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函数专题——函数图像及数形结合问题
题型一 ：分析函数解析式判断图像
例题1．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．函数y=的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练1．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
变式训练2．函数的图象可能是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
变式训练3．抛物线y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型二 ：动点与函数图像问题
例题1．直角梯形OABC中，，，，直线l：截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
例题2．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是（ ）.
A． B． C．D．
变式训练1．点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．某饲料厂原有陈粮10吨，又购进新粮x吨，现将粮食总库存量的一半精加工为饲料.若被精加工的新粮最多可用吨，被精加工的陈粮最多可用y2吨，记，则函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练3．如图，扇形的半径，圆心角，是弧上不同于、的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且，设的长为，的面积为，下面表示与的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 ：利用函数图像解决不等式问题
例题1．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．已知函数若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练1．已知，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．已知函数，若关于的不等式恒成立，则非零实数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式训练3．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
题型四 ：利用函数图像解决方程的根与交点问题
例题1．已知函数，若，且的最大值为3，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
例题2．若函数y＝f(x)图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y＝f(x)的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）已知函数，则此函数的“黄金点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
变式训练1．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C．2 D．4
变式训练2．已知直线，若分别与函数的图象相交于（从左到右）个不同的交点，曲线段在轴上投影的长度为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
变式训练3．已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区上所有零点之和为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型五 ：指数函数图像变换
例题1．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．已知函数f(x)=x-4+，x∈(0，4)，当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=的图象为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练1．已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
变式训练3．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型六 ：指数与对数图像的综合问题
例题1．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．已知，且，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式训练1．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．已知、分别是函数、的零点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
变式训练3．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
函数专题——函数图像及数形结合问题
课后巩固练习
1．抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数y＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则方程的实根个数为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的部分图象大致为
A． B．
C． D．
10．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．设若关于x的方程有6个实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知，设函数的零点为m，的零点为n，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
函数专题——函数图像及数形结合问题
题型一 ：分析函数解析式判断图像
例题1．
【答案】D
【分析】
先考虑单调性，再代入特殊点，或者看函数的单调性.
【详解】
∵函数的定义域为，且，∴是奇函数，所以排除选项A与选项B，又当时，为负值且，故选项C错误，选项D正确
故选：D
例题2．
【答案】A
【分析】
由函数解析式知：定义域{x | x≠0}，根据函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）即可确定大致图象．
【详解】
要使函数有意义，需使ex e-x ≠ 0，故定义域为{x | x≠0}，排除C，D，
又，当x＞0时函数为减函数.
∴只有A符合要求.
故选：A
变式训练1．
【答案】B
【分析】
由函数的图象可得，，从而可得的大致图象．
【详解】
由的图象可得，，
所以，，
故函数为增函数，相对向下平移大于1个单位
故选：B
变式训练2．
【答案】C
【分析】
分别讨论，，三种情况，利用导数判断单调性，结合①②③④即可得正确选项.
【详解】
当时，，此时图象为④，故④正确；
，
当时，由可得，恒成立，
恒成立，此时在，，上单调递减，此时为图③，故③正确；
当时，恒成立，定义域为，
由可得：；由可得或，
所以此时在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，此时为图②，故②正确；
综上所述：函数的图象可能是②③④，
故选：C.
变式训练3．
【答案】D
【分析】
根据抛物线图象可得即可判断.
【详解】
由抛物线可知，，对称轴，即，
则一次函数的图象经过第二、三、四象限，
反比例函数的图象经过第一、三象限，故D选项的图象符合.
故选：D.
题型二 ：动点与函数图像问题
例题1．
【答案】C
【分析】
根据直线的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：，然后根据不同段上的函数的性质即可求解．
【详解】
由题意可知：当时，，
当时，；
所以．
结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合．
故选：C．
例题2．
【答案】A
【分析】
根据题意，求出函数解析式，据此分析选项，即可得答案
【详解】
解：根据题意，当时，，
当时，，
当时，，
所以只有A选项符合，
故选：A
变式训练1．
【答案】A
【分析】
讨论P在AB、BC、CM时面积的解析式，并写出定义域，即可得解.
【详解】
当在上时，，；
当在上时，，；
当在上时，，；
对比选项，可得A正确.
故选：A
变式训练2．
【答案】B
【分析】
根据条件，利用特殊值分别验证当，10，20时，函数图象的对应值，利用排除法进行求解即可.
【详解】
若，则此时库存为10吨，则库存的一半为5吨加工成饲料，则，，
此时，排除A，
若，则此时库存为吨，则库存的一半为10吨加工成饲料，
若全部被加工的是陈粮，则，若全部被加工的是新粮，则，
此时，
若，则此时库存为吨，则库存的一半为15吨加工成饲料，
若全部被加工的是陈粮，则y2=10，若全部被加工的是新粮，则，
此时，排除D，
因为，，三点不共线，所以不可能是直线，故排除C，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别和判断，利用特值法结合排除法是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
变式训练3．
【答案】A
【分析】
计算得出与的函数关系式，由此可得出与的函数图象.
【详解】
连接，则，，，
，
则关于的函数不是一次函数，
令，则，
内层函数在区间上单调递增，
外层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，即，，可得；
当时，即，，可得.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故符合条件的图象为选项A中的图象.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图象的判断，结合题意建立函数解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
题型三 ：利用函数图像解决不等式问题
例题1．
【答案】B
【分析】
作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【详解】
解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，解得，
所以要使对任意，都有，则，，
故选：B．
【点睛】
易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
例题2．
【答案】B
【分析】
首先画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】
，如图，作出函数的图象，当直线与曲线相切时，，当时，
切线的斜率为，于是.
故选：B
变式训练1．
【答案】A
【分析】
由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方，分类讨论，利用数形结合的方法研究即可求解
【详解】
，
由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方．
①当时，显然不满足条件．
②当时，函数的图象是把函数的图象向左平移个单位得到的，函数在上单调递增，图象不满足函数的图象在函数的图象下方．
③当时，如图所示：
在为减，在为增，
的图象由的图象向右平移的单位得到，
当时的图象在的图象下方，
发现只需当时成立即可满足条件，
即 ，
结合 化简得 故 ，
解得，故此时的范围为．
综上可得的范围为．
故选：A．
变式训练2．
【答案】B
【分析】
根据的解析式作出的图象，再分别讨论，，由特殊点不满足可排除，当时，作出的图象，由图象可知恒成立，进而可得正确答案.
【详解】
作出函数的图象如图所示：且，
当时，当和时，不等式恒成立，所以不满足恒成立，
当时，不等式对于一定不成立；由排除法知选项A不正确；
当时，作出的图象，如图中虚线所示：
此时满足恒成立，所以实数的最小值为，
故选：B.
变式训练3．
【答案】D
【分析】
先根据题意画出函数的简图，再分，两种情况讨论，结合图像解不等式即可
【详解】
由题意，函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，
且，可画出函数简图如下图所示：
当时，，解得；
当时，，解得；
综上不等式的解集为: 或
故选：D
题型四 ：利用函数图像解决方程的根与交点问题
例题1．
【答案】C
【分析】
当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，作出图象，当时，不符题意.当时， 利用导函数的几何意义可求得答案.
【详解】
解：因为函数，当时，，则，令，解得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
如下如图，当时，，则，且，不符.
如下如图，当时，，要使得取得最大值，则，，不妨设直线为曲线在处的切线，则，，，所以，，所以，，
故选：C.
例题2．
【答案】C
【分析】
将关于y轴对称得到y＝9－2x，x＞0，问题转化为y＝9－2x，x＞0与、交点的个数问题，数形结合即可得到答案.
【详解】
由题意关于y轴对称的函数为y＝9－2x，x＞0，
作出函数f(x)和y＝9－2x，x＞0的图象，
由图象知当时，联立y＝4x－x2和y＝9－2x，x＞0，得x2－6x＋9＝0，所以，
当时，联立和y＝9－2x，x＞0得，解得，（舍），
故两图象有2个交点．所以函数f(x)的“黄金点对”有2对．
故选：C
变式训练1．
【答案】A
【分析】
对分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】
（1）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以.
综上，的取值范围是
故选：A
变式训练2．
【答案】C
【分析】
根据题意，易得，再结合对数运算以及均值不等式即可求解.
【详解】
设点的横坐标分别为，则结合函数的图象，易得.
由题意得，，，故，
因此，当且仅当，即时，取等号.
因此当取得最小值时，.
故选：C.
变式训练3．
【答案】A
【分析】
根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由时函数的解析式可作出函数的图象，原问题可转化为图象与图象交点横坐标问题，由对称性求和即可.
【详解】
由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如图所示，
又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，从左至右，交点的横坐标分别为所以，所以零点之和为.
故选：A
题型五 ：指数函数图像变换
例题1．
【答案】D
【分析】
就、分类讨论可得正确的选项.
【详解】
当时，为增函数，当时，且，
故A，B 不符合.
当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.
故选：D.
例题2．
【答案】B
【分析】
利用均值不等式求出函数f(x)的最小值及对应的x值，求出的解析式并讨论其性质即可判断作答.
【详解】
因x∈(0，4)，则x＋1>1，于是得，
当且仅当，即x=2时取等号，f(x)的最小值为1，则a=2，b=1，
函数，其图象关于直线x=-1对称，当时，单调递减，只有B选项满足.
故选：B
变式训练1．
【答案】B
【分析】
根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
变式训练2．
【答案】B
【分析】
化简整理，可得，根据平移变换的原则，即可得答案.
【详解】
由题意得，
所以只需将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象.
故选：B
变式训练3．
【答案】A
【分析】
由，可得，由图像可知函数是减函数，则，从而可求出的范围，由可求出的取值范围
【详解】
由，可得，
因为由图像可知函数是减函数，所以，所以，
因为，
所以，所以，
故选：A
题型六 ：指数与对数图像的综合问题
例题1．
【答案】A
【分析】
由奇偶函数定义可先判断函数为偶函数，再取即可选出合适答案
【详解】
因为，故为偶函数，BC错误；
当时，，而，都大于零，故，
故选：A
例题2．
【答案】C
【分析】
由题意可得，，.依次作出，，，在上的图像，然后根据函数图像可求得答案
【详解】
，，.
依次作出，，，在上的图像，
如图所示.由图像可知，，，所以.
故选：C.
变式训练1．
【答案】D
【分析】
根据指数函数与对数函数的图象判断．
【详解】
因为，，是减函数，是增函数，只有D满足．
故选：D．
变式训练2．
【答案】C
【分析】
由题意为函数与的交点的横坐标，函数与的交点的横坐标，又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，从而交点也直线对称，可得答案.
【详解】
根据题意，已知、分别是函数、的零点，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
函数的零点为函数与的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为，
又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，
而直线也关于直线对称，则点和也关于直线对称，则有，则有，
故选：C.
【点睛】
变式训练3．
【答案】C
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用幂函数的图像，直接判断；
对于B：利用指数函数的图像，直接判断；
对于C、D：利用对数函数的图像，进行判断；
【详解】
对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；
故选：C
函数专题——函数图像及数形结合问题
课后巩固练习
【答案】B
【分析】
根据抛物线图象可得即可判断.
【详解】
由抛物线可知，，对称轴，即，
则一次函数的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数的图象经过第二、四象限，故B选项的图象符合.
故选：B.
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性和值域即可判断.
【详解】
所以为偶函数，所以图象关于 轴对称，故排除B，
当 时， 故排除 A，当 时， 故排除 D
故选：C .
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性可排除B，在根据导数求出函数在当时的单调区间，即可得出答案.
【详解】
∵y＝f(－x)＝＝－f(x)，
∴y＝f(x)＝为奇函数，
∴y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，可排除B.
又∵当x＞0时，f(x)＝， ，
∴当x＞e时，＜0，
∴函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减；
当0＜x＜e时，＞0，
∴函数f(x)在(0，e)上单调递增.
故可排除A，D，而C满足题意.
故选：C.
【答案】D
【分析】
先根据指数函数的单调性得到函数在上的单调性，再画出分段函数的图象，利用图象得到不等式的解集.
【详解】
当时，函数单调递减，
则，
作出的大致图象如图所示，
由图象知，要使，
须或，
解得或，
即.
故选：D.
【答案】A
【分析】
由条件可知，的图象是由向左平移个单位长度得到，再利用数形结合，分析图象的临界条件，得到的取值范围.
【详解】
当时，，图象过点和，即，
解得：，，即，
当时，设抛物线，代入点得，，即，
所以 ，
的图象是由向左平移个单位长度得到，因为，对恒成立，所以的图象恒在的上方，当两图象如图所示，相切时，
抛物线，，
与直线相切，即，解得：，，
切点代入得，
得，所以，解得：或.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据不等式恒成立，求参数的取值范围，本题的关键是数形结合，分析临界条件，利用直线与抛物线相切，求参数的取值范围.
【答案】C
【分析】
作出，在上的图象，当的图象在的图象的上方时，分析此时的取值范围即可.
【详解】
作出，在上的图象如下图所示：
因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合），
且，令，所以，所以，
根据图象可知：当经过点时，有最小值，，
当经过点时，有最大值，，
综上可知的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
7．
【答案】A
【分析】
画出函数f（x）的图象，结合图象求出a的范围即可．
【详解】
解：画出函数f（x）的图象，如图示：
方程有三个不同的实数根，
即y＝f（x）和y＝a的图象有3个不同的交点，
结合图象：0＜a＜1，
故选：A．
8.
【答案】C
【分析】
将问题转化为与图象的交点个数问题，作出函数图象，利用数形结合的方式可得结果.
【详解】
方程的实根个数即为与图象的交点个数，
在平面直角坐标系中作出函数与的图象如下图所示，
由图象可知：与有个不同的交点，
方程的实根个数为个.
故选：C.
【答案】B
【分析】
根据函数的定义域以及单调性求解.
【详解】
由题意得，的定义域为，排除C,D；
当时，，∵，∴ 在上单调递减，排除A，
故选B.
【点睛】
本题考查了已知函数表达式，识别函数图象，涉及了函数的定义域以及指数函数的单调性；从函数的定义域可以判断函数图象的“左右”位置，以及是否有断点；单调性可以判断函数的变化趋势.
【答案】C
【分析】
画出分段函数的图象，并计算得出，，观察图象可得结果.
【详解】
可知在单调递增，在单调递增，且，，画出函数图象，
观察图象可知，要使在上的最大值为4，需满足．
故选：C.
【答案】A
【分析】
转化为当时，函数的图象不在的图象的上方，根据图象列式可解得结果.
【详解】
由题意知关于的不等式在恒成立，
所以当时，函数的图象不在的图象的上方，
由图可知，解得.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用函数的图象与函数的图象求解是解题关键.
【答案】D
【分析】
根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【详解】
当时，，故，
因为，
故当时，，，
同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.
所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，
故若对任意，都有，则，
令，或，
结合函数的图象可得，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
【答案】A
【分析】
作出函数的图象,令f(x) =t，结合图象可得,要使恰好由六个不同的实数解，则方程在( 0, 4)内有两个不同的实数根.
【详解】
作函数的图象如下，
令f(x) =t，
则方程可化为
要使关于x的方程有6个实数解，
则方程在( 0, 4)内有两个不同的实数根，
解得，
故选：A
【答案】A
【分析】
把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m,n之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解.
【详解】
函数的零点为函数与图像的交点A的横坐标，函数的零点为函数与图像的交点B的横坐标
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图像关于对称，
直线与垂直
故两直线的交点即是A，B的中点，
当且仅当：时等号成立
而，故
故选：A
【点睛】
本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
【答案】A
【分析】
根据题意，表示两点，距离的平方，画出图象，可知，，则，分类讨论，结合条件即可求出的取值范围.
【详解】
解：令，
则为两点，距离的平方，
画出与的图象.
设，，两函数图象在，处的切线斜率都为1，，
当时，可知为最小值.即，
解得，
当时，显然成立，
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查指对数函数的应用，涉及切线斜率和两点间距离，考查转化和分析能力.

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