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第5节　复　数
1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的 矛盾.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的定义.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.
(2)复数的分类
复数z=a+bi(a,b∈R)
(3)复数相等
a+bi=c+di a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数
a+bi与c+di互为共轭复数 a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|= |a+bi|=(a,b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:===+i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
1.(1±i)2=±2i;=i;=-i.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,
||=,|zn|=|z|n.
1.(必修第二册P73习题T6改编)设z=(1+i)(2-i),则复数z在复平面内所对应的点位于(　A　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=(1+i)(2-i)=3+i,故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限.故选A.
2.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是(　D　)
A.1-2i B.-1+2i
C.3+4i D.-3-4i
解析:因为=+=-=-1-3i-2-i=-3-4i.故选D.
3.设复数z满足=i,则|z|等于(　A　)
A.1 B. C. D.2
解析:=i,则z==i,所以|z|=1.故选A.
4.若a为实数,且=3+i,则a等于(　D　)
A.-4 B.-3 C.3 D.4
解析:由=3+i,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即ai=4i,因为a为实数,所以a=4.故选D.
5.已知(1+2i)=4+3i,则z=　　　　.
解析:由(1+2i)=4+3i得===2-i.所以z=2+i.
答案:2+i
复数的基本概念
1.如果复数z=,那么(　D　)
A.z的共轭复数为1+i B.z的虚部为-i
C.|z|=2 D.z的实部为-1
解析:因为z====-1-i,所以z的实部为-1.故选D.
2.满足i3·z=1-3i的复数z的共轭复数是(　A　)
A.3-i B.-3-i
C.3+i D.-3+i
解析:由题意,得z====3+i,所以=3-i.故选A.
3.(多选题)已知i为虚数单位,则下列选项正确的是(　ABD　)
A.复数z=的虚部为
B.复数z=的共轭复数=-5-2i
C.复数z=-i在复平面内对应的点位于第二象限
D.复数z满足∈R,则z∈R
解析:对于A,z===-+i,其虚部为,故A正确;对于B,z==(2+5i)i=-5+2i,故=-5-2i,故B正确;对于C,z=-i在复平面内对应点的坐标为(,-),位于第四象限,故C不正确;对于D,设z=a+bi(a,b∈R),则==,又∈R,得b=0,所以z=a∈R,故D正确.故选ABD.
1.求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+ bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
2.求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成标准的代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.复数z1=a+bi与z2=c+di互为共轭复数 a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
3.复数是实数的条件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
4.复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数 z+=0(z≠0);③z是纯虚数 z2<0.
复数的四则运算
1.已知复数z满足z+|z|=1+i,则z等于(　B　)
A.-i B.i
C.1-i D.1+i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=(a+)+bi=1+i,所以解得所以z=i.故选B.
2.若(1+i)=1-i,则z等于(　D　)
A.1-i B.1+i
C.-i D.i
解析:因为(1+i)=1-i,所以===-i,所以z=i.故选D.
3.()6+=　　　　.
解析:原式=[]6+=i6+=-1+i.
答案:-1+i
1.复数的加、减、乘法:复数的加、减、乘法类似于多项式的运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
2.复数的除法:除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.解题中要注意把i的幂写成最简形式.
复数的几何意义
　求复数对应点(向量)的坐标
已知i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点的坐标为(　　)
A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,0) D.(0,-1)
解析:因为==i,所以该复数在复平面内所对应的点的坐标为(0,1).故选A.
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个复数对应的点,只需确定复数的实部和虚部即可.
　复数对应点所在的象限
已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
解析:由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以解得-3　复数对应点的轨迹
设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y)(x,y∈R),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
解析:由题意可知z=x+yi,所以|z-i|=|x+(y-1)i|==1,所以x2+(y-1)2=1.故选C.
利用复数z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),建立方程,判断动点轨迹.
[针对训练]
1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1·z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),位于第四象限.故选D.
2.设复数z满足|z-1-i|=,则|z|的最大值为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
解析:复数z满足|z-1-i|=,故复数z在复平面内对应的点是以A(1,1)为圆心,为半径的圆,|AO|=(O为坐标原点),故|z|的最大值为+=2.故选C.
3.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则|z1-z2|=　　　　.
解析:由图可知z1=i,z2=2-i,
故|z1-z2|=|-2+2i|==2.
答案:2
如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,若zz2=z1,则z的共轭复数等于(　　)
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
解析:由题意知z1=1+2i,z2=-1+i,故z(-1+i)=1+2i,即z==
==-i,=+i.故选A.
在复平面内,复数 对应的点位于直线y=x的左上方,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
解析:因为==,复数对应的点在直线y=x的左上方,所以1-a>a+1,解得a<0,故实数a的取值范围是(-∞,0).故 选A.
如图,已知复数z在复平面内对应的向量为,O为坐标原点,则|z|为(　　)
A.1 B.
C. D.2
解析:因为向量=(1,1),
所以复数z对应的点为(1,1),
所以|z|==.故选B.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
复数的概念 2,7
复数的运算 3,4,6,8
复数的几何意义 1,9
综合问题 5 10,11,12,13,14 15,16
1.已知复数z满足=i,则z在复平面内对应的点位于(　A　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:法一　设z=a+bi(a,b∈R),因为=i,所以=i,所以a+bi=(1-b)+ai,所以解得a=b=,所以z在复平面内对应的点为(,),位于第一象限.故选A.
法二　因为=i,所以z===+i,所以z在复平面内对应的点为(,),位于第一象限.故选A.
2.设(1+2i)x=x+yi,其中x,y是实数,i为虚数单位,则 |+i|等于(　D　)
A.1 B. C. D.
解析:由x+2xi=x+yi,x,y∈R,则y=2x, |+i|=|2+i|=.故选D.
3.若z=1+i,则|z2-2z|等于(　D　)
A.0 B.1 C. D.2
解析:法一　因为z=1+i,所以|z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|= |-2|=2.故选D.
法二　因为z=1+i,所以|z2-2z|=|z||z-2|=×|-1+i|=×=2.故选D.
4.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,则等于(　B　)
A.1+i B.+i
C.1+i D.1+i
解析:因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,所以z2=2-i,所以===+i.故选B.
5.(多选题)下列命题正确的是(　BCD　)
A.若复数z1,z2的模相等,则z1,z2互为共轭复数
B.z1,z2都是复数,若z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数
C.复数z是实数的充要条件是z=(是z的共轭复数)
D.已知复数z=x+yi(x,y∈R)且|z-2|=,则的最大值为
解析:对于A,z1和z2可能是相等的复数,故A错误;对于B,若z1和z2互为共轭复数,则相加为实数,不会为虚数,故B正确;对于C,由a+bi=a-bi得b=0,故C正确;对于D,因为|z-2|==,所以(x-2)2+y2=3,由图可知()max=,故D正确.故选BCD.
6.已知复数z=(i为虚数单位),那么z的共轭复数为(　B　)
A.+i B.-i
C.+i D.-i
解析:由题意知z===+i,所以=-i.故选B.
7.已知i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=　　　　.
解析:由已知,得a+=a+=a+2+i,由题意得a+2=0,所以a=-2.
答案:-2
8.复数z的共轭复数满足(2+i)=|3+4i|,z=　　　　.
解析:法一　由(2+i)=|3+4i|,得====2-i,所以z=2+i.
法二　设z=a+bi(a,b∈R),则(2+i)(a-bi)=5,即2a+b+(a-2b)i=5,所以解得所以z=2+i.
答案:2+i
9.若|z1-z2|=1,则称z1与z2互为“邻位复数”.已知复数z1=a+i与z2=2+bi互为“邻位复数”,a,b∈R,求a2+b2的最大值.
解:由题意,|a+i-2-bi|=1,故(a-2)2+(-b)2=1,所以点(a,b)在圆(x-2)2+(y-)2=1上,而表示点(a,b)到原点的距离,故a2+b2的最大值为(+1)2=(1+)2=8+2.　
10.已知复数z=,则下列结论正确的是(　D　)
A.z的虚部为i
B.|z|=2
C.z的共轭复数=-1+i
D.z2为纯虚数
解析:z=====1+i,则z的虚部为1,所以选项A错误;|z|==,所以选项B错误;z的共轭复数=1-i,所以选项C错误;z2=(1+i)2=2i是纯虚数,所以选项D正确.故选D.
11.复数z满足(z-2)·i=z(i为虚数单位),为复数z的共轭复数,则下列说法正确的是(　B　)
A.z2=2i B.z·=2
C.|z|=2 D.z+=0
解析:由题意,得zi-2i=z,z(i-1)=2i,z====1-i,则z2=-2i,z·=(1-i)(1+i)=2,|z|=,z+=1-i+1+i=2.故选B.
12.已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为　　　　.
解析:因为M∩N={3},所以3∈M且-1 M,
所以m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,
所以m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,
解得m=6或m=3,经检验符合题意.
答案:3或6
13.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面内对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),λ+μ的值为　　　　.
解析:由条件得=(3,-4),=(-1,2),
=(1,-1),
根据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ, 2λ-μ),
所以解得
所以λ+μ=1.
答案:1
14.已知复数z满足:z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三 象限.
(1)求复数z;
(2)设a∈R,且 |()2 021+a|=2,求实数a的值.
解:(1)设z=c+di(c,d∈R且c<0,d<0),
则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i,
所以
解得或(舍去).
所以z=-2-i.
(2)因为=-2+i,
所以====i,
所以()2 021=i2 021=i2 020+1=i505×4+1=i,
所以|a+i|==2,所以a=±.
15.已知复数z=bi(b∈R),是实数,i是虚数单位.
(1)求复数z;
(2)若复数(m+z)2在复平面内所对应的点位于第一象限,求实数m的取值范围.
解:(1)因为z=bi(b∈R),
所以==
==+i.
又因为是实数,所以=0,
所以b=-2,即z=-2i.
(2)因为z=-2i,m∈R,
所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=
(m2-4)-4mi,
又因为复数(m+z)2在复平面内所对应的点位于第一象限,
所以解得m<-2,
即实数m的取值范围为(-∞,-2).
16.若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;
②z+3的实部与虚部互为相反数.
求z.
解:设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),
则z+=a+bi+=a+bi+=(a+)+(b-)i.
因为z+是实数,所以b-=0.
又因为b≠0,所以a2+b2=5.①
又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,
所以a+3+b=0.②
联立①②得
解得或
故z=-1-2i或z=-2-i.

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