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第1节　随机抽样、统计图表
1.理解随机抽样的必要性和重要性,了解获取数据的基本途径及相关概念,会用简单随机抽样和分层随机抽样从总体中抽取样本.
2.了解频率分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率分布折线图、条形图和扇形图,理解它们各自的特点.
1.全面调查和抽样调查
调查 方式 普查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查
相关 概念 总体:在一个调查中,把调查对象的全体称为总体 个体:组成总体的每一个调查对象称为个体 样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本 样本量:样本中包含的个体的数量称为样本容量,简称样本量
样本与样本容量是两个不同的概念.样本是从总体中抽出的个体组成的集合,是对象;样本容量是样本中个体的数目,是一个数.
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样:放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
(2)两种常见的简单随机抽样方法
①抽签法
先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.
②随机数法
(ⅰ)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生总体范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数.
(ⅱ)产生随机数的方法:a.用随机试验生成随机数,b.用信息技术生成随机数.
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.
(2)分层随机抽样的应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层随机抽样.
分层随机抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的,即.
4.画频率分布直方图的步骤
(1)求极差:极差是一组数据中最大值与最小值的差.
(2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成5～12组,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”.
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表:一般分四列,即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是1.
(5)画频率分布直方图:横轴表示样本数据,纵轴表示.
画频率分布直方图时,纵坐标表示频率与组距的比值,而不是频率.
5.其他统计图表
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图和 直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
1.对于简单随机抽样和分层随机抽样,不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体被抽到的概率是相同的.
2.频率分布直方图中,小长方形的高=;小长方形的面积=组距×=频率;各个小长方形的面积的总和等于1.
1.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜,是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是(　C　)
A.通过调查获取数据
B.通过试验获取数据
C.通过观察获取数据
D.通过查询获得数据
解析:“中国天眼”主要是通过观察获取数据.故选C.
2.把过期的药品随意丢弃,会造成对土壤和水体的污染,危害人们的健康.如何处理过期药品,有关机构随机对若干家庭进行调查,调查结果如图,其中对过期药品处理不正确的家庭达到(　D　)
A.79% B.80%
C.18% D.82%
解析:79%+1%+2%=82%.故选D.
3.一个总体分为A,B两层,用分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为(　D　)
A.40　　 B.60
C.80　　 D.120
解析:因为用分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.由B层中每个个体被抽到的概率都为,知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是,所以总体中的个体数为10÷=120.故选D.
4.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为　　　　.
7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728
0198　3204　9234　4935　8200　3623　4869
6938　7481
解析:由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01,所以第5个个体的编号是01.
答案:01
5.(必修第二册P197练习T1改编)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图,则月均用水量在[2,2.5)范围内的居民人数有　　人.
解析:由频率分布直方图可知,月均用水量在[2,2.5)范围内的居民所占频率为0.50×0.5=0.25,所以月均用水量在[2,2.5)范围内的居民人数为100×0.25=25(人).
答案:25
简单随机抽样
1.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　A　)
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
③某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0　 B.1　 C.2　 D.3
解析:①不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;②不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;③不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样.故选A.
2.(2021·江西赣州一模)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,…,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是(　A　)
32 21 18 34 29　78 64 54 07 32　52 42 06 44 38
12 23 43 56 77　35 78 90 56 42
84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86
23 45 78 89 07　23 68 96 08 04
32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75
22 53 55 78 32　45 77 89 23 45
A.623 B.328 C.253 D.007
解析:从第5行第6列开始向右读取数据,第一个数为253,第二个数是313,第三个数是457,下一个数是860,不符合要求,下一个数是736,不符合要求,下一个数是253,重复,第四个数是007,第五个数是328,第六个数是623.故选A.
3.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为　　　　.
解析:由题意知=,得n=28,所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为=.
答案:
应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
分层随机抽样
　已知各层总数和总体的样本量,确定某层的样本数
某电视台在网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的一共有20 000人,其中各种态度对应的人数如表所示:
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
4 800 7 200 6 400 1 600
电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层随机抽样,那么在分层随机抽样时,每类人中应抽取的人数分别为(　　)
A.25,25,25,25 B.48,72,64,16
C.20,40,30,10 D.24,36,32,8
解析:法一　因为抽样比为=,所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×=24,7 200×=36,6 400×=32,1 600×=8.
法二　最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为
4 800∶7 200∶6 400∶1 600=6∶9∶8∶2,
所以每类人中应抽取的人数分别为×100=24,×100=
36,×100=32,×100=8.故选D.
已知各层总数和总体的样本量求某层应抽取的个体数量,应按该层所占总体的比例进行计算,其中“抽样比==”.
　已知各层总数及某一层的样本数,求另一层的样本数或总体容量
(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A.101 B.808　 C.1 212 D.2 012
(2)为了了解某校高一、高二、高三学生的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3,已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取的人数为　　　　.
解析:(1)甲社区每个个体被抽取的概率为=,样本容量为12+21+
25+43=101,所以四个社区中驾驶员的总人数N==808.故选B.
(2)因为高一年级抽取学生的比例为=,所以=,解得k=2,故高三年级抽取的人数为1 200×=360.
答案:(1)B　(2)360
总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
　已知某层总数及该层的样本数,求各层的样本数或总体容量
(1)(2021·江苏泰州一模)用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽
10人,已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数是
　　　　人.
(2)某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层随机抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类别 A B C
产品数量/件 1 300
样本容量/件 130
由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C的产品数量是　　　　件.
解析:(1)高二年级应抽取45-20-10=15(人),
设该校学生总数为n,则=,解得n=900,即该校学生总数为900人.
(2)设样本容量为x,则×1 300=130,所以x=300.所以A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).
设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,所以y=80.
所以C产品的数量为×80=800(件).
答案:(1)900　(2)800
已知某层总数及该层的样本数,求隔层的样本数或总体容量,可根据分层随机抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
[针对训练]
1.某电视台为了调查某节目的收视率,现用分层随机抽样的方法从
4 300人中抽取一个样本,这4 300人中青年人有1 600人,且中年人人数是老年人人数的2倍,现根据年龄采用分层随机抽样的方法进行调查,在抽取的样本中青年人有320人,则抽取的样本中老年人的人数为(　　)
A.90　　 B.180 C.270　　 D.360
解析:设老年人有x人,从中抽取y人,则1 600+3x=4 300,得x=900,即老年人有900人,则=,得y=180.故选B.
2.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如表所示(每名同学只参加一个小组)(单位:人).
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层随机抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为　　　　.
解析:由分层随机抽样得=,解得a=30.　
答案:30
3.某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如表所示.
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19,则x=　　　　;现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,则应在初三年级抽取　　　　名.
解析:因为=0.19,所以x=380.
初三年级人数为y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为×500=12(名).　
答案:380　12
统计图表
　扇形图
(多选题)某家庭2020年的总支出是2019年的总支出的1.5倍,如图分别给出了该家庭2019年、2020年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况,则下列结论正确的是(　　)
A.2020年日常生活支出减少
B.2020年保险支出比2019年保险支出增加了一倍以上
C.2020年其他支出比2019年其他支出增加了两倍以上
D.2019年和2020年,每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上
解析:设2019年的总支出为x,则2020年的总支出为1.5x,2019年日常生活支出为0.35x,2020年日常生活支出为0.34×1.5x=0.51x,故2020年日常生活支出增加,故A项错误;2019年保险支出为0.05x,
2020年保险支出为0.07×1.5x=0.105x,故B项正确;2019年其他支出为0.05x,2020年其他支出为0.09×1.5x=0.135x,(0.135x-
0.05x)÷0.05x=1.7,故C项错误;2019年日常生活支出和房贷支出之和为0.65x,超过2019年总支出的一半,2020年日常生活支出和房贷支出之和为0.59×1.5x=0.885x,超过2020年总支出的一半,故D项正确.故选BD.
扇形图是用一个圆表示总体,圆中各扇形分别代表总体中的不同部分,每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小.
　折线图
(多选题)某市气象部门根据2020年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位:℃)数据,绘制如图所示的折线图.
那么,下列叙述正确的是(　　)
A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B.全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C.全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个
D.从2020年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
解析:对于A项,根据折线图可以发现除2月份外,各月最低气温平均值越高,最高气温平均值也越高,总体呈正相关,A项正确;对于B项,通过折线图观察,2月份的两个点距离最大,B项正确;对于C项,各月最低气温平均值不高于10 ℃的有1月,2月,3月,11月,12月,共有
5个月,C项正确;对于D项,观察折线图可知,7月份到8月份气温在上升,D项错误.故选ABC.
折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.
　频率分布直方图
(2021·重庆九校联盟模拟)某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间,从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查,获得了每人每天的平均户外活动时间(单位:时),活动时间按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成样本的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值;
(2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数;
(3)在[1,1.5),[1.5,2)这两组中采用分层随机抽样的方法抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求抽取的2人恰好在同一个组的概率.
解:(1)由频率分布直方图,可知平均户外活动时间在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,平均户外活动时间在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),
[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02,
由1-(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得a=
0.30.
(2)设中位数为m时.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47<0.5,所以m在[2,2.5)内.
所以0.50×(m-2)=0.5-0.47,解得m=2.06.
故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时.
(3)由题意得平均户外活动时间在[1,1.5),[1.5,2)内的人数分别为15,20,
按分层随机抽样的方法在[1,1.5),[1.5,2)内分别抽取3人,4人,再从7人中随机抽取2人,共有21种方法,抽取的两人恰好都在同一个组有9种方法,故抽取的2人恰好在同一个组的概率为P==.
准确理解频率分布直方图的数据特点
(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果,不要误以为纵轴上的数据是各组的频率,不要和条形图混淆.
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,这是解题的关键,常利用频率分布直方图估计总体分布.
[针对训练]
1.(2021·河南洛阳一模)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则抽取的高中生近视人数为(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
解析:由题得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10 000×2%=200,
抽取的高中生人数为2 000×2%=40,则近视人数为40×0.5=20.故
选D.
2.(多选题)如图所示的折线图表示某商场一年中各月的收入、支出情况,则下列说法正确的是(　　)
A.全年收入1至2月份增速最快
B.全年中2月份支出最高
C.四个季度中第二季度的月平均支出最低
D.利润最低的月份是5月份(利润=收入-支出)
解析:从折线图看出1至2月份收入数据的连线斜向上,且最陡,故A正确;由折线图可以看出支出的最高点在2月份,故B正确;由折线图可看出第二季度的总支出最低,故第二季度的月平均支出最低,故C正确;5月份的利润为30-10=20(万元),8月份的利润为50-40=10(万元),20>10,故D错误.故选ABC.
3.某企业为了解某部门对本企业职工的服务情况,随机访问了50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制成频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),
[90,100].从评分在[40,60)的受访职工中随机抽取2人,则这2人的评分都在[40,50)的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.受访职工中评分在[50,60)的人数为50×0.006×10=3,分别记为A1,
A2,A3,受访职工中评分在[40,50)的人数为50×0.004×10=2,分别记为B1,B2,从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},
{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}.又所抽取的2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为.故选A.
(1)以下抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
(2)某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34,用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座号是(　　)
49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　87
35　20　96　43　84　26　34　91　64　57　24
55　06　88　77　04　74　47　67　21　76　33
50　25　83　92　12　06
A.22　 B.09 C.02 D.16
解析:(1)选项A,B不是简单随机抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的;选项C不是简单随机抽样,因为总体的个体有明显的层次;选项D是简单随机抽样.故选D.
(2)从随机数表第一行的第6列数字3开始,由左到右依次选取两个数字,不超过34的依次为21,32,09,16,17,故第4个志愿者的座号为16.故选D.
(1)某工厂的一、二、三车间在2021年11月份共生产了
3 600双皮靴,在出厂前检查这批产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c成等差数列,则二车间生产的产品数为(　　)
A.300 B.1 000 C.1 200 D.1 500
(2)为应对新冠肺炎疫情,许多企业在非常时期转产抗疫急需物资,某工厂转产甲、乙、丙、丁四种不同型号的防疫物资,产量分别为200,
400,300,100(单位:件).为检验产品的质量,现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从甲种型号的产品中抽取　　　　件.
解析:(1)因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的,根据分层随机抽样的性质可知,二车间生产的产品数占产品总数的,所以二车间生产的产品数为3 600×=
1 200.故选C.
(2)依题意,注意到在甲、乙、丙、丁四种不同型号的防疫物资中,甲种型号的产品占=.因此,采用分层随机抽样的方法从这些产品中抽取60件进行检验,应从甲种型号的产品中抽取60×=
12(件).
答案:(1)C　(2)12
(多选题)(2021·湖南高三月考)某公司2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍,同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.如图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同.注:年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.
下列说法错误的是(　　)
A.该公司2020年原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和
B.该公司2020年研发费用是2019年工资金额、原材料费用、其他费用三项的总和
C.该公司2020年其他费用占2019年工资金额的
D.该公司2020年设备费用是2019年原材料费用的两倍
解析:不妨设2019年全年的总成本为t,则2020年全年的总成本为2t.
该公司2020年原材料费用为0.3×2t=0.6t,2019年工资金额与研发费用的和为0.2t+0.1t=0.3t,故A错误;
该公司2020年研发费用为0.25×2t=0.5t,2019年工资金额、原材料费用、其他费用三项的和为0.2t+0.15t+0.15t=0.5t,故B正确;
该公司2020年其他费用为0.05×2t=0.1t,2019年工资金额为0.2t,故C错误;
该公司2020年设备费用为0.2×2t=0.4t,2019年原材料费用为0.15t,故D错误.故选ACD.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
简单随机抽样、分层随机抽样 1,6 11,12 15
频率分布表与频率分布直方图 5,9 13,14
条形图、扇形图、折线图 2,3,4,7,8 10 16
1.(2021·福建福州质量检测)为了解某地区的“健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“健步走”活动情况有较大差异,而男女“健步走”活动情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(　C　)
A.抽签法抽样
B.按性别分层随机抽样
C.按年龄段分层随机抽样
D.利用随机数表抽样
解析:根据分层随机抽样的特征知选C.故选C.
2.某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占比例依次分为A,B,C,D,E五个等级,A等级15%,B等级30%,C等级30%,D,E等级共25%.其中E等级为不合格,原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试,先从中随机抽取部分学生的考试成绩进行统计,统计结果如图所示.若该校高二年级共有1 000名学生,则估计该年级拿到C等级及以上级别的学生人数为(　D　)
A.45 B.660 C.880 D.900
解析:由题中两图可知C等级所占比例为×20%=24%,所以C等级及以上级别所占比例为20%+24%+46%=90%,所以C等级及以上级别的学生人数为1 000×90%=900.故选D.
3.(2021·青海西宁高三一模)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到扇形统计图如图所示.
则下面结论不正确的是(　C　)
A.新农村建设后,种植收入略有增加
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入不变
D.新农村建设后,种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
解析:因为该地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,不妨设建设前的经济收入为m,则建设后的经济收入为2m.
A选项,从扇形统计图中可以看到,新农村建设后,种植收入比建设前增加2m×37%-m×60%=m×14%,故A正确;
B选项,新农村建设后,其他收入比建设前增加2m×5%-m×4%=m×6%>m×4%,即增加了一倍以上,故B正确;
C选项,养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同,但建设后总收入为之前的2倍,所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍,故C
错误;
D选项,新农村建设后,种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降为37%,故D正确.故选C.
4.(多选题)(2021·辽宁葫芦岛高三期末)下图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月底涨跌幅度的折线图(注:同比是今年第n个月与去年第n个月之比,环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比),下列说法正确的是(　AB　)
A.2018年6月CPI环比下降0.1%,同比上涨1.9%
B.2018年3月CPI环比下降1.1%,同比上涨2.1%
C.2018年2月CPI环比上涨0.6%,同比上涨1.4%
D.2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点
解析:A.由折线统计图可知,2018年6月CPI环比下降0.1%,同比上涨1.9%,故A正确;
B.由折线统计图可知,2018年3月CPI环比下降1.1%,同比上涨2.1%,故B正确;
C.由折线统计图可知,2018年2月CPI环比上涨1.2%,同比上涨2.9%,故C错误;
D.由折线统计图可知,2018年6月CPI同比涨幅比上一年6月略微扩大1.9个百分点,故D错误.故选AB.
5.(多选题)我国网络购物市场保持较快发展,某电商平台为了精准发展,对某地区市场的N个人进行了调查,得到频率分布直方图如图所示,将调查对象的年龄分组为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),
[40,45),[45,50),[50,55].已知年龄在[25,30)内的调查对象有6人,则下列说法正确的是(　ABD　)
A.N为40
B.年龄在[30,35)内的调查对象有12人
C.调查对象中,年龄大于35岁的频率是0.1
D.调查对象的年龄的中位数为35岁
解析:根据题意,知年龄在[25,30)内调查对象的频率为0.03×5=0.15,所以N==40,故A正确;年龄在[30,35)内的频率是1-(0.01×2+
0.02+0.03×2+0.04)×5=0.3,所以年龄在[30,35)内调查对象的人数是40×0.3=12(人),故B正确;由频率分布直方图可知,调查对象的年龄大于35岁的频率为(0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.5,故C错误,
D正确.故选ABD.
6.“双色球”彩票中红色球的号码由编号为01,02,…,33的33个个体组成,一位彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为　　　.
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
解析:从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02.故选出的第6个红色球的编号为02.
答案:02
7.(2021·四川成都一诊)某学校初中部共120名教师,高中部共
180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层随机抽样方法抽到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人
数为　　　　.
解析:因为高中部女教师与高中部男教师比例为2∶3,按分层随机抽样方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则男教师有9人,所以工会代表中高中部教师共有15人,又因为初中部与高中部总人数比例为2∶3,所以工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2∶3,所以工会代表中初中部教师总人数为10,又因为初中部女教师与初中部男教师比例为7∶3,工会代表中初中部男教师的总人数为10×30%=3(人),所以工会代表中男教师的总人数为9+3=12(人).
答案:12
8.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为　　　　;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为　　　　小时.
解析:第一分厂应抽取的件数为100×50%=50.该产品的平均使用寿命为1 020×0.5+980×0.2+1 030×0.3=1 015(小时).
答案:50　1 015
9.(2021·湖南四校摸底调研)某家电公司销售部门共有200名销售员,每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位:百万元)内,现将其分成5组,第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22],并绘制出频率分布直方图.
(1)求a的值,并计算完成年度任务的人数;
(2)用分层随机抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;
(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名,奖励某地三日游,求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.
解:(1)因为(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1,所以a=0.03,所以完成年度任务的人数为2×0.03×4×200=48(人).
(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25=2(人),
第2组应抽取的人数为0.08×4×25=8(人),
第3组应抽取的人数为0.09×4×25=9(人),
第4组应抽取的人数为0.03×4×25=3(人),
第5组应抽取的人数为0.03×4×25=3(人).
(3)在(2)中完成年度任务的销售员中,第4组有3人,记这3人分别为A1,A2,A3;第5组有3人,记这3人分别为B1,B2,B3.
从这6人中随机选取2名,所有的基本事件为A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2B1,A2B2,A2B3,A3B1,A3B2,A3B3,B1B2,B1B3,B2B3,共有15个基本事件,
获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个,
故所求概率P==.
10.(多选题)(2021·山东日照高三二模)某保险公司为客户定制了
5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险,各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如图的统计图例.
用该样本估计总体,以下四个选项正确的是(　AC　)
A.54周岁以上参保人数最少
B.18～29周岁人群参保总费用最少
C.丁险种更受参保人青睐
D.30周岁以上的人群约占参保人群20%
解析:对A,由扇形图可知,54周岁以上参保人数最少.故选项A正确;
对B,由折线图可知,18～29周岁人群人均参保费用最少,但是由扇形图知参保人数并不是最少的,所以参保总费用不是最少.故选项B
错误;
对C,由柱状图可知,丁险种参保比例最高,故选项C正确;
对D,由扇形图可知,30周岁以上的人群约占参保人群80%.故选项D错误.故选AC.
11.为了调研某地的空气质量状况,某课题组对该地A,B,C地区的空气质量进行调查,按地域特点在三地设置空气质量观测点,已知三地的观测点的个数分别为6,y,z,依次构成等差数列,且6,y,z+6成等比数列,若用分层随机抽样的方法抽取12个观测点的数据,则B地应抽取的数据个数为(　C　)
A.8 B.6 C.4 D.2
解析:因为三地的观测点的个数分别为6,y,z,依次构成等差数列,且6,y,z+6成等比数列,
所以所以y=12,z=18,
若用分层随机抽样方法抽取12个观测点的数据,则B地应该抽取的数据个数为×12=4.故选C.
12.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如表所示.
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取　　　　人.
解析:法一　因为“泥塑”社团的人数占总人数的,故“剪纸”社团的人数占总人数的.
所以“剪纸”社团的人数为800×=320(人).
因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为==,
所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×=96(人).
由题意知,抽样比为=,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×=6(人).
法二　因为“泥塑”社团的人数占总人数的,故“剪纸”社团的人数占总人数的,
所以抽取的50人的样本中,“剪纸”社团中的人数为50×=20(人).
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为==,
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×=6(人).
答案:6
13.(2021·四川五校联考)随着新课程改革和高考综合改革的实施,高中教学以发展学生学科核心素养为导向,学习评价更关注学科核心素养的形成和发展.为此,某市举行高中数学学科素养竞赛,竞赛结束后,为了评估该市高中学生的数学学科素养,从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩(单位:分)作为样本进行估计,将抽取的成绩整理后分成五组,依次记为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图,并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰,授予“数学学科素养优秀标兵”称号,一名学生本次竞赛成绩为79分,请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.
解:(1)成绩在[60,70)的频率为1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40,补全的频率分布直方图如图:
样本的平均数 =55×0.30+65×0.40+75×0.15+85×0.10+95×
0.05=67.
(2)因为=0.18,
所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号学生的最低成绩为80-=78(分).
因为79>78,所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.
14.一个经销鲜花产品的店铺,为保障售出的百合花品质,每天从某省鲜花基地空运固定数量的百合花,如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客,如果不足,则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天,该店百合花的售价为每枝2元,某省空运来的百合花每枝进价1.6元,本地供应商处百合花每枝进价1.8元,该店这10天的订单中百合花的日需求量(单位:枝)依次为:251,255,231,243,263,241,265,255,244,
252.
(1)求今年四月前10天订单中百合花日需求量的平均数和众数,并完成频率分布直方图;
(2)预计四月的后20天,订单中百合花日需求量的频率分布与四月前10天相同,百合花进货价格与售价均不变,请根据(1)中频率分布直方图判断(同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表,位于各区间的频率代替位于该区间的概率),该店每天从某省固定空运
250枝,还是255枝百合花,四月后20天百合花销售总利润更大
解:(1)四月前10天订单中百合花日需求量众数为255枝,
平均数 =×(231+241+243+244+251+252+255+255+263+265)=
250(枝).
频率分布直方图补充如图.
(2)设订单中百合花的日需求量为a(枝),由(1)中频率分布直方图知,a可能取值为235,245,255,265,相应频率分别为0.1,0.3,0.4,
0.2.
所以20天中a=235,245,255,265相应的天数为2天,6天,8天,4天.
①若空运250枝,
a=235,当日利润为235×2-250×1.6=70(元),
a=245,当日利润为245×2-250×1.6=90(元),
a=255,当日利润为255×2-250×1.6-5×1.8=101(元),　
a=265,当日利润为265×2-250×1.6-15×1.8=103(元),　
20天总利润为70×2+90×6+101×8+103×4=1 900(元).　
②若空运255枝,
a=235,当日利润为235×2-255×1.6=62(元),
a=245,当日利润为245×2-255×1.6=82(元),
a=255,当日利润为255×2-255×1.6=102(元),
a=265,当日利润为265×2-255×1.6-10×1.8=104(元),　
20天总利润为62×2+82×6+102×8+104×4=1 848(元).　
因为1 900>1 848,
所以每天空运250枝百合花,四月后20天总利润更大.
15.(多选题)某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5∶4∶1,现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,下列结论正确的是(　AC　)
A.C组人数为10人 B.C组人数为45人
C.单位人数为100人 D.单位人数为450人
解析:因为员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5∶4∶1,所以从中抽取一个容量为20的样本,则抽取的C组人数为×20=×
20=2,设C组员工总数为m,则甲、乙二人均被抽到的概率为=
=,即m(m-1)=90,解得m=10.设员工总数为x,则由==,可得x=100.故选AC.
16.(2021·陕西高三三模)某高中在创建文明校园活动中,利用班会对全校学生开展了为期一周的环保知识培训,为了解培训效果,随机抽取200名同学参加环保知识测试,测试共5道题,每答对一题得20分,答错得0分.已知每位同学至少能答对2道题,得分不少于60分记为及格,不少于80分记为优秀,测试成绩百分比分布图如图所示,则下列说法正确的是(　D　)
A.该次环保知识测试及格率为90%
B.该次环保知识测试得满分的同学有30名
C.若该校共有3 000名学生,则环保知识测试成绩能得优秀的同学大约有1 440名
D.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
解析:由统计图可得,这200名同学的及格率为100%-8%=92%,即该次环保知识测试及格率为92%,故A错;
这次环保知识测试得满分的同学所占比率为100%-8%-32%-48%=12%,因此该次环保知识测试得满分的同学有200×12%=24(名),故B错;
这次环保知识测试得分优秀的同学所占比率为100%-8%-32%=60%,若该校共有3 000名学生,则环保知识测试成绩能得优秀的同学大约有1 800名,故C错;
由统计图可得,这次测试成绩的中位数为80分,平均数为40×8%+
60×32%+80×48%+100×12%=72.8,即该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数,故D正确.故选D.

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