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抛物线
【知识梳理】
1．抛物线定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2．抛物线标准方程几何性质的对比
图形
标准 方程
顶点
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
注意 抛物线标准方程中参数的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离（简称焦准距），所以的值永远大于．另外，焦半径使用定义即可证明．
3．抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
4．弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
证明（点差法）：设，为抛物线上两点，则，作差得,其中是中点．或者说，若设的斜率为，则中点纵坐标．
[焦点在轴上的抛物线，同理]
5．焦点弦的常考性质 已知是过抛物线焦点的弦， 是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;
（2），
（3）; 重点
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
证明：（1）过作垂直，为垂足，在梯形中，
，，故以为直径的圆与准线相切．
设是的中点，则的坐标为，则点到轴的距离为，故以为直径的圆与轴相切，同理以为直径的圆与轴相切.
（2）在与中，；在中，
，因为，，所以，所以．
（3）设直线的方程为与抛物线联立得：，即，故，．
（4），，则、、三点共线，同理、、三点共线．上述证明方式并非唯一，多种方法均可证明，不再赘述．
6．抛物线的切线问题
点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．点在抛物线外，过点对应切点弦方程为．
点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
考点聚焦突破 分类讲练 以例求法
考点一 抛物线定义与标准方程
【例1】若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ．
【答案】2，【解析】；准线．
【例2】（2021新高考Ⅱ）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得： (舍去).故选：B.
【例3】（2020新课标Ⅰ理）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得。故选：C.
【例4】（2021长郡中学保温卷）是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】抛物线的准线方程为，其上一点到抛物线的焦点距离为6，则，解得，即抛物线的准线方程为。故选：A
【例5】（2020北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作⊥于，则线段的垂直平分线（ ）
A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B【解析】如图所示，因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．
【跟踪训练】
1．已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为，∴，∴焦点坐标为，故选B．
2.（2021海安高级中学期中）已知抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为，则______.
【答案】3【解析】由抛物线定义可得，，解得，故答案为：3
3．已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则　　
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A【解析】抛物线的焦点为，，是上一点，，．，解得．
考点二 抛物线性质
【例1】已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C【解析】设抛物线的方程为，易知，即，
∵点在准线上，∴到的距离为，所以面积为36，故选C．
【例2】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由，得，，则，．过，的直线方程为，即．联立，得．设，，，，则，．
．
【例3】设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为　　
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C【解析】抛物线方程为，可得它的焦点为，设直线方程为由消去，得设，，，，可得，，，可得，代入得且，消去得，解之得直线方程为或
【例4】已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为
【答案】【解析】是抛物线的焦点，，准线方程， 设，， ，线段的中点横坐标为，线段的中点到轴的距离为
【跟踪训练】
1.（2021长郡中学入学摸底）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，且。则抛物线的方程为
【解析】由已知可得，焦点，将代入抛物线的方程，可得，则，则，则方程为.
2.（2020新高考Ⅰ、Ⅱ）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则=________．
【答案】【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得 所以
解法二：设，则，过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
3.（2021海安高级中学月测）已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点（点第一象限），交拋物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ）（多选）
A． B．
C． D．以为直径的圆与轴相切
【答案】AD【解析】设点、，则，易知点，直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，，解得，，所以，，同理可得，即点、.对于A选项，联立，解得，即点，所以，，，则，A选项正确；对于B选项，，，则，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，线段的中点为，点到轴的距离为，所以，以为直径的圆与轴相切，D选项正确.故选：AD.
考点三 抛物线基础综合
【例1】已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）
A． 　 B．　 C．　　 D．
【答案】D【解析】∵双曲线：的离心率为2，所以
又渐近线方程为所以双曲线的渐近线方程为而抛物线的焦点坐标为所以有．故选D．
【例2】（2021新课标乙理）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．则
【详解】抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
【例3】（2021衡水中学一联）已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线相切
C．为定值 D．若，则
【答案】BCD【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以最小值为，故A不正确；如图，设线段中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
由抛物线定义可知，，
所以，所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确；设所在直线的方程为，由，消去，得，所以，，故C正确；又，，故D正确．故选：BCD.
【跟踪训练】
1. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，
故．
2. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D【解析】根据题意，过点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，从而可以求得，故选D．
3.（2021南通调研）已知抛物线过点则下列结论正确的是（ ）
A．点到抛物线焦点的距离为
B．过点作过抛物线焦点的直线交抛物线于点，则的面积为
C．过点与抛物线相切的直线方程为
D．过点作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点则直线的斜率为定值
【答案】BCD【解析】因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为：，焦点坐标为。对于A，，故A错误。对于B，，所以，与联立得：，所以，
所以，故B正确.
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为，与联立得：，
，解得，所以切线方程为，故C正确.
对于D， 依题意斜率存在，设，与联立得：，
所以，即，则，所以点，同理，所以，故D正确.故选：BCD
【达标训练】
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】由题意，的焦点坐标为，故选D．
2. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
3.（2020新课标Ⅰ）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，即，解得，故选C．
4．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　
A． B．3 C． D．2
【答案】B【解析】设到的距离为，则，，，不妨设直线的斜率为，，直线的方程为，与联立可得，
5．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为　　
A．2 B． C． D．4
【答案】C【解析】抛物线的方程为，可得，得焦点
设 根据抛物线的定义，得，即，解得
点在抛物线上，得 的面积为
6.（2020新课标Ⅲ）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】解法一：∵直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，∴，代入抛物线方程，求得，∴其焦点坐标为，故选B．
解法二：将代入 得．由OD⊥OE得，即，得，∴抛物线的焦点坐标为，故选B．
7．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于于，两点，则　　
A． B．6 C．12 D．
【答案】C【解析】由得其焦点，，准线方程为．则过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程为．代入抛物线方程，消去，得．设，，，则，
所以
8. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题知，与抛物线联立得，解得，所以，因为，所以，因为，所以．所以到直线的距离为．故选C．
9．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为　　
A． B．1 C． D．
【答案】C【解析】是抛物线的焦点，准线方程，设，，，，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，， 解得，线段的中点横坐标为，线段的中点到轴的距离为．
10.（2021如东期末）若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则____.
【答案】6【解析】由题意知：的焦点为，而双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，∴，即，故答案为：6
11．若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则= ．
【答案】【解析】的准线方程为，又，所以必经过双曲线的左焦点，所以，．
12．已知直线过点（1，0）且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．
【答案】【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为．
13.（2021北京）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．
【答案】①. 5 ；②. 【详解】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，所以，故答案为：5，.
14.（2021新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】【详解】不妨设，因为，所以的准线方程为。故答案为：
15. 已知，是过抛物线（）焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则抛物线的标准方程为 。
【答案】【解析】设, ，则，又由抛物线焦点弦性质， ，所以，得，
，得．
，得 ，抛物线的标准方程为

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