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2．2.2　直线的两点式方程
【考点梳理】
考点一　直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b( a≠0，b≠0)
示意图 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L54.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L54.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L55.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\L55.TIF" \* MERGEFORMATINET
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点
思考1　过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？
答案　没有．其方程为y＝y0.
思考2　方程－＝1是直线的截距式方程吗？
答案　不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.
【题型归纳】
题型一：直线的两点式方程
1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（ ）
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
2．过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
3．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（ ）
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
题型二：直线的截距式方程
4．过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．过点作直线，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）条.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：直线与坐标轴围成的面积问题
7．在平面直角坐标系xOy中，直线过点A（1，2）且x轴、y轴正半轴分别交于M，N，则三角形OMN面积的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
8．过点作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
10．过和两点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法中不正确的是（ ）.
A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.
B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.
C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.
D．截距式适用于不过原点的任何直线.
12．下列说法错误的个数是（ ）
①平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示
②直线与轴的交点到原点的距离为
③在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为
④不能表示过且斜率为的直线方程
⑤两条直线中，斜率越大则倾斜角越大
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是
A．2 B．4 C． D．2或
14．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
15．已知三角形三个顶点，，，则边上中线所在直线方程是　　
A． B． C． D．
16．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是（ ）
A． B． C． D．或
17．在轴和轴上的截距分别为和5的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
18．已知直线的两点式方程为，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
19．直线在x轴，y轴上的截距分别为(　　)
A．2,3 B．－2,3 C．－2，－3 D．2，－3
20．直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
21．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
22．已知直线l经过点A(1，－2)，B(－3，2)，则直线l的方程（ ）
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
23．已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
24．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
25．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（ ）条
A． B． C． D．
26．经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
27．若直线过点和，且点在直线上，则的值为（ ）
A．2019 B．2018 C．2017 D．2016
28．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
29．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1 B．1
C．－ D．
30．若直线过第一 三 四象限，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
31．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所在直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为
32．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C．过()，()两点的直线方程为
D．经过点(1，1)且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
33．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
34．下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
三、填空题
35．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
36．过A(1，4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
37．已知点、，则直线AB的两点式方程是______．
38．过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为___.
39．已知点在过和两点的直线上，则x的值是_______．
四、解答题
40．已知的三个顶点，，，求经过两边AB和AC的中点的直线的方程．
41．已知A（7，8），B（10，4），C（2，-4）三点，求的面积.
42．已知的三个顶点的坐标是．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求的面积．
43．在平面直角坐标系中，已知直线l过点.
（1）若直线l的纵截距和横截距相等，求直线l的方程；
（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据直线方程的形式确定正确选项.
【详解】
由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．
由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距.
【详解】
由题可知直线方程为：，即，
令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
根据图象结合直线的两点式方程求出直线的方程，从而可求解．
【详解】
由图知点，，
所以由直线方程的两点式，得直线的方程是，即．
依题意，令，得，即旅客最多可免费携带30 kg行李．
故选：C.
4．B
【解析】
【分析】
分直线的两坐标轴上的截距为0，不为0时两种情况求解即可
【详解】
①当直线的两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，由题意有，则，∴直线方程为满足条件；
②当直线的两坐标轴上的截距不为0时，设的方程为．把点代入直线方程得．解得，从而直线方程为.
故满足条件的直线方程为和．
故选：B．
5．C
【解析】
【分析】
根据“两坐标轴上截距的绝对值相等”条件进行分类讨论：一是截距相等且不为，二是截距互为相反数且不为，三是截距为
【详解】
若截距相等且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距互为相反数且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：.
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
分析可知直线不过原点，可设直线的方程为，其中且，利用斜率关系可求得实数的值，化简可得直线的方程.
【详解】
若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，
设直线的方程为，其中且，
则直线的斜率为，解得，
所以，直线的方程为，即.
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
点代入直线得到，结合基本不等式求出，求出M，N坐标，求面积即可.
【详解】
直线过点A（1，2）可得，令，令，
又直线与x轴、y轴正半轴分别交于M，N，故，
得，当且仅当时取等号，故.
故选：D.
8．D
【解析】
【分析】
设直线的方程为，由直线过，得，再由三角形面积得，联立求出方程组的解即可得．
【详解】
由题意设直线的方程为，直线过，则，
直线与坐标轴的交点为,
又，，
，，
时，，由， 得或，
时，，由， 得或，
所以直线共有4条．
故选：D．
9．A
【解析】
【分析】
设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【详解】
解：设直线的方程为，则的面积为①．
因为直线过点，所以②．
联立①②，解得，，
故直线的方程为，
故选：A．
10．C
【解析】
【分析】
当时，过点的直线的斜率存在，由点斜式方程写出并整理即可，当时，过点的直线方程是或，再验证是否适合上式即可.
【详解】
当时，过点的直线的斜率，直线方程是，
整理得；
当时，过点的直线方程是或，
即或，
满足．
∴过两点的直线方程是．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
11．D
【解析】
【分析】
由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案.
【详解】
解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；
斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；
两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确；
截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析．
12．C
【解析】
由直线的方程的几种形式所适用的范围，逐一判断可得选项.
【详解】
对于①：当直线的斜率不存在时，直线不能用斜截式，故①不正确；
对于②：中的b，有正，有负，或是0，所以直线与轴的交点到原点的距离为，故②不正确；
对于③：当直线的在轴、轴上的截距不为0时，才可以表示成，故③不正确；
对于④：因为中需满足，所以不过，故④正确；
对于⑤：当一条直线的斜率是正的，另一条直线的斜率是负的，由于正数大于负数，而此时斜率大的直线的倾斜角是锐角，斜率小的直线的倾斜角是钝角，不满足斜率越大，倾斜角越大，故⑤不正确；
所以错误的命题有4个，
故选：C.
13．A
【解析】
【分析】
利用，求出m值，然后求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．
【详解】
因为，
所以，解得．
所以直线方程为它与坐标轴的交点为与．
直线与坐标轴围成的三角形面积是．
故选:A．
【点睛】
本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力,属于基础题.
14．B
【解析】
【分析】
由已知求出直线方程，得出，代入即可求解.
【详解】
解析：可得直线AB的方程为，则可得，，
则，
当时，取得最大值为3.
故选：B.
15．C
【解析】
【分析】
由中点坐标公式求得的中点坐标，再求出边上中线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．
【详解】
由，，得的中点坐标为，，
又，
．
边上中线所在直线方程是，即．
故选：C．
【点睛】
本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，是基础题．
16．D
【解析】
【分析】
由于直线过点，所以直线在轴上的截距为，结合题意，即可求出直线在轴上的截距为1或，最后根据直线的截距式方程，即可求出直线方程.
【详解】
解：由题可知，直线过点，所以直线在轴上的截距为，
又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在轴上的截距为1或，
则所求直线方程为或．
故选：D.
【点睛】
本题考查直线的截距式方程的求法，属于基础题.
17．C
【解析】
【分析】
由题意知，直接代入直线可得答案.
【详解】
题意知，代入直线的截距式方程可得
．
故选:C.
【点睛】
本题考查了直线方程的截距式，考查了截距的概念，属于基础题.
18．A
【解析】
【分析】
直线的两点式方程为，得到直线过点，，然后由斜率公式求解.
【详解】
因为直线的两点式方程为，
所以直线过点，，
所以的斜率为．
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线的方程以及斜率公式，属于基础题.
19．D
【解析】
【分析】
分别令等于0，即可求出结果.
【详解】
因为，
当时，，即在轴上的截距为；
当时，，即在轴上的截距为；
故选D
【点睛】
本题主要考查直线的截距，熟记截距式即可，属于基础题型.
20．D
【解析】
【分析】
由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.
【详解】
根据题意可知，，
对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；
对于，由可知，，此时：符合，故正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.
21．C
【解析】
【分析】
根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案.
【详解】
解：由题知直线的斜率存在，且不过原点，
所以设直线方程为，，
所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为
所以面积为，即，
所以或,
解方程，即，解得，
解方程，即，解得
所以这样的直线有3条.
故选：C
22．A
【解析】
【分析】
由两点式方程即可求出.
【详解】
直线l经过点A(1，－2)，B(－3，2)，
直线l的方程为，整理得.
故选：A.
23．C
【解析】
【分析】
作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可
【详解】
如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为
答案选：C
【点睛】
本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题
24．A
【解析】
【分析】
由题设可得，，进而可得关于的函数，应用数形结合的方法判断在不同区间上对应直线l的条数.
【详解】
由题意，直线与轴、轴交点分别为，，
∴，作出其图象如图所示，
由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.
故选：A
25．B
【解析】
【分析】
设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.
【详解】
由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
26．D
【解析】
【分析】
求出直线的两点式方程，再化为一般方程可得答案.
【详解】
经过两点、的直线的方程为，即.
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
根据直线过点和，由直线的两点式方程化简得，然后将点代入方程，求解得出的值.
【详解】
解：因为直线过点和，
由直线的两点式方程，得直线的方程为，
化简得：，
由于点在直线上，将点代入方程，
得，
解得：.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线的两点式方程的求法和应用，属于基础题.
28．B
【解析】
由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】
由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
【点睛】
本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
29．C
【解析】
【分析】
先由两点式方程求出直线方程，即可求得在x轴上的截距.
【详解】
解析：由直线的两点式可得直线的方程为，即6x－y＋1＝0，
将代入可得在x轴上的截距为.
故选：C.
30．B
【解析】
【分析】
根据直线截距式，结合直线所过的象限，判断坐标轴截距的符号即可.
【详解】
∵直线过点第一 三 四象限，
∴它在轴上的截距为正，在轴上的截距为负，即.
故选：B
31．ACD
【解析】
【分析】
根据直线垂直的充要条件判断A，由直线方程得出斜率再求倾斜角判断B，根据两点式直线方程可判断C，由满足条件的直线知D正误.
【详解】
当时，两直线方程分别为和，此时也满足直线相互垂直，故说法错误；
直线的斜率，则，即，，故说法正确；
当或时，直线方程为或，此时直线方程不成立，故C说法错误；
若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D说法错误.
故选：ACD
32．AB
【解析】
【分析】
对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；
对选项B，由定义判断正确；对C特殊情况不成立；对D，缺少过原点的直线.
【详解】
对A，令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，A正确；
对B，由，可知，直线倾斜角一定存在，当时，斜率不存在，B正确；
对C，过()，()两点的直线方程为的前提是，故C错误；
对D，可设过点的直线为，当时，，当时，，令得或，求得对应的直线方程为或，故D错误，
故选：AB
33．AC
【解析】
分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.
【详解】
当直线过坐标原点时，直线方程为；
当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，
即.
故选：AC.
【点睛】
直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为.
34．BC
【解析】
运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误．
【详解】
对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： 1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2, 2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y 2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；
故选：BC.
【点睛】
本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题．
35．
【解析】
设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】
易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解.
36．3
【解析】
【分析】
根据题意可得有三种情况.
【详解】
解析：一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
故答案为：3.
37．
【解析】
【分析】
根据直线的两点式方程代入即可.
【详解】
直线的两点式方程为：
将点、代入得：.
故答案为：.
38．x+2y-6=0
【解析】
【分析】
设直线l的方程为+=1(a>0，b>0),由题得 +=1，再利用基本不等式求解.
【详解】
设直线l的方程为+=1(a>0，b>0).
由P点在直线l上，得+=1，
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5++≥5+2=9，
当且仅当=，即a=6，b=3时取“=”，
∴直线l的方程为+=1，即x+2y-6=0.
故答案为：x+2y-6=0
39．
【解析】
【分析】
由题可得直线方程，代入即求.
【详解】
过M，N两点的直线的方程为，
又在此直线上，
所以当时，．
故答案为：.
40．
【解析】
【分析】
首先求得中点坐标，再根据直线的两点式方程求解即可.
【详解】
设AB和AC的中点分别为，
因为，，，
所以
所以直线的方程为：，
整理得：，
经过两边AB和AC的中点的直线的方程为.
41．28
【解析】
【分析】
由A、B两点坐标可求出直线AB的方程，并求出边的长度，由点C到直线AB的距离可求出三角形边上的高，进而求出面积.
【详解】
直线AB的方程为：，边AB的长为：，
点C到边AB的距离
所以
【点睛】
本题考查直线方程与点到直线距离公式的应用，结合三角形面积的求法找出所需要的量即可，本题可以利用任意一条边长与其对应的高求面积.
42．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）直接由两点式直线方程公式求解即可；（2）求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．
【详解】
（1）由题可知，直线BC过，方程为，化简得，
直线BC方程为.
（2）由题可知，到直线BC的距离，，的面积为.
【点睛】
本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．
43．（1）或，（2）或.
【解析】
(1)按截距为0和截距不为0,分两种情况求解方程即可;
(2)设出直线方程,确定其横 纵截距后,根据面积公式列等式求解即可.
【详解】
(1)①若直线l截距为0，则其过原点,可得直线l的方程为,
②若直线l截距不为0,设直线l的方程为,
代点入方程可得,解得,
此时直线l的方程为,
综上所述,所求直线l的方程为或;
(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零,
故可设直线l的方程为(),
可得直线l与坐标轴的交点坐标为,,
因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为,
则有,解得或.
故所求直线方程为或.
【点睛】
本题考查了求直线方程,涉及了三角形面积公式,需要学生有一定的计算能力,难度不大.
试卷第1页，共3页

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