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图形的相似
（2013，永州）如图，已知ABBD，CDBD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=，CD=，BD=，请问满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
（2013?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　1.5米　．
考点：
相似三角形的应用．
分析：
根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即=，
则=，
∴h=1.5m．
故答案为：1.5米．
点评：
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
　（2013，成都）如图，点在线段上，点，在同侧，，，.
（1）求证：；
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线与点；
i）当点与，两点不重合时，求的值；
ii）当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证△ABD≌△CEB→AB=CE；
（2）如图，过Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，
∴，；
设AP= ，QH=，则有
∴BH=，PH=+5
∴，即
又∵P不与A、B重合，∴即，
∴即
∴
(3)
（2013?广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．
考点：
作图—应用与设计作图．
专题：
作图题．
分析：
分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．
解答：
解：根据勾股定理，斜边AB==4，
①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，
∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，
∴=，
解得r=4﹣4，
②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，
∴=，
解得r=2，
作出图形如图所示：
点评：
本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．
（2013?眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为_________
（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC＝，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF。
⑴求证：△DEC∽△FDC；
⑵当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度。
（2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。
2013?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（　　）
　
A．
2：5
B．
2：3
C．
3：5
D．
3：2
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴DE：AB=2：5，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故选B．
点评：
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
（2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；
（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．
解答：
解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=．
∴S△ABC==；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=x，AG=x，
∴y==x2，
∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y最大=，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=（3﹣x），
∴y=，
=﹣；
（3），如图4，∵y=﹣；
∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，
y=﹣（x﹣2）2+，
∵a=﹣＜0，开口向下，
∴x=2时，y最大=，
∵＞，
∴y最大时，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．
∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°，
∴△MDO是等边三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．
∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°，
∴∠DME=90°，
∴DE是直径，
S⊙O=π×12=π．
（2013?雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（　　）
　
A．
1：3
B．
2：3
C．
1：4
D．
2：5
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析：
先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．
解答：
解：∵DE为△ABC的中位线，
∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE为△ABC的中位线，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．
故选A．
点评：
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．
点评：
本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．
　（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=　　..
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF=．
故答案为：．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．
（2013宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．
其中正确的是　①②④　（写出所有正确结论的序号）．
考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．
分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；
④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．
解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=；
故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S△ADF=DF?AG=×6×=3，
∵△ADF∽△AED，
∴=（）2，
∴=，
∴S△AED=7，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4；
故④正确．
故答案为：①②④．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．　
（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（　　）
　
A．
11
B．
10
C．
9
D．
8
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
分析：
判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
解答：
解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9﹣6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选D．
点评：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．
　（2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形．
分析：
（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．
（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．
（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
解答：
（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=AP1=1，
∵∠P1CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP1=P1D=，
又∵CP1=CQ，
∴CQ=；
（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=BC，
由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，
∴△AP1C∽△BEC，
∴AP1：BE=AC：BC=：1，
设AP1=x，则BE=x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S△P1BE=×x（2﹣x）=﹣x2+x
=﹣（x﹣1）2+，
故当x=1时，S△P1BE（max）=．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．
（2013?沈阳）如图，中，AE交BC于点D，，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（ ）
A． B． C． D．
（2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）
　
A．
1：4
B．
1：3
C．
2：3
D．
1：2
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：
首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
解答：
解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴=，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故选D．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
（2013?黄石）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线.
（1）如图2，在△中，°，，的平分线交于点，请问点是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△在（1）的条件下，如图（3），请问直线是不是△的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形中，，对角线、交于点，延长、交于点，连接交梯形上、下底于、两点，请问直线是不是直角梯形的黄金分割线，并证明你的结论.
解析：
解：（1）点是边上的黄金分割点，理由如下：
∵°，
∴°
∵平分
∴°
∴°
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴是边上的黄金分割点 （3分）
（2）直线是△的黄金分割线，理由如下：
设的边上的高为，则
，，
∴，
∵是的黄金分割点
∴
∴
∴是△的黄金分割线 （3分）
（3）不是直角梯形的黄金分割线
∵∥
∴ ，
∴ ①
②
由①、 ②得 即 ③
同理，由 ， 得
即 ④
由③、④得
∴
∴
∴ 梯形与梯形上下底分别相等，高也相等
∴梯形梯形梯形
∴不是直角梯形的黄金分割线 （3分）
（2013?荆州）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，角∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为D
A.3：4 B.1：2 C.2：3 D.1：3
　（2013?武汉）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴，即．
（3）．
（2013?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
分析：
依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．
解答：
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴=，=，=，
解得：CD=，DE=，EF=．
故选C．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．
（2013?宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与⊿ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A.（6，0） B.（6，3） C.（6，5） D.（4，2）
（2013?宜昌）如图1，在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连接FE，FC，BF.
（1）求证：BE=BF；
（2）如图2，若将⊿AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K.
①求证：⊿AGC∽⊿KGB；
②当⊿BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值.
（2013?莆田）下列四组图形中，一定相似的是（　　）
　
A．
正方形与矩形
B．
正方形与菱形
　
C．
菱形与菱形
D．
正五边形与正五边形
考点：
相似图形．
分析：
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解答：
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、菱形与菱形，对应边不值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
点评：
本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
　
（2013?莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
考点：
黄金分割．
分析：
（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
解答：
解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC?CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC=．
点评：
本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．
（2013?莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；
（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考；
②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考．
解答：
（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，
如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND与△CDM中，
∴△AND≌△CDM（ASA），
∴DM=DN．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED与△DFM中，
∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．
（2）①答：AE=DF．
证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，
∴，即MF?EN=DE?DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴，即MF?EN=AE?BF．
∴DE?DF=AE?BF，
∴（AD﹣AE）?DF=AE?（BD﹣DF），
∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF．
证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．
∵D为AB中点，
∴DQ=PC=PB．
易证△DMF∽△NDE，∴，
易证△DMP∽△DNQ，∴，
∴；
易证△AEN∽△DPB，∴，
∴，∴AE=DF．
②答：DF=kAE．
证法一：由①同理可得：DE?DF=AE?BF，
∴（AE﹣AD）?DF=AE?（DF﹣BD）
∴AD?DF=AE?BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．
证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．
易证△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．
由①同理可得：，
∴；
又∵，
∴，
∴DF=kAE．
点评：
本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想．
　（2013?厦门）如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，
DE＝2，则BC＝ 6 ．
（2013?吉林省）如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1㎝/s，点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿B C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动.在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为（㎝2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为（s）
（1）当点P运动到点F时，CQ= ㎝；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）当点P在线段FD上运动时，求与之间的函数关系式.
（2013?白银）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　5　米．
考点：
相似三角形的应用．
分析：
易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
解答：
解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
点评：
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
（2013?宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有　①②③　．（只填序号）
考点：
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析：
根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可．
解答：
解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=2，
∴△ADE∽△ABC，
故①②正确；
∵△ADE∽△ABC，=，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，
△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，
故③正确，④错误．
故答案为：①②③．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1)当t＝ ▲ s时，四边形EBFB'为正方形；
(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．
（1）当ι=　7　时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．
①求s与ι之间的函数关系式；
②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得；
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
解答：
解：（1）在直角△ABC中，AC==4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5．
根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7．
（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒．
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=．
∵PC=BC﹣BP=3﹣t，
∴×（2t﹣4）=3﹣t，
解得：t=；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14﹣2t），
故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t2+10t﹣2）．
故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线．
则AP=AC=2，PD=BC=，
则S△APD=AP?PD=×2×=．
AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．
则PC边上的高是：AQ=×4=．
则S△PCQ=PC?=×2×=．
故答案是：7．
点评：
本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．
（2013?南京）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC
于点M，交过点C的直线于点P，且(BCP=(ACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为　（2，4﹣2）　．
考点：
相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
分析：
根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．
解答：
解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC，
∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴=，
即=，
解得BP=2﹣2，
∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
∴点P的坐标为（2，4﹣2）．
故答案为：（2，4﹣2）．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键．
（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=　2.5　s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
解答：
解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，
即：10﹣t=3t，
解得t=2.5；
（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有，即，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
则有，即，
解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．
∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，
由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，
即：52+（6﹣3t）2=（3t）2
解得：t=；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2
解得：t=3.9．
∵≠3.9，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．
点评：
本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．
　（2013?泰州） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.
(1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；
(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。
解： (1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABQ=180°
∴∠ABQ=∠ADP =90°
∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°
∴∠QAB+ ∠BAP=90°
又∵∠PAD+∠BAP=90°
∴∠PAD=∠QAB
在△ADP与△ABQ中
∵
∴△ADP∽△ABQ
（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC ∴
∵点M是PQ的中点 ∴
∴
又∵
∴
∵△ADP∽△ABQ
∴ ∴
∵
∴
在Rt△MBN中，由勾股定理得：
即：
当即时，线段BM长的最小值.
(3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10
由△ADP∽△ABQ得解得：
∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，
当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：
．（2013?南通）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ▲ ．
（2013?南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
（2013?钦州）如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是　1：4　．
考点：
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．3718684
分析：
由中位线可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比为1：2；根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即得结果．
解答：
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1：2，
∵相似三角形的面积比是相似比的平方，
∴△ADE与△ABC的面积的比为1：4（或）．
点评：
本题要熟悉中位线的性质及相似三角形的判定及性质，牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．
（2013?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．
解答：
（1）解：∵=，
∴=．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴=，
∴==，
∴==；
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，
∴AF=OA．
（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴==，
∴=．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴==．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴==，
∴=．
∴CG=BG．
点评：
本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．
　
　（2013?北京） 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于
A. 60m B. 40m
C. 30m D. 20m
答案：B
解析：由△EAB∽△EDC，得：，即，解得：AB＝40
（2013?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为　7　．
考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：
先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则=，
即=，
解得：CE=2，
故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．
故答案为：7．
点评：
此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
（2013?天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　6　；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求　．
考点：
作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．
专题：
计算题．
分析：
（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；
（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
解答：
解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；
（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，
与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，
则四边形DEFG即为所求．
故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
点评：
此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．
（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
考点：
相似形综合题．
分析：
（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E（0，1）；
（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则
A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．
解答：
解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴=，即=，
解得，OE=1，
∴点E的坐标为（0，1）；
（Ⅱ）①如图②，连接EE′．
由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又BE=OB﹣OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，
∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．
当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．
②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易证△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴==，
∴AA′=×2=，
∴EE′=AA′=，
∴点E′的坐标是（，1）．
点评：
本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．
（2013? 东营）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ B ）
A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）
　 A．16 B．17 C．18 D．19
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为EC2==8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．　
（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　12　．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴==2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12．
故答案为：12．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
．（2013济宁）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为 cm．
考点：相似三角形的应用．
分析：根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
解答：解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴=
设屏幕上的小树高是x，则=
解得x=18cm．故答案为：18．
点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）
　 A．a B． C． D．
考点：相似三角形的判定与性质．
分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．
解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为a，
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．　
（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB?AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×6=3，
∵AD=4，
∴，
∴．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．　
（2013?威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（　　）
　
A．
∠C=2∠A
B．
BD平分∠ABC
　
C．
S△BCD=S△BOD
D．
点D为线段AC的黄金分割点
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割
分析：
求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC?AC，求出AD=BC，即可判断D．
解答：
解：A、∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误；
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误；
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确；
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴=，
∴BC2=BC?AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴BC=BD，
∵AD=BD，
∴AD=BC，
∴AD2=CD?AC，
即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误；
故选C．
点评：
本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
　
（2013?威海）如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=　5　．
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理
分析：
首先过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，易证得四边形BDCE是矩形，然后由勾股定理求得答案．
解答：
解：过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，∠D=90°，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴平行四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=2，BE=CD=4，∠E=90°，
∴AE=AC+CE=1+2=3，
∴在Rt△ABE中，AB==5．
故答案为：5．
点评：
此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（2013? 潍坊）如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若∽，则=__________.
．（2013? 淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有　　　条.
（2013? 丽水）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为
（1）当时，求CF的长；
（2）①当为何值时，点C落在线段BD上？
②设△BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，B，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。
（2013?宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　（，）　．
考点：
反比例函数综合题．
分析：
由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E（a，），D（b，），由双曲线的对称性可以求得ab=3；最后，将其代入直线AD的解析式即可求得a的值．
解答：
解：如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），
∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），
∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直线y=x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．
又∵点D在直线AB上，
∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，
解得，a=，
∴点E的坐标是（，）．
故答案是：（，）．
点评：
本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意双曲线的对称性的应用．
（2013? 衢州）提出问题
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN. 求证：∠ABC=∠ACN.
类比探究
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由.
拓展延伸
（3）如图3，在等腰△ABC中， BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN =∠ABC. 连结CN. 试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由.
（1）证明：∵等边△ABC，等边△AMN
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°
∴∠BAM=∠CAN …………………………1分
∴△BAM≌△CAN（SAS） …………………………2分
∴∠ABC=∠ACN …………………………3分
（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立 . ………………………4分
理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN
∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°
∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN ………………………5分
∴∠ABC=∠ACN ………………………6分
（3）解：∠ABC=∠ACN ………………………7分
理由如下：∵BA=BC， MA=MN，顶角∠ABC =∠AMN
∴底角∠BAC=∠MAN ∴△ABC∽△AMN， …………………8分
∴ 又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC
∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN ……………9分
∴∠ABC=∠ACN ………………………10分
（2013? 衢州）在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（）.问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵矩形OABC， ∴∠AOC=∠OAB=90°
∵OD平分∠AOC ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45° ∴AO=AD=2， OD= ……2分
∴……………………………3分
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.
解法1：如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45° ∵OP=，∴OG=PG=t,
∴点P(t，,t)
又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得:
，，………4分
①若∠PQB=90°，则有,
即：，
整理得：，解得（舍去），
∴ ………6分
②若∠PBQ=90°，则有,
∴，
整理得，解得.
∴当t=2或或时，△PQB为直角三角形. .… 8分
解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，
易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2 ∴OQ=4 ∴2t=4 ∴t=2 ……………5分
②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，
作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，
则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB
∴，∴，∴， 化简得，
解得 ……… 6分∴ ………………… 7分
③如图4，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，
作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，
则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC ∴△PMB∽△QCB
∴，∴，
∴，化简得，
解得 ∴ ……………… 8分
（3）存在这样的t值，理由如下：将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形为平行四边形. ………………9分
∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（）………………10分
∵点B坐标为（6,2）， ∴点的坐标为（3t-6,t-2）， .………………11分
代入，得： ，解得 ……12分
（另解：第二种情况也可以直接由下面方法求解：当点P与点D重合时，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四边形为平行四边形，此时绕PQ中点旋转180°，点B的对应点恰好落在O处，点即点O.由（1）知，此时t=2. （说明：解得此t值，可得2分.）
（2013?绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．
（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．
考点：
四边形综合题．3718684
分析：
（1）答案不唯一，根据已知举出即可；
（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；
②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当B3C3=2×h，时，当B3C3=×h时，代入求出即可．
解答：
解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；
（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．
理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，
∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，
∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，
∴=，==，==，==，
∵AM=20，BC=25，
∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴MN=GN=GH=HE=4，
∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，
即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，
∴以B1C1为一边的矩形不是方形；
②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，
∴△ABC∽△AB3C3，
∴==，
则AG=h，
∴MN=GN=GH=HE=h，
当B3C3=2×h，时，=；
当B3C3=×h时，=．
综合上述：BC与BC边上的高之比是或．
点评：
本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．
（2013?绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3718684
分析：
（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．
解答：
（1）证明：如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；
（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B==，
∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH==，
∴EH=AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．
点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．
2013? 台州）如图，在⊿ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为（ ）
（2013?佛山）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．
若A，B，C，D，E，F都是格点，
试说明△ABC∽△DEF．
（2013?广东）如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 ,
则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；
（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
（1） S1= S2+ S3；
（2）△BCF∽△DBC∽△CDE;
选△BCF∽△CDE
证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°
在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°
∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.
（2013?珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：
几何综合题．
分析：
（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵=，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E==4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴=，
即=，
解得P′A=AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+AB2=（5）2，
解得AB=10．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键．
（2013?哈尔滨） 如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )．
(A) (B) (C) (D)
（2013?哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．
(1)求线段BC的长；
(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= QG?
（2013?哈尔滨）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC
和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．
(1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；
(2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．
（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（　　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．
分析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；
先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．
解答：
解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，正确；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正确．
故选D．
点评：
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
（2013?牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件　∠ACD=∠ABC（答案不唯一）　，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
考点：
相似三角形的判定．
专题：
开放型．
分析：
相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
解答：
解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD=∠ABC．
点评：
本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
（2013?乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为　　．
考点：
平行线分线段成比例．
分析：
根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出=，由GH∥CD，得出=，将两个式子相加，即可求出GH的长．
解答：
解：∵AB∥GH，
∴=，即=①，
∵GH∥CD，
∴=，即=②，
①+②，得+=+，
∵CH+BH=BC，
∴+=1，
解得GH=．
故答案为．
点评：
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
（2013?安徽）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）
（1）求点P6的坐标；（2）求△P5OP6的面积；
（3）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，| yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．
1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为P6（0，26），即P6（0，64）；
（2）由已知可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn－1OPn．
设P1（x1，y1），则y1=2sin45°=，∴S△P0OP1=×1×=，又
（3）由题意知，OP0旋转次之后回到x轴正半轴，在这次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，
①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（2n，0）；
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为（×2n，×2n），即（2n—1，2n—1）；
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，
此时，点Pn的绝对坐标为（0，2n）．
（2013?上海）如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，
DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（ ）
（A） 5∶8 ； （B）3∶8 ； （C） 3∶5 ； （D）2∶5．
（2013?邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，连结PP′交BC于点M，BP′交AC于D，连结BP、AP′、CP′．
（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM的长；
（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的长；
（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）由菱形的性质可知，点M为BC的中点，所以BM可求；
（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，则△BMP′必为等腰直角三角形．证明△BMP′、△BMP、△BPP′均为等腰直角三角形，则BP=BP′；证明△BCP为等腰三角形，BP=BC，从而BP′=BC=4，进而求出BM的长度；
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形，需要分类讨论计算．
解答：
解：（1）∵四边形BPCP′为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，
∴点M为BC的中点，
∴BM=BC=×4=2．
（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，
则△BMP′必为等腰直角三角形，BM=MP′．
由对称轴可知，MP=MP′，PP′⊥BC，则△BMP为等腰直角三角形，
∴△BPP′为等腰直角三角形，BP′=BP．
∵∠CBP=45°，∠BCP=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC=4，
∴BP′=4．
在等腰直角三角形BMP′中，斜边BP′=4，
∴BM=BP′=．
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形：
①若AD=BD，如题图②所示．
此时△ABD为等腰直角三角形，斜边AB=4，
∴S△ABD=AD?BD=××=4；
②若AD=AB，如下图所示：
过点D作DE⊥AB于点E，则△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AD=AB=
∴S△ABD=AB?DE=×4×=；
③若AB=BD，则点D与点C重合，可知此时点P、点P′、点M均与点C重合，
∴S△ABD=S△ABC=AB?BC=×4×4=8．
点评：
本题是几何综合题，考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）问考查了分类讨论的数学思想，是本题的难点．
　（2013?柳州）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（　　）
　
A．
10米
B．
12米
C．
15米
D．
22.5米
考点：
相似三角形的应用．
专题：
应用题．
分析：
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解答：
解：∵=
即=，
∴楼高=10米．
故选A．
点评：
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（2013?临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　　；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
考点：
几何变换综合题
分析：
（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值．与（1）（2）问相比较，的值发生了变化．
解答：
解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，=tan30°=，
∴=．
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴．
由（1）知，=，
∴=．
（3）答：变化．
证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴=．
∴的值发生变化．
点评：
本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．
（2013?重庆B）已知∽，若与的相似比为3：4，则与的面积之比为
A.4：3 B.3：4 C.16：9 D.9：16

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