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2022年高考数学第一轮复习：数列（三）
构造等比数列
设计师：
题型一：拆分常数项
一、拆分常数项题型。
（1）拆分常数项题型传统解法，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知数列满足： ，。 计算：数列的通项公式。 题目解法的难点： 第一步：递推公式两边同时加上或者减去同一个数。 难点在于这个数应该是什么，才能保证加减这个数为等比数列。 解决方案：第（2）部分我的原创解法设计解决此问题。 解：第一步：递推式两边同时加。 。 第二步：证明等比数列。 数列是等比数列。 第三步：计算通项公式。 首项：，公比：。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
例题二：已知数列满足： ，。 计算：数列的通项公式。 构造等比数列的公比： 递推公式的系数为构造 等比数列的公比。 构造等比数列的数列： 第一步：递推公式两边同时加上或者减去同一个数。 加上或者减去这个数为等比数列。 解：第一步：递推式两边同时减去。 。 第二步：证明等比数列。 数列是等比数列。 第三步：计算通项公式。 首项：，公比：。 根据等比数列通项公式得： 。 所以：数列的通项公式：。
（2）拆分常数项题型原创解法，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知数列满足： ，。 计算：数列的通项公式。 构造等比数列的公比： 递推公式的系数为构造 等比数列的公比。 构造等比数列的数列： 加上或减去一个数为构造的等比数列。 解：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：。 变形（目标是已知递推公式的形式）： 与已知是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
例题二：已知数列满足： ，。 计算：数列的通项公式。 构造等比数列的公比： 递推公式的系数为构造 等比数列的公比。 构造等比数列的数列： 加上或减去一个数为构造的等比数列。 解：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：。 变形（目标是已知递推公式的形式）： 与已知是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得： 。 所以：数列的通项公式：。
（3）拆分常数项的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知数列满足： ，。 计算：数列的通项公式。 解：
训练二：已知数列满足： ，。 计算：数列的通项公式。 解：
（4）拆分常数项的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：与已知是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
训练二：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：与已知是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
二、前n项和与拆分常数项题型。
（1）前n项和与拆分常数项题型原创解法，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 前n项和与通项关系： ①当时： ②当时： 解：分类讨论：（1）当时： ，（原理） 。 （2）当时： 。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：。 变形： 与是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列的通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
例题二：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 前n项和与通项关系： ①当时： ②当时： 解：分类讨论：（1）当时： ， 。 （2）当时： 。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与 是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列的通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
（2）前n项和与拆分常数项的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 解：
训练二：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 解：
（3）前n项和与拆分常数项的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：分类讨论：（1）当时： ，。 （2）当时：。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到：与 是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
训练二：分类讨论：（1）当时：， 。 （2）当时：。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与是同一个递推公式。 根据对应常数项相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
题型二：拆分一次函数
一、拆分一次函数题型。
（1）拆分一次函数题型的原创解法，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 构造等比数列的公比： 递推公式的系数为构造 等比数列的公比。 构造等比数列的数列： 加上关于的一次函数为构造的等比数列。 解：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：。 变形： 与已知是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：， ，。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
例题二：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 构造等比数列的公比： 递推公式的系数为构造 等比数列的公比。 构造等比数列的数列： 加上关于的一次函数为构造的等比数列。 解：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：。 变形： 与已知是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：， ，。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
（2）拆分一次函数题型的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 解：
训练二：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 解：
（3）拆分一次函数题型的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与已知递推公式 是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：，，。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列的通项公式得到：。
训练二：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与已知递推公式 是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：，，。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到：。 根据等比数列的通项公式得到：。
二、前n项和与拆分一次函数题型。
（1）前n项和与拆分一次函数题型的原创解法，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 前n项和与通项关系： ①当时： ②当时： 解：分类讨论：（1）当时： ， 。 （2）当时： 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到： 与是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：， ，。 所以：数列是首项：，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
例题二：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 前n项和与通项关系： ①当时： ②当时： 解：分类讨论：（1）当时： ，。 （2）当时： 。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到：。 变形： 与是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：， ，。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列的通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
（2）前n项和与拆分一次函数题型的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 解：
训练二：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 解：
（3）前n项和与拆分一次函数题型的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：分类讨论：（1）当时： ，。 （2）当时： 。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到： 与是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：，，。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得：。 所以：数列的通项公式：。
训练二：分类讨论：（1）当时： ，。 （2）当时： 。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与递推公式 是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：，，。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列的通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
题型三：拆分指数函数
一、拆分指数函数题型。
（1）拆分指数函数题型的原创解法，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 构造等比数列的公比： 递推公式的系数为构造 等比数列的公比。 构造等比数列的数列： 加上关于的指数函数为构造的等比数列。 解：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与已知是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：。 。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
例题二：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 构造等比数列的公比： 递推公式的系数为构造 等比数列的公比。 构造等比数列的数列： 加上关于的指数函数为构造的等比数列。 解：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： ， 。 所以：是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
（2）拆分指数函数题型的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 解：
训练二：已知数列满足：，。 计算：数列的通项公式。 解：
（3）拆分指数函数题型的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与 已知是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列的通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
训练二：假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到： 与是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
二、前n项和与拆分指数函数题型。
（1）前n项和与拆分指数函数题型的原创解法，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 前n项和与通项关系： ①当时： ②当时： 解：分类讨论：（1）当时： ， 。 （2）当时：。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与 是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：。 。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
例题二：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 前n项和与通项关系： ①当时： ②当时： 解：分类讨论：（1）当时： ， 。 （2）当时： 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到： 与是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：。 。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。
（2）前n项和与拆分指数函数题型的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 解：
训练二：记为数列的前项和，。 计算：数列的通项公式。 解：
（3）前n项和与拆分指数函数题型的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：分类讨论：（1）当时：， 。 （2）当时：。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列的定义得到： 与是同一个递推公式。 根据对应系数相等得：。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到：。 所以：数列的通项公式：。
训练二：分类讨论：（1）当时：， 。 （2）当时：。 。 假设：数列是公比为的等比数列。 根据等比数列定义得到：
与是同一个递推公式。 根据对应系数相等得到：。 。 所以：数列是首项，公比为的等比数列。 根据等比数列通项公式得到： 。 所以：数列的通项公式：。

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