角线，相交于点，
，
，
，
，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
13.（2022龙东地区）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.（2022黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则______cm．
【答案】解：连接如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
15.（2022龙东地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
【答案】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB=，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案为：．
16.（2022河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【答案】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
在中，，
故答案为：．
17.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
【答案】解：作点P关于CE的对称点P′，
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，
∴点P′在CD上，
过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP=MN+NP′≤MF，
∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，
由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，
∵AD=CD=2，DE=1，
∴CE==，
∵CE×DO=CD×DE，
∴DO=，
∴EO=，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO=∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，
∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE=GM，
∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG=90°，
∴四边形DEMG为菱形，
∴EG=2OE=，GM= DE=1，
∴CG=，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴，即，
∴FG=，
∴MF=1+=，
∴MN+NP的最小值为．
故答案为：．
18.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为__________．
【答案】如图，过点作，且，连接，如图1所示，
，
又，
，
，
，
当三点共线时，取得最小值，
此时如图2所示，
在等腰直角三角形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
，
即取得最小值为，
故答案为：．
19.（2022哈尔滨）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．
【答案】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
20.（2022大庆）如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．
【答案】解：∵正方形的周长是周长的2倍，
∴，
，
①若，则，故①不正确；
如图，在的延长线上取点，使得，
四边形是正方形，
，，
，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
即，故②正确；
如图，作于点，连接，
则，
，，
，
同理可得，
，
关于对称轴，关于对称，
，
，
，
是直角三角形，
③若，
，
，故③不正确，
，
若，
即，
，
，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故④不正确．
故答案为：②．
21.（2022河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；
（2）AE＝______．
【答案】 解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，
∴△ACG≌△CFD，
∴∠CAG=∠FCD，
∵∠ACE+∠FCD=90°，
∴∠ACE+∠CAG=90°，
∴∠CEA=90°，
∴AB与CD是垂直的，
故答案为：是；
（2）AB=2，
∵AC∥BD，
∴△AEC∽△BED，
∴，即，
∴，
∴AE=BE=．
故答案为：．
22.（2022哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4．连接，请直接写出线段的长．
【答案】
（1）如图
（2）如图，
23.（2022龙东地区）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
【答案】
（1）解：如图所示△A1B1C1即为所求，
；
（2）如图所示△A2B2C2即为所求，；
（3）∵
∴点旋转到点所经过的路径长为．
24.（2022贵阳）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】
（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）连接ME，如图，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的长为：．
25.（2022铜仁）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF长．
【答案】
（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA=∠C．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
∴∠A=∠C．
∴AB=BC；
（2）解：连接BD，则∠ADB=90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA==，AB=18，
∴BD=6．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，
∴∠A=∠FDB．
∴sin∠A=sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF==，
∴BF=2．
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴=．即：=．
解得：BE=．
∴EF=．
26.（2022遵义）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】
（1）证明：正方形和菱形，
，
在与中
（）
（2）如图，连接交于点，
，
，
在中，
，
，
中，，
，
在中，，
，
，
．
27.（2022大庆）如图，已知是外接圆的直径，．点D为外的一点，．点E为中点，弦过点E．．连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当时，求弦的长．
【答案】
（1）解：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵ OC 是 OO 的半径，
∴CD 是 OO 的切线；
（2）如下图，连接AF、CG，
∴∠AFE=∠ECG，
∵∠AEF=∠CEG，
∴△FEA∽△CEG，
∴，
∵点E为AC中点，
∴AE=CE，
∵EF=2EG，
∴，
∴CE2=2EG2，
∵∠BAC=90°，点E为AC中点，
∴EOAB，
∴∠OEC=90°，
∴OC2-OE2=EC2，
∴OC2-OE2=2EG2，
∴（OC+OE）（OC OE）=EG EF；
（3）作ON⊥FG，延长FG交线段于点W，
∵BC=16，
∴OC=8，
∵FGBC，
∴四边形ONWC为矩形，
∵EF=2EG，
∴FG=3EG，
∴NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG，
由（2）可知：OC2-OE2=2EG2，
∴CE2=2EG2，
∴OE2=64-2EG2，ON2=64-2EG2-EG2，EW2=（8-0.5EG）2，
∴（8-0.5EG）2+64-2EG2-EG2=2EG2，
解得EG=，
∴FG=3EG=．
28.（2022黔东南）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
①求证：；
②若，，求的半径．
【答案】（1）如下图所示
∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；
（2）
①如下图所示，连接OC、OB
∵BD是的切线
∴
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
②如下图所示，连接CE
∵与是对应的圆周角
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
∵
∴
∴的半径为．
29.（2022河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】
（1）解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
30.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
（1）问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
【答案】
（1），
是等边三角形，
四边形平行四边形，
，
，
为边上的高，
，
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，为底边上的高，则
点在边上，
当时，取得最小值，最小值为；
（3）如图，连接，
，则，
设， 则，，
折叠，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
延长交于点，如图，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
31.（2022哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
【答案】
（1）如图1．∵点D，点E分别是半径的中点
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）如图2．∵，
∴
由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）如图3．∵，
∴
∴
连接．∵
∴，
∴，
∵
设，
∴
在上取点M，使得，连接
∵，
∴
∴，
∴为等边三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
过点H作于点N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
32.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，点在上．
求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
（2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．
①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．
②若，试求出正方形的面积．
【答案】
（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC为钝角三角形，
∴以、、为边的三角形是钝角三角形．
（2）证明：①以、、为边的三角形是直角三角形．
连结CG，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG为正方形的对角线，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC为直角三角形，
∴以、、为边的三角形是直角三角形；
②连结BD，
∵△AGC为直角三角形，，
∴AC=，
∴四边形ABCD正方形，
∴AC=BD=，
∴S四边形ABCD=．
33.（2022河北）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】
（1）∵，
∴
则在四边形中
故四边形为矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
（2）①过点Q作于S
由（1）得：
在中，
∴
平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过的面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：
旋转阶段：
由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T
设，则
在中：
设，则，，
，，
∵DM为直径
∴
在中 ：
在中：
在中：
∴，
PQ转过的角度：
s
总时间：
③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：
∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得
综上所述：．
34.（2022河南）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】
（1）解：
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
（3）
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴

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