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2022年中考数学真题汇编：全等三角形
1.（2022龙东地区）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
2.（2022恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A. 当时，四边形ABMP为矩形
B. 当时，四边形CDPM为平行四边形
C. 当时，
D. 当时，或6s
3.（2022龙东地区）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
4.（2022常德）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ）
A. B. ，
C. D.
5.（2022黄冈、孝感、咸宁）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.（2022十堰）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.（2022随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（ ）
A. 只有① B. ①② C. ①③ D. ②③
8.（2022齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）
9.（2022荆州）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况）
10.（2022龙东地区）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使．
11.（2022黄冈、孝感、咸宁）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．
12（2022鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．
13.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是_________________．
14.（2022娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．
15.（2022武汉）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是_________．
16.（2022荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
（1）在图1中，作出与△ABC全等所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；
（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
17.（2022武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
18.（2022衡阳）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
19.（2022恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．
20.（2022随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
（1）求证；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
21.（2022鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
（1）求证：DF=CF；
（2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．
22（2022宜昌）已知菱形中，是边的中点，是边上一点．
（1）如图1，连接，．，．
①求证：；
②若，求的长；
（2）如图2，连接，．若，，求的长．
23.（2022齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
24.（2022怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
25.（2022衡阳）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
（1）直线与⊙相切吗？并说明理由；
（2）若，，求长．
26.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．
（1）求，的值：
（2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
27.（2022常德）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接．
（1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②．
（2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．
28.（2022牡丹江、鸡西）在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、．
（1）如图1，当点在边上时，写出与的数量关系 ．（不必证明）
（2）如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
29.（2022娄底）如图，以为边分别作菱形和菱形（点，，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点．设．
（1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值．
（2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由．
30.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．
（1）填空：当，，时，
①如图1，若，，则_____________，_____________；
②如图2，若，，则_____________，_____________；
（2）如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
（3）如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．
31.（2022衡阳）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．
（1）当点与点重合时，求的值；
（2）当为何值时，与全等；
（3）求与的函数关系式；
（4）以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长．
32.（2022龙东地区）和都是等边三角形．
（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
（2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
33.（2022齐齐哈尔）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB=2，BC=3，则 ；
（3）当AB=m , BC=n时． ．
（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
34.（2022十堰）已知，在内部作等腰，，．点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点．
（1）如图1，当时，线段与数量关系是_________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若，，，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）．
35.（2022武汉）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
36.（2022宜昌）已知，在中，，，以为直径的与交于点，将沿射线平移得到，连接．
（1）如图1，与相切于点．
①求证：；
②求的值；
（2）如图2，延长与交于点，将沿折叠，点的对称点恰好落在射线上．
①求证：；
②若，求的长．
2022年中考数学真题汇编：全等三角形参考答案
1.（2022龙东地区）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
【答案】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故选：A．
2.（2022恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A. 当时，四边形ABMP为矩形
B. 当时，四边形CDPM为平行四边形
C. 当时，
D. 当时，或6s
【答案】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
PM=CD，且PQ与CD不平行，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
PM=CD，且PM∥CD，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；
故选：D．
3.（2022龙东地区）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
【答案】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中
∴
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正确；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴
所以②正确；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③正确；
④作EG⊥AC于点G，则EGBO，
∴
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC=，
若，则，
∴
∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④错误；
⑤∵，S四边形OECF=S△COE+S△COF
∴S四边形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=
∴S四边形OECF=
所以⑤正确；
综上，①②③⑤正确，④错误，
故选 B
4.（2022常德）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B．∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确．
C．∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴，故C正确；
D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=CG，
∴CG=2FG．
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG．故D错误．
故选D．
5.（2022黄冈、孝感、咸宁）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC EF＝CF CD；故③不正确，
④四边形是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF．故④正确；
故选B
6.（2022十堰）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】解：∵△ABC等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
7.（2022随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（ ）
A. 只有① B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，
∵，
∴∠APF＝∠APE＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，CE＝BC，CF＝CD，
∴ CE＝CF，
∵∠C＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EFBD，EF＝BD，
∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，
∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形，
∴AO＝BO，AO＝DO，
∴BO＝DO，
∵M，N分别为BO，DO的中点，
∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO，
∴OM＝BM＝ON＝ND，
∵∠BAO＝∠DAO＝45°，
∴由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM，
连接PC，如图，
∴NF是△CDO的中位线，
∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND，
∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，
∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，
∴四边形FNOP是矩形，
∴四边形FNOP是正方形，
∴NF＝ON＝ND，
∴△DNF是等腰直角三角形，
∴图中的三角形都是等腰直角三角形；
故①正确，
∵PEBM，PE＝BM，
∴四边形MPEB是平行四边形，
∵BE＝BC，BM＝OB，
在Rt△OBC中，BC＞OB，
∴BE≠BM，
∴四边形MPEB不是菱形；
故②错误，
∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，
∴△MOP≌△CPF（SAS），
∴
，
故③正确，
故选：C
8.（2022齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）
【答案】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加条件是：，利用如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OA=OC，利用如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OB=OD，利用如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可）
9.（2022荆州）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况）
【答案】（答案不唯一）
10.（2022龙东地区）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使．
【答案】解：添加OB=OD，
△AOB和△COD中，
，
∴（SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）
11.（2022黄冈、孝感、咸宁）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断．
故答案为：或或．
12（2022鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．
【答案】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．
13.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是_________________．
【答案】解：∵点C是上一点，与点D关于对称，
∴AB为CD的垂直平分线，
∴BD=BC，AD=AC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴CD平分∠BCE，故①正确；
在△ADB和△ACB中，
∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，
∴，
∴BE=BC=BD，故②正确；
∵AC≠AE，
∴≠，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，故③错误；
连结OB，
∵，CE为弦，
∴OB⊥CE，
∵，
∴OB⊥BD，
∴BD为的切线．故④正确，
∴其中所有正确结论的序号是①②④．
故答案为①②④．
．
14.（2022娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．
【答案】∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①对
∵和是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时最小
当时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③
15.（2022武汉）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是_________．
【答案】连接LC、EC、EB，LJ，
在正方形，，中
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
∵.
∴,
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
故答案为：80．
16.（2022荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
（1）在图1中，作出与△ABC全等所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；
（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
【答案】
（1）如图所示．
（2）如图所示．
17.（2022武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
【答案】
（1）解：作图如下：
取格点，连接，且，所以四边形是平行四边形，连接 ，与AC的交点就是点E，所以BE=EF，所以点F即为所求的点；
连接CF，交格线于点M，因为四边形ABCF是平行四边形，连接DM交AC于一点，该点就是所求的G点；
（2）解：作图如下：
取格点D、E，连接DE，AC平行于DE，取格点R，连接BR并延长BR交DE于一点H，连接AH，此线段即为所求作线段；
理由如下：取格点W连接AW、CW，连接CR，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵点是的中点，
∴点是的中点，
即，
∴垂直平分，
∴．
连接，交AC于点，连接交于点，则该点就是点关于直线的对称点．
理由如下：∵垂直平分，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，
∴，
∴，两点关于直线对称.
18.（2022衡阳）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19.（2022恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．
【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
20.（2022随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
（1）求证；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
【答案】
（1）四边形是正方形，是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）由题意可知：，
，
，
，，
由（1）得．
21.（2022鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
（1）求证：DF=CF；
（2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．
【答案】
（1）解：在△DCF和△DCO中，
，
∴△DCF≌△DCO（ASA），
∴DF=DO，CF=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴DF=CF=OC=OD；
（2）解：∵△DCF≌△DCO，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OD=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴．
22（2022宜昌）已知菱形中，是边的中点，是边上一点．
（1）如图1，连接，．，．
①求证：；
②若，求的长；
（2）如图2，连接，．若，，求的长．
【答案】
（1）（1）①∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴.
②如图，连接.
∵是边的中点，，
∴，
又由菱形，得，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴.
（2）如图，延长交的延长线于点，
由菱形，得，，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，而为公共角.
∴，
∴，
又∵，
∴.
23.（2022齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
【答案】
（1）连接BD
∵AB是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴BF是的切线
（2）连接OE，与BD相交于M点
∵，，
∴为等腰直角三角形
∴，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
24.（2022怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】
（1）如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，
∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，
∴，
则MP=NP；
（2）∵为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
25.（2022衡阳）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
（1）直线与⊙相切吗？并说明理由；
（2）若，，求长．
【答案】（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得
26.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．
（1）求，的值：
（2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入和，
解得，，；
（2）由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，
∵，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
27.（2022常德）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接．
（1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②．
（2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．
【答案】
（1）证明：①证明过程：
四边形ABCD为矩形，
平分
为等腰直角三角形
②证明：连接BG，CG，
G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，
平分，
（2）作，如图所示
由（1）同理可证：
四边形ABCD为平行四边形
G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得
，
28.（2022牡丹江、鸡西）在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、．
（1）如图1，当点在边上时，写出与的数量关系 ．（不必证明）
（2）如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
【答案】
（1）解：如图1，延长交于点，
∵是的中点，
∴PD=PF，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是正三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，
是的中垂线，
在中，，
．
（2）解：，理由如下：
如图2，延长交于点，连接，，
，正三角形，
∴，
，
在和中，
，，
，，
在和中，
，，
，
，
，
．
（3）解：猜想： ．
证明：如图3，延长到，使，连接，，，作FEDC，
是线段的中点，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，，点、、又在一条直线上，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
即
，，
，，
．
29.（2022娄底）如图，以为边分别作菱形和菱形（点，，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点．设．
（1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值．
（2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由．
【答案】．
（1）证明：如图所示：连接BF、CE，
∵菱形和菱形（点，，共线），
∴点G、B、E共线，
，
，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴与相互平分，
即：无论为何值，与相互平分；
又∵，
∴四边形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形和菱形，
，
为等边三角形，
；
（2）如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，
∵垂直平分
，
由（1）知，O为BC的中点，
∴动点在以O为圆心，为直径且处于菱形内的圆弧上，
，
，
，
，
在和 中，
，
，
，
∵，菱形，
∴四边形BCFG为正方形，
，
，
设，则 ， ，
在 中，
，
，
．
30.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．
（1）填空：当，，时，
①如图1，若，，则_____________，_____________；
②如图2，若，，则_____________，_____________；
（2）如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
（3）如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．
【答案】
（1）解：①∵，，，是的角平分线，
∴四边形DECF为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF为正方形，
∵，
∴∠A=90°-∠B=45°=∠B，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，且AD=BD=m,
∵，
∴BD=n=，
∴BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5，ED=DF=5，
∴S= ；
故答案为，25；
②∵，，，是的角平分线，
∴四边形DECF为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF为正方形，
∵，
∴∠A=90°-∠B=30°，
∴DE=，AE=ADcos30°=6，DF=DE=，
∵∠BDF=90°-∠B=30°，
∴BF=DFtan30°=2，
∴BD=DF÷sin60°=4，
∴BD=n=4，
∴S=，
故答案为：4；；
（2）解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连结DI，
∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵是的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DG=DH，
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH=90°，
∵，
∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，
∴∠FDG=∠EDH，
在△DFG和△DEH中，
，
∴△DFG≌△DEH（ASA）
∴FG=EH，
在△DBG和△DIH中，
，
∴△DBG≌△DIH（SAS），
∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，
∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，
∴S△ADI=，
∴S=；
（3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连结DR，过点A作AS⊥DR于S，
∵是的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，
∴DP=DQ，
∵∠ACB=60°
∴∠QDP=120°，
∵，
∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，
∴∠FDQ=∠EDP，
在△DFQ和△DEP中，
，
∴△DFQ≌△DEP（ASA）
∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，
在△DBQ和△DRP中，
，
∴△DBQ≌△DRP（SAS），
∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，
∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，
∵DB=DE，DB=DR，
∴△DBF≌△DRE，
∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，
∴S=S△ADR=．
31.（2022衡阳）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．
（1）当点与点重合时，求的值；
（2）当为何值时，与全等；
（3）求与的函数关系式；
（4）以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长．
【答案】
（1）与重合时，
∵，
∴，
∴.
（2）①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
②当，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴或.
（3）①当时，
，
∴，
∴.
②当时，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（4）连接.
∵为正三角形，
∴，
在Rt△APE中，，
∴为定值.
∴的运动轨迹为直线，
，
当时，
当时，
∴的运动路径长为.
32.（2022龙东地区）和都是等边三角形．
（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
（2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
（2）解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
33.（2022齐齐哈尔）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB=2，BC=3，则 ；
（3）当AB=m , BC=n时． ．
（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
【答案】
（1）解：，理由如下：
∵AB=BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵E、F为BC，AB中点，
∴BE=BF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵H为DF中点，G为AD中点，
∴GH=，
∴．
（2）解：，
连接AF，如图所示，
由题意知，BF==1，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=2:3，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
（3）解：，
连接AF，如图所示，
由题意知，BF==，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=m：n，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
（4）解：过M作MH⊥AB于H，如图所示，
由折叠知，CM=PM，∠C=∠MPN，
∵PM平分∠APN，
∴∠APM=∠MPN，
∴∠C=∠APM，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=，
设CM=PM=x，HM=y，
由知，，
即，，
∵HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∴，
即，，
∴，
解得：x=，
故答案为：．
34.（2022十堰）已知，在内部作等腰，，．点为射线上任意一点（与点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点．
（1）如图1，当时，线段与数量关系是_________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若，，，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）．
【答案】
（1）解：BF=CF；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知，，AE=AD，
∵∠BAC=90°，
∴，，
∴，
∵AC=AB，
∴（SAS），
∴，
∴，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中，
∴（HL），
∴BF=CF．
故答案为：BF=CF．
（2）成立；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知，，AE=AD，
∵，
∴，，
∴，
∵AC=AB，
∴，
∴，
∴，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中，
∴（HL），
∴BF=CF．
（3）∵，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴，，
当时，连接AF，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∴，
∵，
，
即，
，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
当时，AD与AC重合，如图所示：
∵，，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵，
∴，
∴此时点P与点D重合，；
当时，连接AF，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∴，
∵，
，
即，
，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
综上分析可知，或PD=0或．
35.（2022武汉）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】
（1）[问题探究]：（1）如图，
中，，是的中点，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取的中点，连接．
∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）[问题拓展]如图，取的中点，连接．
∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
．
36.（2022宜昌）已知，在中，，，以为直径的与交于点，将沿射线平移得到，连接．
（1）如图1，与相切于点．
①求证：；
②求的值；
（2）如图2，延长与交于点，将沿折叠，点的对称点恰好落在射线上．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】
（1）①如图1
∵沿射线方向平移得到
∴
∵
∴
方法一：连接，
∵与相切于点
∴
∴
∵，为公共边
∴
∴
方法二：∵是的直径
∴与相切于点
∵与相切于点
∴
②如第23题图2
方法一 ：
过点作于点
∴
由（1）已证
∴四边形是矩形
∴，
由（1）已证：
同理可证：
设，
在中，
∴
∴
即
方法二：
图3，连接，，
∵与相切于点，与相切于点，与相切于点
∴，，，
∵
∴
∴
∴
∴
又∵与相切于点
∴
∴
∴
∴
∴，即
∵的直径为6
∴
∴
（2）①方法一：
如图4
延长交于点
设
∵在中，
∴
∴
∴
∵沿射线方向平移得到，沿折叠得到
∴
∴
∴
∴
方法二：
∵是的直径，
∴，
设，在中，，
∴，
∴，
∵沿射线方向平移得到，
沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴.
方法三：
如图，延长交于点
∵沿射线方向平移得到
∴，
∵沿折叠得到
∴
∴
∴，
∵
∴
∵是直径
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
∴
②连接，交于点，如图6
∵沿折叠，点的对称点为
∴，
∵是的直径
∴，点恰好落在射线上
∴
∵沿射线方向平移得到
∴，
∴点B在的延长线上
∴点B，，这三点在同一条直线上
而为的直径
∴
在和中
；；
∴
∴
设，则
∵
∴
而
∴
∴
∴
解得：，（不合题意，舍）
∴
在中，
∴
∴
在中，
∴
即的长为

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