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第2节　二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*).
(2)二项展开式的通项:Tk+1=an-kbk,它表示通项为展开式的第k+1项.
(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数,,…,.
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=
增减性 二项式系数 当k<(n∈N*)时,是递增的
当k>(n∈N*)时,是递减的
二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项取得最大值
当n为奇数时,中间的两项与取得最大值
二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角
其中第n行是1,,,…,,,1.
1.(a+b)n展开式的各二项式系数的和:+++…+=2n.
2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+
++…=+++…=2n-1.
1.(选择性必修第三册P30例2改编)(1+2x)5的展开式中x2的系数等于(　C　)
A.80 B.60 C.40 D.20
解析:Tk+1=(2x)k=2kxk,当k=2时,x2的系数为×22=40.故选C.
2.若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(　A　)
A.20 B.60 C.80 D.120
解析:二项式系数之和2n=64,所以n=6,Tk+1=·x6-k·()k=x6-2k,当6-2k=0,即当k=3时为常数项,T4==20.故选A.
3.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方作法本源图”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.若用ai-j表示三角形数阵的第i行第j个数,则a100-3=(　B　)
A.5 050 B.4 851 C.4 950 D.5 000
解析:依据二项式系数可知,第i(i≥2)行第j个数应为,
所以第100行第3个数为==4 851.故选B.
4.(选择性必修第三册P33例3改编)若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为　　　　.
解析:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.
答案:8
5.(+)8的展开式中常数项为　　　　,是第　　　　项.
解析:二项展开式的通项为Tk+1=()8-k·()k=()kx4-k,令4-k=0,解得k=4,所以T5=()4=.
答案:　5
二项式定理通项的应用
　形如(a+b)n(n∈N*)型
(1)(多选题)若的展开式中含xα(α∈Z)项,则α的值可能为(　　)
A.-5 B.1 C.2 D.7
(2)的展开式的常数项为160,则实数a=　　　　.
解析:(1)的展开式的通项Tr+1=(2x2)5-r·(-)r=25-r(-3)rx10-3r,其中r=0,1,2,…,5.令r=1,则10-3r=7;令r=3,则10-3r=1;令r=5,则10-3r=-5.令10-3r=2,则r= N,所以α的值可能为7,1,-5.故选ABD.
(2)的展开式的通项Tr+1=(ax)6-r·()r=a6-rx6-2r,令6-2r=
0,得r=3,所以a6-3=160,解得a=2.
答案:(1)ABD　(2)2
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=an-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);
第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r;
第三步,把r代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1或者其他量.
　形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型
(1)(2020·全国Ⅰ卷)(x+)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
(2)(x2-3x+)的展开式中常数项为(　　)
A.30 B.-30 C.25 D.-25
解析:(1)因为(x+y)5的展开式的第r+1项Tr+1=x5-ryr,所以(x+)(x+
y)5的展开式中x3y3的系数为+=15.故选C.
(2)(x2-3x+)=x2-3x+,而的展开式的通项Tr+1=(-1)r()r,易知当r=4或r=2时原式有常数项.
令r=4,T5=(-1)4()4;令r=2,T3=(-1)2()2,故所求常数项为-
3×=5-30=-25.故选D.
求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型的展开式问题的思路
(1)若m,n中有一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2(c+d)n=(a2+
2ab+b2)(c+d)n,然后分别求解.
(2)观察(a+b)m(c+d)n是否可以合并,如(1+x)5·(1-x)7=[(1+x)(1-
x)]5(1-x)2=(1-x2)5·(1-x)2.
(3)分别得到(a+b)m,(c+d)n的通项,综合考虑.
　形如(a+b+c)n(n∈N*)型
(多选题)(2021·江苏南通高三模拟)关于多项式的展开式,下列结论中正确的有(　　)
A.各项系数之和为0
B.各项系数的绝对值之和为256
C.存在常数项
D.含x项的系数为-40
解析:对于选项A,将x=1代入多项式,可得各项系数和为(1+1-2)4=0,故A正确;
对于选项B,取多项式,将x=1代入该多项式,可得(1+1+
2)4=256,
所以原多项式各项系数的绝对值之和为256,故B正确;
对于选项C,多项式可化为,其展开式的通项为Tr+1=
(-2)r,
当4-r=0,2,4,即r=0,2,4时,有常数项,
且当r=0时,常数项为=6;当r=2时,常数项为×2×(-2)2=48;当r=4时,常数项为(-2)4=16,所以原多项式的展开式的常数项为6+
48+16=70,故C正确;
对于选项D,当r=1时,展开式中含x的项为x(-2)1=-24x;当r=
3时,含x的项为x(-2)3=-32x,
所以原多项式的展开式中含x的项的系数为-56,故D错误.故选ABC.
求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项的步骤
[针对训练]
1.(2021·山东高三模拟)在的展开式中,x5y2的系数为(　　)
A.60 B.30 C.15 D.12
解析:由于=,
所以其展开式的通项为Tk+1=yk,k=0,1,2,3,4,5,
所以k=2时,=x3·(x+2)3对应x5的系数为×2=6,
所以x5y2的系数为×6=60.故选A.
2.(2021·重庆高三三模)已知(2x2+1)·的展开式中各项系数之和为0,则该展开式的常数项是(　　)
A.-10 B.-7 C.9 D.10
解析:因为(2x2+1)的展开式中各项系数之和为0,
所以令x=1得3(a-1)5=0,解得a=1,
所以(2x2+1)=(2x2+1).
的展开式的通项为
Tr+1=(-1)r=(-1)rx2r-10,
所以当r=4或r=5时,
(2x2+1)的展开式的常数项是2×(-1)4+(-1)5=9.故选C.
3.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　.
解析:的展开式的通项为Tr+1=(ax2)5-r·=a5-r·
,
令10-=5,得r=2,所以a3=-80,解得a=-2.
答案:-2
二项式系数与项的系数问题
　二项展开式中的系数的和问题
(多选题)(2021·河北唐山一中高三模拟)已知(1-2x)2 021=a0+
a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则(　　)
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B.展开式中所有奇次项系数的和为
C.展开式中所有偶次项系数的和为
D.+++…+=-1
解析:二项式系数之和为++…+=22 021,故A正确;
因为(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+…+a2 021x2 021,
所以当x=-1时,32 021=a0-a1+a2-a3+…-a2 021,①
当x=1时,(-1)2 021=a0+a1+a2+a3+…+a2 021,②
①+②,可得32 021-1=2(a0+a2+…+a2 020) a0+a2+…+a2 020=,
①-②,可得32 021+1=-2(a1+a3+…+a2 021) a1+a3+…+a2 021=-,故B错误,C正确;
因为(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+…+a2 021x2 021,
所以令x=0,则a0=1,
令x=,则0=a0+++…+,
则++…+=-1,故D正确.故选ACD.
1.“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.
2.若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+
a5+…=.
　二项式系数的最值问题
在(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的二项式系数最大的项为　　　　.
解析:由二项式系数的性质知,=128,解得n=8,(1-2x)8的展开式共有9项,中间项,即第5项的二项式系数最大,=14·(-2x)4=
1 120x4.
答案:1 120x4
　项的系数的最值问题
(2021·广东佛山一模)已知(+x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x-1)n的展开式的二项式系数的和大992,则在(2x-)2n的展开式中,二项式系数最大的项为　　 　　,系数的绝对值最大的项为　 　　　.
解析:由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,
故2n=32,解得n=5.
由二项式系数的性质知,(2x-)10的展开式中第6 项的二项式系数
最大,
故二项式系数最大的项为
T6=(2x)5(-)5=-8 064.
设第k+1项的系数的绝对值最大,
则Tk+1=·(2x)10-k·(-)k=(-1)k·210-k·x10-2k,
令得
即解得≤k≤.
因为k∈Z,所以k=3.
故系数的绝对值最大的项是第4项,T4=-·27·x4=-15 360x4.
故二项式系数最大的项为-8 064,系数的绝对值最大的项为
-15 360x4.
答案:-8 064　-15 360x4
二项展开式系数最大项的求法
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用从而解出k来,即得.
[针对训练]
1.已知m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,
(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:由题意可知,a=,b=.
因为13a=7b,
所以13·=7·,
即=,解得m=6.故选B.
2.(x+2y)7的展开式中,系数最大的项是(　　)
A.68y7 B.112x3y4
C.672x2y5 D.1 344x2y5
解析:设第r+1项系数最大,
则有
即
即解得
又因为r∈Z,所以r=5.
所以系数最大的项为T6=x2·25y5=672x2y5.故选C.
3.(多选题)已知(x-1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则(　　)
A.a0=-32 B.a2=-80
C.a3+4a4=0 D.a0+a1+…+a5=1
解析:令x=-1得(-1-1)5=a0,即a0=-32,故A正确.令x=0得(-1)5=a0+
a1+…+a5,即a0+a1+…+a5=-1,故D不正确;令x+1=y,则(x-1)5=a0+
a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5就变为(y-2)5=a0+a1y+a2y2+…+a5y5,根据二项式定理知,a2即二项式(y-2)5展开式中y2项的系数,=
(-2)r,故a2=×(-2)3=-80,故B正确;a4=(-2)1=-10,a3=
(-2)2=40,故C正确.故选ABC.
二项式定理的创新应用问题
(2021·辽宁大连第二十四中学高三期中)已知正项等比数列{an}中,a3=3a1a2,a4=,用{x}表示实数x的小数部分,如{1.5}=0.5,
{2.4}=0.4,记bn={an},则数列{bn}的前15项的和S15为　　　　.
解析:设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a3=3a1a2得a1q2=3q,易知a1≠0,q≠0,所以q=3a1.由a4=得=,解得q=4或q=-4(舍去),所以a1=,则an=a1qn-1=.
由==(3n+3n-1+…+3+)=3n-1+3n-2+…++,
所以bn=,则S15=15×=5.
答案:5
以二项式定理为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题常以“问题”(二项式)为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题以二项式为依托,考查阅读理解能力,解决创新问题的能力.常见的题型有新概念、新法则、新运算.解决二项式定理创新问题时注意:
(1)准确转化:一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目所给条件,结合题目要求进行恰当转化,切忌与已有概念或定义相混淆.
(2)方法选取:通过转化与化归思想,通常将问题转化为求二项式的通项或利用赋值法求值,有时结合二项式定理及其性质求解.
[针对训练]
设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除的余数相同,则称a和b对模m同余,记a≡b(mod m).若a=+×2+×22+…+×220,且a≡b(mod 10),则b的值可以为(　　)
A.2 011 B.2 012
C.2 013 D.2 014
解析:因为a=+×2+×22+…+×220=(1+2)20=320=(32)10=
(10-1)10=1010-×109+×108-…-×10+=1010-×109+
×108-…-×10+1=10(109-×108+×107-…-)+1,因此a除10的余数为1,即a≡1(mod 10),因此b的值可以为2 011.故
选A.
(1)若(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.40
(2)(x+2)(x+1)6的展开式中,x3项的系数为　　　　;所有项系数的和为　　　　.
解析:(1)令x=1,得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1.因此(x+)(2x-)5的展开式中的常数项为(2x-)5的展开式中x的系数与的系数的和.(2x-)5的展开式的通项Tr+1=(-)r=(-1)r25-rx5-2r.
令5-2r=1,得r=2,因此(2x-)5的展开式中x的系数为(-1)2×25-2=
80;
令5-2r=-1,得r=3,因此(2x-)5的展开式中的系数为(-1)3×25-3=
-40,所以(x+)(2x-)5的展开式中的常数项为80-40=40.故选D.
(2)(x+1)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r,从而含x3的项为x·x2+
2x3=55x3,故x3项的系数为55;
所有项的系数之和为3×(1+1)6=192.
答案:(1)D　(2)55　192
(1)二项式(x+)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)
A.3 B.5 C.6 D.7
(2)(多选题)(+)8的展开式中系数最大的项是(　　)
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
解析:(1)根据(x+)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20,所以(x+)20的展开式的通项为Tr+1=(x)20-r·()r=
()20-r,要使x的指数是整数,需r是3的倍数,所以r=0,
3,6,9,12,15,18,所以x的指数是整数的项共有7项.故选D.
(2)(+)8的展开式的通项为Tr+1=()8-r·()r=()r,所以其展开式中各项的系数依次为1,4,7,7,,,,,,所以展开式中系数最大的项是第3项和第4项.故选BC.
(1)(2020·全国Ⅲ卷)(x2+)6的展开式中常数项是　　　　(用数字作答).
(2)在(1-)7+(+)6的展开式中,若x2的系数为19,则a=　　　.
解析:(1)(x2+)6的展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r()r=2rx12-3r,令12-
3r=0,解得r=4,所以常数项为24=240.
(2)在(1-)7+(+)6的展开式中x2的系数为(-1)6+a1=7+6a,则7+6a=19,解得a=2.
答案:(1)240　(2)2
(1)(2021·福建三明质检)在(2x2+x-1)5的展开式中,x3的系数为　　　　.
(2)(3x2-2x-1)5的展开式中,x2的系数是　　　　.(用数字填写答案)
解析:(1)(2x2+x-1)5=[2x2+(x-1)]5,
故=(2x2)5-r(x-1)r,
因为要求x3的系数,
所以r=4或5,
当r=4时,x3的系数为×2××(-1)3=-40;
当r=5时,x3的系数为××(-1)2=10,
所以x3的系数为-40+10=-30.
(2)法一　因为(3x2-2x-1)5=[(3x2-2x)-1]5展开式的通项为Tr+1=
(3x2-2x)5-r·(-1)r,当r=0或r=1或r=2时,二项式(3x2-2x)5-r的展开式中无x2项;当r=3时,二项式(3x2-2x)5-r的展开式中x2的系数为4;当r=4时,二项式(3x2-2x)5-r的展开式中x2的系数为3;当r=5时,二项式(3x2-2x)5-r的展开式中无x2项.所以所求展开式中x2的系数为4×
×(-1)3+3××(-1)4=-25.
法二　把(3x2-2x-1)5看成5个因式相乘,则当3x2取1次,-1取4次或者-2x取2次,-1取3次时,得x2项为(3x2)×(-1)4+×(-2x)2×(-1)3=15x2-40x2=-25x2,即x2系数为-25.
答案:(1)-30　(2)-25
已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
(1)因为a0=1,所以a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)由(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7==-1 094.
(3)由(①+②)÷2,
得a0+a2+a4+a6==1 093.
(4)因为(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零,而a1,a3,a5,a7都小
于零,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),
所以由(2),(3)即可得其值为2 187.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
二项展开式的特定项或项的系数 1,3,4,7,9 14
二项式系数的性质、系数和 2,5,6 10,11,13
二项式定理的简单应用 8 12 15,16
1.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是(　D　)
A.60 B.80 C.84 D.120
解析:(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是+++…+=++…+==120.故选D.
2.(2021·山西大同调研)若(-)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(　B　)
A.210 B.180 C.160 D.175
解析:由(-)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则n=
10,则展开式的通项为Tr+1=(-2)r.令5-=0,得r=2,所以展开式中的常数项为×(-2)2=180.故选B.
3.(2021·广东广州高三二模)(x2+1)的展开式中的常数项是(　C　)
A.160 B.100 C.-100 D.-160
解析:的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=(-1)r·26-rx6-2r,
令6-2r=-2,解得r=4;令6-2r=0,解得r=3,
所以(x2+1)展开式中的常数项为4-8=60-160=-100.故
选C.
4.(2021·河北唐山模拟)在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是(　B　)
A.-10 B.0 C.10 D.20
解析:法一　(x-y)5的展开式的通项为Tk+1=(-1)kx5-kyk(k=0,1,2,3,4,
5),所以(x+y)(x-y)5的展开式的通项为(-1)kx6-kyk或(-1)kx5-kyk+1,
则当k=3时,有(-1)kx6-kyk=-10x3y3,
当k=2时,有(-1)kx5-kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0.故选B.
法二　(x+y)(x-y)5=(x+y)(x-y)·(x-y)(x-y)·(x-y)(x-y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取-y,所以有xx2(-y)3=-10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取-y,所以有yx3(-y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0.故选B.
5.(多选题)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是(　ACD　)
A.a0=1
B.a1+a2+a3+a4+a5=2
C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35
D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=-1
解析:因为(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,则a0=15=1,故A正确;
令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故B
错误;
令x=-1,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;
因为二项式(1-2x)5的展开式的第r+1项为=(-2)rxr,
所以当r为奇数时,(-2)r为负数,即ai<0(其中i为奇数),
所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.故选ACD.
6.(2021·四川自贡高三三模)已知(x+1)n的展开式二项式系数的和为128,则-2+4+…+(-2)n=　　　　.
解析:由已知可得2n=128,解得n=7,
所以二项式(x+1)7=(1+x)7的展开式的通项公式为Tr+1=xr.
令x=-2,则二项式的展开式为×(-2)0+×(-2)1+×(-2)2+…+
×(-2)7=-×2+×4+…+×(-2)7=(1-2)7=-1.
答案:-1
7.若(x+)n(n≥4,n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列,则n=　　　　.
解析:(x+)n的展开式的通项Tr+1=xn-r·()r=2-rxn-2r,则前三项的系数分别为1,,,由其依次成等差数列,得n=1+,解得n=8或n=1(舍去),故n=8.
答案:8
8.已知(a2+1)n的展开式中的二项式系数之和等于(x2+)5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54,则正数a的值为　　　　.
解析:(x2+)5的展开式的通项为Tr+1=(x2)5-r()r=()5-r.
令20-5r=0,得r=4,
故常数项T5=×=16,
又(a2+1)n的展开式中的二项式系数之和为2n,
由题意得2n=16,所以n=4,
所以(a2+1)4的展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,
从而(a2)2=54,所以a=.
答案:
9.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比是14∶3;
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55;
③-=10.
已知在的展开式中,　　　　.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中含x5的项.
解:可知Tr+1==
(-1)r,
方案一:选条件①,
(1)由题可知=,
所以×=,
所以n2-5n-50=0,
解得n=10或n=-5(舍去),
所以展开式共有11项,其中二项式系数最大的项是第6项,
T6=(-1)5=-252,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,T6=-252.
(2)由(1)知n=10,Tr+1=(-1)r,
令5-r=5,所以r=0,所以T1=x5,
所以展开式中含x5的项是第一项,即x5.
方案二:选条件②,
(1)由题可知+=+==55,
整理得n2+n-110=0,解得n=10或n=-11(舍去),
所以展开式共有11项,其中二项式系数最大的项是第6项,
T6=(-1)5=-252,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,T6=-252.
(2)同方案一(2).
方案三:选条件③,
(1)-=-==10,
所以n=10,
所以展开式共有11项,其中二项式系数最大的项是第6项,
T6=(-1)5=-252,
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,T6=-252.
(2)同方案一(2).
10.(多选题)(2021·辽宁沈阳模拟)已知(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,设(3x-1)n的展开式的二项式系数之和为Sn,Tn=a1+a2+…+an,则(　BC　)
A.a0=1
B.Tn=2n-(-1)n
C.n为奇数时,SnTn
D.Sn=Tn
解析:由题意知Sn=2n,令x=0,得a0=(-1)n,令x=1,得a0+a1+a2+…+an=2n,所以Tn=2n-(-1)n.故选BC.
11.(多选题)(2021·河北邯郸模拟)已知(3x2+)4的展开式中各项系数之和为A,第二项的二项式系数为B,则(　ABD　)
A.A=256
B.A+B=260
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x2项的系数为54
解析:令x=1,得(3x2+)4的展开式中各项系数之和为44=256,所以A=
256,选项A正确;(3x2+)4的展开式中第二项的二项式系数为=4,所以B=4,A+B=260,选项B正确;
(3x2+)4的展开式的通项为
Tr+1=(3x2)4-r()r=34-rx8-3r,
令8-3r=0,则r=,所以展开式中不存在常数项,选项C错误;令8-3r=2,则r=2,所以展开式中含x2项的系数为34-2×=54,选项D正确.故
选ABD.
12.(2021·山东青岛模拟)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),设Sn=a0+a1+a2+…+an,数列{}的前n项和为Tn,当|Tn-1|≤时,n的最小整数值为　　　　.
解析:因为(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),令x=1,得Sn=a0+a1+
a2+…+an=2n,所以=,所以Tn==1-,所以|Tn-1|≤,即为≤,所以n≥11,即n的最小整数值为11.
答案:11
13.二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和;
(4)各项系数绝对值之和.
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为
+++…+=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,①
令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-…-a9=59,②
①+②得a0+a2+a4+a6+a8=,此即为所有奇数项系数之和.
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,
令x=1,y=-1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=59,此即为各项系数绝对值之和.
14.在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64∶1,②展开式中前三项的二项式系数之和为22,这两个条件中任选一个条件,补充在下面问题中的横线上,并完成解答.问题:已知二项式(1+3x)n,　　　　.
(1)求展开式中系数最大的项;
(2)求(1+3x)n(1-x)5中含x2项的系数.
解:选条件①.令x=1,得展开式中所有项的系数之和为4n,又展开式中所有项的二项式系数之和为2n,所以=2n=64,解得n=6.
选条件②.由前三项的二项式系数之和为22,得++=22,即1+n+
=22,可得n=6.
(1)(1+3x)6的展开式的通项为Tr+1=3rxr(r=0,1,2,3,4,5,6).
设展开式中系数最大的项为第r+1项,
则即解得≤r≤,又0≤r≤6,r∈N,所以r=5,
故展开式中系数最大的项为T6=·(3x)5=1 458x5.
(2)由题得(1+3x)n(1-x)5=(1+3x)6(1-x)5,故含x2项的系数为+×
32+×3××(-1)=55.
15.(多选题)(2021·重庆八中高三模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱图形,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗愿:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)=,则(　BC　)
A.f(x)的展开式中的常数项是56
B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70
D.f(i)=-16,其中i为虚数单位
解析:设内切球的半径为r,则圆柱的高为2r,
所以m==,n==,所以=1,所以f(x)=.
对于A,f(x)的展开式的通项为
Tr+1=x24-3r·=(-1)rx24-4r,
令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)的展开式的常数项为(-1)6=28,A
错误;
对于B,f(1)=0,即f(x)的展开式的各项系数之和为0,B正确;
对于C,f(x)的展开式中二项式系数最大值为=70,C正确;
对于D,f(i)==(-i+i)8=0,D错误.故选BC.
16.已知f(x)=(1+2x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为24,则展开式中x2的系数的最小值为　　　　.
解析:由f(x)的展开式中x的系数为24,可得
2x+2x=2mx+2nx=24x,解得m+n=12.
设f(x)的展开式中x2的系数为t,则
t=22+22=2(m2+n2-m-n)=2(m2+n2-12)≥2[-12]=2×(72-12)=
120.
当且仅当m=n=6时,t有最小值120.
所以f(x)的展开式中x2的系数的最小值为120.
答案:120

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