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1.2集合间的基本关系
【考点梳理】
考点一　子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B(或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
考点二　空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
【题型归纳】
题型一：子集、真子集的个数问题
1．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A，则A≠ .
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：根据集合包含关系求参数
4．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据集合相等关系求参数
7．设，，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，若A=B，则a+2b=（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
9．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：与空集有的集合问题
10．已知全集， ，A是U的子集．若,则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案详解】
1．B
①错，空集是任何集合的子集，有 ；②错，如 只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．
故选：B．
2．D
解：，
，1，2，3，，
因为，所以中元素至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；
所以集合的个数即为集合，3，子集的个数：．
故选：D．
3．D
【详解】
求解一元二次方程，得
，易知．
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，
原题即求集合的子集个数，即有个.
故选：D．
4．C
【详解】
因，而，
所以时，即，则，此时
时，，则，无解，
综上得，即实数的取值范围是.
故选：C
5．D
【详解】
因为集合，，
所以.
故选：D
6．B
【详解】
由题意，集合，可得，
因为，所以，解得．
故选：B.
7．C
【详解】
解：，注意到后面集合中有元素 ，
由于集合相等的意义得 或 ．
，，
，即 ，，
，，
．
故选：C
8．D
【详解】
由于，
所以
（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.
（2）解得.
故选：D
9．B
【详解】
因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，即.
故选：B.
10．D
【详解】
由题意知，集合，所以，又因为A是U的子集，故需，所以a的取值范围是．
故选：D
11．A
【详解】
①错，当m＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a，并不一定大于或等于0；③正确；④错，空集是任何非空集合的真子集.
故选：A.
12．A
【详解】
若集合，则不等式恒成立，
当时，不等式可化为，则，不满足题意；
当时，为使不等式恒成立，只需，解得，
综上集合时，；
又集合，所以.
故选：A.

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