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一次函数
一、一次函数的概念
定义：一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为：y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。
正比例函数：当b=0时，一次函数y=kx（k≠0），也叫做正比例函数。
函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
【典型例题】
例1．下列函数：①y=x；②；③；④y=2x+1，其中一次函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（1）如果是一次函数，则的值是 。
（2）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值是 。
例3．函数，当时，的值是 ； 当x=-3时，y= ；y=3时，x= 。
【巩固练习】
1．下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数是一次函数 B．一次函数是正比例函数
C．正比例函数不是一次函数 D．不是正比例函数就不是一次函数
2．下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y=-3x+5 B． C． D．
3．下列说法中不成立的是（ ）
A．在y=3x-1中y+1与x成正比例； B．在中y与x成正比例；
C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例； D．在y=x+3中y与x成正比例；
4．已知：（1）函数是一次函数，则 ．
（2）函数，当时，它是一次函数，当 时，它是正比例函数．
5．要使是关于x的一次函数，应满足 ， 。
6．已知函数，求当为何值时（1）此函数为正比例函数；（2）此函数为一次函数。
二、一次函数的图象与性质
（一）画一次函数的图象
一次函数的画法：
（1）列表. 　　
（2）描点；（一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”）
①一般的的图象过和两点画直线即可。 　
　 ②正比例函数的图象是过坐标原点的一条直线，一般取和两点。 　　
（3）连线；可以作出一次函数的图象为一条直线。
【典型例题】
例1．用描点法画出下列函数图象：
（1）y=2x （2）y=－x （1）y= 3x+2 （2）y=x+5
【小结】
（1）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线（必经过原点（0，0））；
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0），正比例函数的图像都是过原
点的。
（3）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
2．用描点法画出下列函数图象，并观察图像之间有什么联系？
（1）y= x+2 （2）y= x-1 （3）y=x+1 （4）y=x-2
【小结】当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图象重合；k相同，b不相同时，两一次函数图象平行；k不相同，b不相同时，两一次函数图象相交；k不相同，b相同时，两一次函数图象交于y轴上的同一点（0，b）。 　　
（二）一次函数的图象
直线经过原点及（1，k）
直线经过两个特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于
图 象
k>0 k<0
正比例函数
b>0 b<0 b>0 b<0
一次函数
性质：
当k>0时，直线必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必经过第二、四象限，y随x的增大而减小；
当b>0时，直线必经过第一、二象限；
当b<0时，直线必经过第三、四象限；
当b=0时，直线必经过原点O（0，0），此时，直线是正比例函数的图象。
【典型例题】
例1．（1）已知一次函数y=2x+3,该函数与x轴和y轴的交点坐标分别为 _ __，____ ____；
（2）已知函数，该函数与x轴和y轴的交点坐标分别为 _ __，__ __；
（3）已知一次函数y=kx－k+4的图象与y轴的交点坐标是(0，－2)，那么此函数的表达式是______ __ ．
例2．（1）在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
（2）已知一次函数y=kx+b的图象如下图所示,则k，b的符号是( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
例3．一次函数和正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
例4．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典型例题】
1．已知一次函数，求：
（1）m为何值时，y随x的增大而减小；
（2）m为何值时，y随x的增大而增大；
2．若正比例函数的图象经过点和点,当x1＜x2时,y1＞y2则m的取值范围是 。
【巩固练习】
1．一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第一象限
2. 对任意实数x,点P(x,-2x2+6x)一定不在( )
A.第一象限 B. 第二象限 C第三象限. D. 第四象限
3．若直线与y轴的交点在x轴的下方，则n的取值范围是（ ）
A．n<0 B．n<-1 C．n>0 D．n>-1
4．一次函数y=－2x+3的图象不经过第 象限。
5．直线与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 。
6．在同一直角坐标系中，直线和直线都经过点 。
7．函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
8．用简单方法画出下列函数的图象：
（1） （2）
9. 画出函数y＝－2x＋3的图象，借助图象找出：
（1）直线上横坐标是2的点，它的坐标是（ ， ）
（2）直线上纵坐标是－3的点，它的坐标是（ ， ）
（3）直线上到y轴距离等于2的点，它的坐标是（ ， ）
（4）点（2、7）是否在此图象上；（ ）
（5）找出横坐标是-2的点，并标出其坐标；（ ， ）
（6）找出到轴的距离等于1的点，并标出其坐标；（ ， ）
（7）找出图象与轴和轴的交点，并标出其坐标。（ ， ）
【巩固练习】
1．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是 ；
2．已知直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点在x轴的上方，下列结论：①k>0，b>0②k>0，b<0③k<0，b>0④k<0，b<0，正确的序号是_______.
3.一次函数，函数随的增大而减小，且函数图像过二、三、四象限，则的取值范围是_____。
4.一次函数y=--ax+b的图象经过二三四象限,化简__________
5．已知y=kx+b，其中k>0，点A(X1，Y1 )，点B(X2， Y2)在一次函数图像上，X1 > X2, 那么Y1_______ Y2 （填 “< ，= ，> ”）
6．函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求函数的解析式。
7．画出函数的图像，结合图像回答以下问题：
（1）函数值y随着x增大而__________
（2）当x取何值时，=0，>0
（3）另外有一条直线，请问当取何值时，，？
8．已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.
(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？
9．已知直线经过点A(2，3)和B(-1，-3)，直线与相交于点C(-2，m)，与y轴交点的纵坐标为1。
（1）试求直线，的解析式；
（2）求，与x轴围成的三角形的面积；
（3）x取何值时，的函数值大于的函数值？
（三）一次函数的图象的平移
遵循“左加右减、上加下减”的原则，平移即平行移动，函数的k不变。
法则解读：
点拨：图象的左右平移与k、b无关，只与自变量x有关，向左平移|m|自变量x的值增加|m|个单位，向右平移|m|自变量x的值减小|m|个单位；图象的上下平移与k无关，向上平移|n|个单位，函数y的值增加|n|，且b的值增大|n|，向下平移|n|个单位，函数y的值减少|n|，且b的值也减小|n|。
【典型例题】
例1．在同一直角坐标系内，直线可由直线向下平移得到，则m= 。
例2．一次函数的图象向上平移4个单位得到的函数解析式为 ，向下平移2个单位得到的函数解析式为 ，再向 平移 个单位得到函数。
【巩固练习】
1．在同一直角坐标系内，直线与的位置关系为 ；
2．一次函数的图象向上平移3个单位得到的函数解析式为 ；
3．直线可由直线向 平移 个单位得到；
4．当m满足 时，一次函数的图象与y轴交于负半轴；
5．已知一次函数的图像平行于直线，且经过点（－1,3），求此函数的解析式。
【课后练习】
1．下面两个变量是成正比例变化的是（ ）
A． 正方形的面积和它的边长； B． 变量x增加,变量y也随之增加；
C． 矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长；
D． 圆的周长与它的半径；
2．下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3) (4) (5)中，是一次函数的（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下面哪个点不在函数y=－2x+3的图象上（ ）
A．（-5，13） B．（0.5，2） C．（3，0） D．（1，1）
4．若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k，b的取值范围是（ ）
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
5．若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0；（填“>”、“<”或“＝”）
6．直线y=10x+4的函数值随自变量的增加而 ，直线y=-4x+6的函数值随自变量的减少而 ；
7．若函数的图象过原点，则_______，此时函数是 _函数；
若函数的图象经过（1，3）点，则______，此时函数是 ___函数。
8．若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 。
9．直线y=2x＋3可以看成是将直线y=2x沿y轴向上平移3个单位而得到的,那么将y=2x沿x轴向右平移3个单位得到的直线方程是 ；
10．在同一直角坐标系内，直线与直线都经过点 ；
11.已知函数y＝2x-4.
（1）作出它的图象；
（2）标出图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）由图象观察，当-2≤x≤4时，函数值y的变化范围.
12.过点（0，﹣2）的直线：（）与直线：交于点P（2，m）．
（1）写出使得的x的取值范围；
（2）求点P的坐标和直线的解析式．
向左平移m个单位(m＞0)
向右平移m个单位(m＞0)
y=kx+b
(k、b为常数，k≠0)
y=k(x+m)+b
(k、b为常数，k≠0,m＞0)
向上平移n个单位(n＞0)
向下平移n个单位(n＞0)
y=kx+b
(k、b为常数，k≠0)
y=kx+b+n
(k、b为常数，k≠0,n＞0)
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