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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
【考点梳理】
考点一：　基本不等式
1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
考点二：　用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数；
(①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
【题型归纳】
题型一：基本不等式的内容及其注意
1．若、且，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
3．下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：由基本不等式证明或比较不等式的大小
4．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知、，若，则下列不等式：
①；②；
③；④．
其中恒成立的不等式序号是
A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④
题型三：基本不等式求积的最大值
7．若，且，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则有（ ）
A．最大值为1 B．最小值为
C．最大值为4 D．最小值为4
9．已知实数若，求的最大值（ ）
A．1 B． C．4 D．
题型四：基本不等式求和的最小值
10．若，则函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：二次商式的最值问题
13．已知，则 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．7
14．若，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
15．已知，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3
题型六：基本不等式“1”的妙用
16．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
17．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型七：基本不等式的恒成立求参数问题
19．若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
21．已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
题型八：基本不等式的实际问题的应用
22．2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（ ）
A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元
23．新冠病毒疫情期间， 武汉物资紧缺，一批口罩、食物等救灾物资随辆汽车从某市以 km/h的速度匀速直达武汉灾区． 已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于km（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（ ）
A．70km/h B．80 km/h C．90 km/h D．100 km/h
24．禄劝晨光文具店的某种商品的月进货量为1000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费10元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（ ）
A．20件 B．500件 C．100件 D．250件
【答案详解】
1．D
因为、且，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，AB均错；
，当且仅当时，等号成立，C错；
，即，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：D.
2．C
通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为，
如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即，
当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.
故选：C.
3．B
A. 当时，，故错误；
B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确；
C. 当时，，故错误；
D.由重要不等式得，故错误；
故选：B
4．D
因为，则由基本不等式，即，故A错误，D正确；
取，则，故B错误；
取，则，，故C错误.
故选：D.
5．B
，可得，可得，
并且，可得，
.，
可得：.
故选：.
6．B
对于①中，因为，所以是正确的；
对于②中，由，则，所以，当且仅当时，即是等号成立，所以是正确的；
对于③中，当时，，所以不正确；
对于④中，当时，，所以不正确，
故选B.
7．D
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最大值为.
故选：D.
8．C
因为，根据基本不等式可得，
所以，即，
当且仅当时等号成立.
故选：C
9．B
因为，
则，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最大值为．
故选：B.
10．D
【详解】
解：若，则，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为8.
故选：D.
11．C
【详解】
因为，，且，所以，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C.
12．C
解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
13．A
【详解】
，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最大值为
故选：A
14．D
【详解】
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
15．D
【详解】
因为，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即有最小值3.
故选：D.
16．D
因为，当且仅当，即时取等号，所以，
故选：D.
17．B
，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
18．D
因为,
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
19．B
【详解】
当时，由可得，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
20．B
解：∵对所有正数x，y均成立，
∴对所有正数x，y均成立，
∴
又，当且仅当时等号成立，∴
故m的最小值为
故答案为：B
21．C
若恒成立，则，
因为，
当且仅当，即时取等号．
所以
所以，即，
解得：．
22．B
设实验室总造价为元，实验室地面的长为，则宽为，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立.
故当实验室地面的长为，宽为时，实验室总造价取得最小值228000元.
故选：B.
23．C
第一辆汽车到达用，由题意，每隔到达一辆，
则最后一辆汽车到达的时间为，
要使这批物资尽快全部到达灾区，即就是最后一辆汽车到达的时间最短，
即求最小时汽车的速度，
因为，当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
24．C
设每次进货件，费用为元.
由题意，
当且仅当时取等号，最小，
故选：C.
试卷第1页，总3页

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