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外接球与内接球
【知识梳理】
1.外接球问题
（1）能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球
设长方体相邻的三条边棱长分别为，，．
图1墙角体 图2鳖臑
图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体
图1有重垂线，三视图都是三个直角三角形，侧面（侧棱）两两垂直，
图2有重垂线，所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；
图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形，
图4若是长方体则为对角巷相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）
图4中（长方体），,
．
2．内切球
法一：截面法
题设：正三棱锥求内切球半径（如图1所示）
第一步、先画出内切球的截面图如左图，、分别为两个三角形的外心．
第二步、求,，为侧面的高．
第三步、由相似于，建立等式：解出
特殊：正四面体（棱长为）的外接球半径与内切球半径之比为．
外接球半径：，内切球半径：
正三棱柱的外接圆与内切圆：外接圆与内切圆圆心在同一条高上，但不重合．
图1 图2 图3
题设：正四棱锥求内切球半径（如图2所示）
第一步、先画出内切球的截面图如左图，，，三点共线．
第二步、求,，为侧面的高．
第三步、由相似于，建立等式：解出．
法二：等体积法
题设：求任意三棱锥的内切球半径：等体积法（如图3所示）
第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积．
第二步、设内切球半径为，建立等式：．
第三步、解出（是椎体的体积，是椎体的表面积）．
棱长为的正四面体外接球半径：；
棱长为的正四面体外接球半径：；
正四面体外接半径：内切球半径．
考点聚焦突破 分类讲练 以例求法
【例1】（2020天津）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为。故选：C.
【例2】一个三棱锥内接于球，且，，，则球心到平面的距离是　　．
【解答】解：三棱锥可以视为长方体的面对角线构成的三棱锥，（如图）．三棱锥的外接球就是长方体的外接球，设长方体的棱长分别为，，．可得，棱锥的外接球的半径为．设的外接圆半径为，
球心到平面的距离
故答案为：．
【例3】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为 。
【解析】，，球心到截面的距离为球的半径减去正三棱锥在面上的高，可求得正三棱锥在面上的高为体对角线的，即，所以球心到截面的距离为。
【例4】四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】如图，在四面体中，底面，，，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故选：B．
【例5】（2021长郡中学月考）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上。若，，，。则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为直三棱柱中，，，，，所以，且为过底面的截面圆的直径．取中点，则⊥底面，则在侧面内，矩形的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
【例6】（2021如皋期中）正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】正三棱锥中，，，所以,
故，同理可得, ，以为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以，
故球的表面积为,故选：C
【例7】（2020新课标Ⅱ文理）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上。若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C【详解】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，，解得：，，
球心到平面的距离。故选：C.
【例8】已知两圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上，若圆锥的底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为 ．
【答案】3【解析】设圆锥底面半径为，球的半径为，球心为，圆锥底面圆心为，两顶点分别为、，则由=知，=，根据球的截面性质可知、、、共线，圆面，圆锥的轴截面内接于球的大圆，因此，．
设=，=，则=， ①
又∽知==，即= ②
由①②可得=，=，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为3．
【例9】设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】B【解析】为等边三角形且面积为，可得，解得，球心为，三角形 的外心为，显然在的延长线与球的交点如图：，，则三棱锥高的最大值为：6，则三棱锥体积的最大值为：，故选．
【跟踪训练】
1. 设长方体的长、宽、高分别为。其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】：，选B。
2. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，，，两两垂直，则球的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：是边长为的正三角形，，，两两垂直，，
由三棱锥的所有顶点都在球的球面上，故球相当于棱长为1的正方体的外接球，故，故球的体积，故选：．
3.（2021长郡中学质检）已知三棱柱的各顶点均在表面积为的同一球面上，，则这个三棱柱的高是______.
【答案】【解析】球的表面积，解得.因为，易知的外接圆的半径，因为三棱柱各顶点均在同一球面上，故该三棱柱必为直三棱柱，所以三棱柱的高.故答案为：.
4. 已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，底面是以为直角顶点的直角三角形，，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解析：设中点为，则为的外心，因为，易证面，所以球心在直线上，又，，算得，设球半径为，则中，，可得：．则球的表面积，故选：．
5. （2021新课标甲理）已如是半径为1的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，
则，所以。故选：A.
6. （2021天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为。故选：B.
7. （2020新课标Ⅰ文理）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，
球的表面积。故选：A
【达标训练】
1．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由已知，，
所以长方体的外接球半径，故外接球的表面积为.故选：B
2. 直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解：如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，
可将直三棱柱补成长方体，其中，
，长方体的对角线
，即为球的直径，则球的半径为。球的表面积为。故选: A.
3．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题意，将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球。外接球的半径为
故选：A
4．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】如图所示，因为正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，
则，所以三棱锥的高,
又由球心到四个顶点的距离相等，在直角三角形中，，又由，即，解得，所以球的表面积为，故选D.
5. 已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选.
6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为，则，解得，∴球的体积为=，故选A．
7．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选．
8．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　．
【答案】【解析】长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为：，则球的表面积为：．
9. 已知在四面体中，，，则四面体的外接球表面积为______.
【答案】【详解】对于四面体中，因为，
所以可以把四面体还原为一个长方体，如图：
设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有：
，解得：。点A、B、C、D均为长、宽、高分别为，，的长方体的顶点，且四面体的外接球即为该长方体的外接球，于是长方体的体对角线即为外接球的直径，不妨设外接球的半径为，∴， ∴外接球的表面积为.故答案为：.
10.（2021启东期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.
【答案】【解析】因为，所以，所以，
所以可将三棱柱补成一个长方体，如图：
则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径，所以，所以。所以外接球的表面积为.故答案为：
11. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为　　．
【解答】解：球的半径为：；则球的表面积为：，圆锥的底面积为：，
两个圆锥的体积和为：，球的体积为：，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：．故答案为：．

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