资源简介

吉林省省卷三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-04解答题提升题
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2021 吉林）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2021 吉林）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2022 吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
四．一次函数的应用（共3小题）
4．（2022 吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 　 　℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 　 　℃．
5．（2021 吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
6．（2020 吉林）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为 　 　L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 　 　L．
（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
五．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2022 吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
六．二次函数综合题（共2小题）
8．（2022 吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．
9．（2021 吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
七．三角形综合题（共1小题）
10．（2020 吉林）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）AP的长为　 　cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
八．四边形综合题（共4小题）
11．（2022 吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 　 　cm．（用含x的代数式表示）
（2）当点M落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
12．（2021 吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；
（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
13．（2020 吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为　 　．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为　 　．
14．（2021 吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
九．作图—应用与设计作图（共1小题）
15．（2021 吉林）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．
一十．作图-轴对称变换（共1小题）
16．（2022 吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
一十一．相似形综合题（共1小题）
17．（2022 吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设l1与l2之间的距离为h，
则S△ABC＝BC h，S△DBC＝BC h．
∴S△ABC＝S△DBC．
【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．
证明：∵S△ABC＝　 　．
（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．
∴AE∥　 　．
∴△AEM∽　 　．
∴＝．
由【探究】（1）可知＝　 　，
∴＝．
（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为 　 　．
一十二．解直角三角形的应用（共2小题）
18．（2022 吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
19．（2021 吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；
（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（ 　 　）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×　 　（填“sinB”或“cosB”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π BK．
＝2×3×6400×　 　（填相应的三角形函数值）
≈　 　（km）（结果取整数）．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
20．（2020 吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
一十四．条形统计图（共1小题）
21．（2021 吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．
2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表
年龄 2016 2017 2018 2019 2020
增长速度 51.4% 28.0% 26.6% 25.3% 31.2%
说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是 　 　亿件．
（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是 　 　．
（3）下列推断合理的是 　 　（填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．
一十五．折线统计图（共1小题）
22．（2022 吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：
（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）
注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．
回答下列问题：
（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 　 　%．
（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为 　 　万人．（只填算式，不计算结果）
（3）下列推断较为合理的是 　 　（填序号）．
①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．
②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．
一十六．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2022 吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．
24．（2020 吉林）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．
参考答案与试题解析
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2021 吉林）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1），其中x＝．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4﹣x2+x
＝x﹣4，
当x＝时，原式＝﹣4＝﹣3．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2021 吉林）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【解答】解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2022 吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，
根据题意列方程，得，
即135x＝120（x+20），
解得x＝160，
经检验x＝160是原方程的解，
答：李婷每分钟跳绳160个．
四．一次函数的应用（共3小题）
4．（2022 吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 　20　℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 　65　℃．
【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，
∴加热前水温是20℃，
故答案为：20．
（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝x+20．
（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s，
∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s，
将x＝120代入y＝x+20得y＝65，
故答案为：65．
5．（2021 吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），
0.5a＝25﹣5，
解得a＝40．
（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝x+15（40≤x≤100）．
（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，
40﹣35＝5（万人）．
6．（2020 吉林）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为 　3　L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 　0.5　L．
（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．
【解答】解：（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），
机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），
故答案为：3，0.5；
（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）；
（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，
当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，
即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．
五．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2022 吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
【解答】解：（1）设ρ＝，
将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，
解得k＝10，
∴ρ＝．
（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．
∴该气体的密度为1kg/m3．
六．二次函数综合题（共2小题）
8．（2022 吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）令x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．
（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，
当m＞2时，抛物线顶点为最低点，
∴﹣1＝2﹣m，
解得m＝3，
当m≤2时，点P为最低点，
将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣4m+3＝2﹣m，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴m＝3或m＝．
②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，
∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．
当m＝时，如图，∠QPA＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF于点E，
∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠QPE＝∠PAF，
又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，
∴△QEP≌△PFA（AAS），
∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，
∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，
∴点Q坐标为（2，）．
综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．
9．（2021 吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，
∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），
∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m+1＞0满足题意，
解得m＜．
②∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜，
如图，当m＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，
∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，
当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．
七．三角形综合题（共1小题）
10．（2020 吉林）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）AP的长为　2x　cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，
∴AP的长为2xcm；
故答案为：2x；
（2）当点D落在BC上时，如图1，
BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPA＝90°，
∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，
∴∠BPD＝30°，
∴∠PDB＝90°，
∴PD⊥BC，
∴△APQ≌△BDP（AAS），
∴BD＝AP＝2x，
∵BP＝2BD，
∴4﹣2x＝4x，
解得x＝；
（3）①如图2，当0＜x≤时，
∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，
∴PQ＝AP tan60°＝2x，
∵△PQD等边三角形，
∴S△PQD＝2x 3x＝3x2cm2，
所以y＝3x2；
②如图3，当点Q与点C重合时，
此时CP⊥AB，
所以AP＝AB，即2x＝2，
解得x＝1，
所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，
∵AP＝2x，
∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，
∴BG＝BP＝2﹣x
∴PG＝BG＝（2﹣x），
∴S△PBG＝BG PG＝（2﹣x）2，
∵AQ＝2AP＝4x，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，
∴QH＝CQ＝（4﹣4x），
∴S△QCH＝CQ QH＝（4﹣4x）2，
∵S△ABC＝4×2＝4，
∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ
＝4﹣（2﹣x）2﹣（4﹣4x）2﹣×2x×2x
＝﹣x2+18x﹣6，
所以y＝﹣x2+18x﹣6；
③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，
设PD与BC相交于点G，
此时PG＝BP sin60°＝（4﹣2x）×＝（2﹣x），
∵PB＝4﹣2x，
∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），
∴BG＝BP＝2﹣x，
∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），
∴重叠部分的面积为：
S△PQG＝PG QG＝（2﹣x） 3（2﹣x）＝（2﹣x）2．
所以y＝（2﹣x）2．
综上所述：y关于x的函数解析式为：
当0＜x≤时，y＝3x2；
当＜x≤1时，y＝﹣x2+18x﹣6；
当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2．
八．四边形综合题（共4小题）
11．（2022 吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 　2x　cm．（用含x的代数式表示）
（2）当点M落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠APQ＝120°，
∴∠AQP＝30°，
∴PQ＝AP＝2x．
故答案为：2x．
（2）如图，
∵∠APQ＝120°，
∴∠MNB＝∠PQB＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△MNB为等边三角形，
∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，
∴3×2x＝6，
解得x＝1．
（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，
∵∠A＝30°，AQ＝2x，
∴QF＝AQ＝x，
∵PN＝PQ＝AP＝2x，
∴y＝PN QF＝2x x＝2x2．
当1＜t≤时，QM，NM交BC于点H，K，
∵AB＝6cm，∠A＝30°，
∴AC＝AB＝3cm，
∴CQ＝AC﹣AQ＝3﹣2x，
∴QH＝CQ＝（3﹣2x）＝6﹣4x，
∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，
∵△HKM为等边三角形，
∴S△HKM＝HM2＝9x2﹣18x+9，
∴y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．
当＜x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，
PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，
∴y＝PB2＝（6﹣2x）2＝x2﹣6x+9．
综上所述，y＝．
12．（2021 吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；
（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）如图，
在Rt△PDQ中，AD＝cm，∠PQD＝60°，
∴tan60°＝＝，
∴DQ＝AD＝1cm．
（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），
∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．
（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，
同（1）可得MQ＝AD＝1cm．
∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm，
当x+1＝3时x＝2，
∴0≤x≤2时，点Q在DC上，
∵tan∠BDC＝＝，
∴∠DBC＝30°，
∵∠PQD＝60°，
∴∠DEQ＝90°．
∵sin30°＝＝，
∴EQ＝DQ＝，
∵sin60°＝＝，
∴EN＝EQ＝（x+1）cm，
∴y＝DQ EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．
当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，
∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，
∴CF＝CQ tan60°＝（x﹣2）cm，
∴S△CQF＝CQ CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x2﹣2x+2） cm2，
∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝（﹣x2+x﹣） cm2（2＜x≤3）．
当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，
∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝（4﹣x） cm，
∴y＝DC CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．
综上所述，y＝
13．（2020 吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为　56　．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为　72　．
【解答】解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，
∴AE∥GF，DC∥AB，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AD＝AG，
∴四边形AGHD是菱形；
【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF+GN）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，
故答案为：56；
【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，
又AM＝AM，
∴△AMD≌△AMG（SAS），
∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，
∵∠AMD+∠AMG＝180°，
∴∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵sin∠BAD＝，
∴，
∴DM＝AD＝4，
∴DG＝8，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，
∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，
∴四边形CDGF是平行四边形，
∵∠AMD＝90°，
∴∠CDG＝∠AMD＝90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S矩形DCFG＝DG DC＝8×9＝72，
故答案为：72．
14．（2021 吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，
∴CD＝AB＝a．
（2）四边形ADFC是菱形．
理由如下：
如图②∵DF⊥BC于点G，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°，
∴DF∥AC；
由折叠得，DF＝DB，
∵DB＝AB，
∴DF＝AB；
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∴DF＝AC，
∴四边形ADFC是平行四边形；
∵AD＝AB，
∴AD＝DF，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°；
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；
如图④，点F与点D在直线CE同侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE+∠BDE＝270°，
∴∠BDE＝135°．
综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．
九．作图—应用与设计作图（共1小题）
15．（2021 吉林）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．
一十．作图-轴对称变换（共1小题）
16．（2022 吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AE∥BC且AE＝BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，符合题意．
一十一．相似形综合题（共1小题）
17．（2022 吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设l1与l2之间的距离为h，
则S△ABC＝BC h，S△DBC＝BC h．
∴S△ABC＝S△DBC．
【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．
证明：∵S△ABC＝　BC h　．
（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．
∴AE∥　DF　．
∴△AEM∽　△DFM　．
∴＝．
由【探究】（1）可知＝　　，
∴＝．
（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为 　　．
【解答】（1）证明：∵S△ABC＝BC h，S△DBC＝BC h′，
∴＝．
（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．
∵AE∥DF，
∴△AEM∽△DFM，
∴＝，
由【探究】（1）可知＝，
∴＝．
故答案为：DF，△DFM，．
（3）作DK∥AC交l2于点K，
∵DK∥AC，
∴△ACE∽△DKE，
∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，
∴＝＝，
由【探究】（2）可得＝＝．
故答案为：．
一十二．解直角三角形的应用（共2小题）
18．（2022 吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，
∴AE＝AC sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
19．（2021 吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；
（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（ 　两直线平行，内错角相等　）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×　cosB　（填“sinB”或“cosB”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π BK．
＝2×3×6400×　0.72　（填相应的三角形函数值）
≈　27648　（km）（结果取整数）．
【解答】解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（ 两直线平行，内错角相等）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×cosB（填“sinB”或“cosB”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π BK．
＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）
≈27648（km）（结果取整数）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；cosB；0.72；27648．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
20．（2020 吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：
由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，
∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），
∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；
答：塔AB的高度约27m．
一十四．条形统计图（共1小题）
21．（2021 吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．
2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表
年龄 2016 2017 2018 2019 2020
增长速度 51.4% 28.0% 26.6% 25.3% 31.2%
说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是 　833.6　亿件．
（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是 　28.0%　．
（3）下列推断合理的是 　②　（填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．
【解答】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，
故答案为：833.6；
（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，
故答案为：28.0%；
（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上，因此②正确；
故答案为：②．
一十五．折线统计图（共1小题）
22．（2022 吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：
（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）
注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．
回答下列问题：
（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 　62.71　%．
（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为 　141260×64.72%　万人．（只填算式，不计算结果）
（3）下列推断较为合理的是 　①　（填序号）．
①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．
②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．
【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，
∴中为数是62.71%，
故答案为：62.71．
（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，
∴常住人口为141260×64.72%（万人），
故答案为：141260×64.72%．
（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，
∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．
故答案为：①．
一十六．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2022 吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．
【解答】解：由题意作树状图如下：
由图知，两人都决定去长白山的概率为．
24．（2020 吉林）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．
【解答】解：根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有5种情况，
∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．

展开更多......

收起↑